第九章 解三角形 章节练习——高一下学期数学人教B版必修第四册

人教B版（2019）必修第四册《第九章 解三角形》章节练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）在锐角中，若，，，则的值为

A.  B.  C.  D.

2.（5分）在中，，边上的高等于，则等于   

A.  B.  C.  D.

3.（5分）已知中，角，，的对边分别为，，，，，，则等于

A.  B. 或 C.  D. 或

4.（5分）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的

A. 正西方向

B. 南偏西方向

C. 南偏西方向

D. 南偏西方向

5.（5分）在中，已知，，，则

A.  B.  C. 或 D. 无解

6.（5分）在中，，，，则等于

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知的三个内角，，的对边分别为，，，若，则该三角形的形状是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰或直角三角形 D. 钝角三角形

8.（5分）已知在中，若，，则的值等于

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，且、、，下面说法错误的是

A. ：：：： B. 是锐角三角形

C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 内切圆半径为

10.（5分）在中，角、、的对边分别为、、，，则

A.  B.

C.  D. 不可能为锐角三角形

11.（5分）在中，角所对边分别为已知，下列结论正确的是

A.  B.

C.  D. 若，则面积是

12.（5分）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则下列说法正确的是

A. 或 B.

C.  D. 该三角形的面积为

13.（5分）已知在平行四边形中，，，，把沿折起使得点变为，则

A.

B. 三棱锥体积的最大值为

C. 当时，三棱锥的外接球的半径为

D. 当时，

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得，，，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于______． 

15.（5分）已知中，，，为线段上一点，，，则______，的面积是______．

16.（5分）已知锐角三角形的面积为，且，，则 ______ ．

17.（5分）如图，在矩形纸片中，，，沿着过点的直线将矩形右下角折起，使得右下角顶点落在矩形的左边上．设折痕所在的直线与交于点，记翻折角为，则的值是______．

18.（5分）在中，，，且的面积为，则______．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）中，角，，所对的边分别为，，已知，，． 

Ⅰ求的值； 

Ⅱ求的面积．

20.（12分）设的内角，，的对边分别为，，，且 

求角； 

若，求的取值范围．

21.（12分）已知函数  

Ⅰ求函数的最大值，并写出取最大值时的取值集合；  

Ⅱ在中，角，，的对边分别为，，，若，求的最小值．

22.（12分）在中，，，分别为内角，，所对的边长，且

    求的值；

    若，的周长为，求

23.（12分）已知的三内角，，所对的边分别是，，，向量 ， ，，且． 

求角的大小； 

若，求的范围．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】

此题主要考查三角形面积公式与余弦定理，考查运算能力，属于基础题． 

在锐角中，利用，，可求得，再利用，由余弦定理可求得，解方程组可求得的值． 

解：在锐角中，，， 

， 

，① 

又，是锐角， 

， 

由余弦定理得：， 

即， 

，② 

由①②得：， 

解得 

故选

2.【答案】D;

【解析】

此题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积公式，属于中等题. 

通过三角形面积公式得到，再利用余弦定理得到，再结合正弦定理可得 

解：设中角，，所对的边分别为，，，

则由题意得，

由余弦定理得

，

由正弦定理得

故选

3.【答案】D;

【解析】 

此题主要考查正弦定理的应用，考查计算能力． 

直接利用正弦定理化简求解即可． 

解：中，，，， 

由正弦定理可得，即， 

又，，或故选

4.【答案】C;

【解析】 

此题主要考查解三角形的应用及正弦定理和余弦定理，属于中档题. 

由已知，画出图形，然后结合正弦定理余弦定理求解即可. 

解：如下图， 

在中，， 

由正弦定理有， 

所以， 

在中，余弦定理有 

， 

因，，， 

由正弦定理有，， 

故或者， 

因，故为锐角， 

所以 

故选

5.【答案】C;

【解析】解：，，， 

由余弦定理，可得，整理可得：， 

解得，或， 

故选：． 

由已知利用余弦定理可得，解方程即可求解的值． 

这道题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．

6.【答案】C;

【解析】解：因为在中，，，， 

所以由余弦定理可得：， 

所以． 

故选C． 

直接利用余弦定理求出的余弦函数值，即可求出的大小． 

该题考查余弦定理的应用，基本知识的考查．

7.【答案】B;

【解析】 

此题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 

由已知可得，由余弦定理及已知，解得，即可得三角形的形状. 

解：，可得：， 

由余弦定理可得：， 

整理可得：，① 

，可得：，② 

由①②解得：， 

该三角形的形状是直角三角形． 

故选

8.【答案】D;

【解析】解：在中，若，， 

利用正弦定理：， 

故 

故选： 

直接利用正弦定理和三角函数的值的应用求出结果． 

此题主要考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

9.【答案】BCD;

【解析】解：因为，，， 

：：：：：：，故正确； 

可得为最大边，为最大角， 

由余弦定理可得， 

可得为钝角，即的形状是钝角三角形．故错误； 

对于，由， 

由，故，故错误； 

由，，， 

设内切圆半径为，，，故错误； 

故选： 

利用正弦定理可判断；由已知可得为最大角，由余弦定理可得，可得为钝角，即可判求得，可判断；利用，可求，可判断 

此题主要考查正余弦定理的应用，考查内切圆的半径的求法，属中档题．

10.【答案】ABC;

【解析】解：在中，角、、的对边分别为、、，， 

对于项，在中，由正弦定理可得， 

即，故项正确； 

对于项，在中，由余弦定理可得， 

假设， 

等式右边等式左边， 

则假设成立，故项正确； 

对于项，因为，利用正弦定理可得， 

又， 

所以可得， 

可得，或， 

所以，或舍去， 

故项正确； 

对于项，在中，由余弦定理可得， 

设，，，满足， 

此时角最大，且，即为锐角， 

故可能为锐角三角形，故项错误． 

故选： 

对于项，在中，由正弦定理即可求解判断． 

对于项，假设，利用余弦定理即可求解． 

对于项，由结论，利用正弦定理，两角和与差的正弦公式化简可得，进而可求，即可判断得解． 

对于项，在中，由余弦定理可得，设，，，可得角最大，且，即为锐角，可得可能为锐角三角形，即可判断得解． 

此题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

11.【答案】ABD;

【解析】 

此题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题． 

设，，，求得 、、的值，进而可判断；再利用余弦定理求得的值，可得，再求得的面积为的值，从而得出结论． 

解：在中，由于：：：：， 

可设，，，求得，，， 

故三角形三边之比：：：：，故正确，不正确. 

又，故为钝角，故正确． 

若，则、，所以的面积为，故正确． 

故选

12.【答案】BC;

【解析】解：中，，，， 

由余弦定理得，， 

解得，所以正确； 

由正弦定理得，， 

解得， 

又，所以，所以正确； 

由三角形内角和知，，所以错误； 

所以的面积是，所以错误． 

故选： 

由余弦定理求出的值，再由正弦定理求得角， 

利用三角形内角和定理求出的值，再计算的面积． 

此题主要考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

13.【答案】ACD;

【解析】解：在中，由余弦定理得， 

，故正确， 

设三角形的边上的高为，，解得， 

当平面平面时，体积最大，最大值为，故错误； 

因为，，， 

所以把三棱锥放入一个长方体内，设长方体的三边为，， 

且，，，， 

长方体的体对角线为外接球的直径，，故正确； 

由，，，由余弦定理可得， 

，故正确； 

故选： 

利用空间几何体的性质，分别结合每个选项的条件计算可判断正确性． 

此题主要考查空间几何体的外接球的半径的求法，余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．

14.【答案】;

【解析】 

在中利用正弦定理求得的值，在中利用直角三角形的边角关系求得的值．该题考查了正弦定理与直角三角形的边角关系应用问题，是基础题． 

解：由题意，在中，，， 

， 

又， 

由正弦定理得， 

； 

在中，，， 

； 

则塔高等于． 

故答案为．

15.【答案】;;

【解析】解：设，， 

在中，由余弦定理可知， 

可知， 

可得：， 

可得：， 

可得：． 

故答案为：，． 

由题意设，，在中，由余弦定理可求的值，可求的值，进而可求，利用三角形的面积公式即可求解． 

这道题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．

16.【答案】;

【解析】解：在中，，  

，为锐角，  

．  

故答案为：．  

利用，即可解出．  

该题考查了三角形面积计算公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17.【答案】;

【解析】解：根据矩形纸片， 

如图所示： 

设，， 

利用勾股定理： 

解得：， 

所以：，， 

进一步利用勾股定理：， 

整理：， 

解得：， 

故：． 

故答案为： 

直接利用解三角形知识的应用和勾股定理的应用求出结果． 

该题考查的知识要点：解三角形知识的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

18.【答案】;

【解析】解：，，且的面积为， 

解得：， 

由余弦定理可得：． 

故答案为：． 

由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值． 

这道题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

19.【答案】解：（Ⅰ）∵cosA=， 

∴sinA==， 

∵B=A+． 

∴sinB=sin（A+）=cosA=， 

由正弦定理知=， 

∴b=•sinB=×=3． 

（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞ 

∴cosB=-=-， 

sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（-）+×=， 

∴S=a•b•sinC=×3×3×=．;

【解析】 

Ⅰ利用求得，进而利用和的关系求得，最后利用正弦定理求得的值．  

Ⅱ利用，求得的值，进而根两角和公式求得的值，最后利用三角形面积公式求得答案． 

这道题主要考查了正弦定理的应用．解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，注重了基础知识的综合运用．

20.【答案】解：（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinB+asinA=bsinA+csinC， 

由正弦定理，得+=ab+， 

所以由余弦定理，得， 

又C∈（0，π），所以； 

（2）因为，，由余弦定理可得， 

可得（a+b）2-2ab-12=ab，所以，， 

可得，当且仅当a=b时取等号， 

又由三角形三边关系得， 

所以a+b的取值范围是．;

【解析】 

由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； 

由余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算可得． 

此题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．

21.【答案】解：（Ⅰ）解：f（x）=sinx（cosx+sinx）+cox-  

=sinxcosx+cox  

=（sin2x+cos2x）+  

=sin（2x+）+  

∴函数f（x）的最大值为．当f（x）取最大值时sin（2x+）=1，  

∴2x+=2kπ+（k∈Z），解得x=kπ+（k∈Z），．  

故x的取值集合为{x|x=x=kπ+，k∈Z}．  

（Ⅱ）由题意f（A）=sin（2A+）+=，化简得 sin（2A+）=  

∵A∈（0，π），  

∴＜2A+＜，  

∴2A+=，  

∴A=；  

在△ABC中，根据余弦定理，得=+-2bccos=（b+c）2-3bc，  

∵b+c=3．  

∴bc≤（）2=，  

∴≥，当且仅当b=c=时取最小值．;

【解析】 

Ⅰ先对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值及此时的集合．  

Ⅱ利用求得，进而根据余弦定理构建，和的关系，利用基本不等式的知识求得的最小值．  

此题主要考查三角函数恒等变换的运用，余弦定理及基本不等式的基本知识．

22.【答案】由正弦定理，可得， 

即， 

化简可得又， 

所以，因此 

由，得由余弦定理及， 

得，化简得，解得或舍 

因此，;

【解析】

此题主要考查正弦定理、余弦定理与解三角形的综合，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题． 

利用正弦定理将已知式子进行化简可得， 

再由，可得，从而求得结果； 

由结果得到，再由余弦定理化简得到， 

从而求得，进而求得

23.【答案】解 根据题意， ， ，，且， 

则有 ， 

即     ， 

      ． 

即   ． 

， ，． 

，． 

由余弦定理得 

， 

当且仅当时取等号． 

，故． 

又，． 

即的取值范围是．;

【解析】 

根据题意，由数量积的计算公式可得 ，结合正弦定理可得   ，变形可得的值，即可得答案； 

由余弦定理可得，分析可得，解可得，由三角形的角边关系分析可得的最小值，综合即可得答案． 

该题考查三角形中的几何计算，涉及向量数量积的计算，的关键是利用基本不等式进行分析