2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学（理）试题含解析

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2021-2022学年河南省中原名校高二下学期第二次联考数学（理）试题一、单选题1．若是真命题，是假命题，则（       ）A．是真命题 B．是假命题C．是真命题 D．是真命题【答案】D【详解】试题分析：因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.【解析】真值表的应用.2．已知抛物线准线方程为，则其标准方程为（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件，判断抛物线的开口方向并求出，即可得到抛物线的标准方程.【详解】根据题意可知，抛物线开口向右且，故抛物线的标准方程为：.故选：C.3．已知正方体中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】平移直线，判断平移后的直线：在平面上，则平面，与平面交于一点则不平行，即可得解．【详解】①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；②中，由于，而平面，平面，故平面；③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；故选：B．4．方程表示椭圆的充要条件是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据为正数且不相等列不等式求解即可.【详解】方程表示椭圆则，即；若，则表示椭圆，所以方程表示椭圆的充要条件是，故选：B5．已知椭圆：经过点，且的离心率为，则的方程是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意将点代入椭圆方程，结合离心率公式即可得解.【详解】依题意可得，解得，故的方程是.故选：A.【点睛】本题考查了通过椭圆经过的点及离心率确定椭圆方程，考查了运算求解能力，属于基础题.6．如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1所成角的余弦值是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在三角形中用余弦定理即可解得.【详解】连接，，如图：易得，所以（或其补角）是异面直线AM与BC1所成角，设正方体的棱长为，，，在三角形中，，所以异面直线AM与BC1所成角的余弦值是.故选：A【点睛】本题考查了求异面直线所成角，通过找平行线转化为两条相交直线所成角（或其补角）是解题关键，属于基础题.7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（       ）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则【答案】D【详解】试题分析：，,故选D.【解析】点线面的位置关系.8．已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且=c2，则此椭圆离心率的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设，所以，选C.9．过双曲线的右焦点作轴的垂线与双曲线交于两点，为坐标原点，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题得解（1）（2）得，所以双曲线的渐近线方程为，故选B.10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解.【详解】如图，以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而.设平面的法向量为，则，即，得，令，则，所以点E到平面的距离为．故选：C11．如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列说法中不正确的是（       ）A．平面平面 B．C．平面平面 D．平面【答案】D【分析】选项A . 由面面垂直的性质可得到平面，从而判断；选项B. 由条件可得，根据面面垂直可得平面，从而可判断；选项C. 由线面垂直的判定可得平面，从而可判断；选项D. 若平面,则可得则，从而得到矛盾，即可判断.【详解】选项A . 由平面平面，平面平面,又，且平面，所以平面 由平面，所以平面平面，故A正确.选项B . 由上有平面，又平面，则，故B正确.选项C . 由上可知，，且,所以平面, 又平面,所以平面平面，故C正确.选项D . 由上有平面，又平面，则 若平面，由平面,则,这与相矛盾，故D不正确.故选：D12．设抛物线的焦点为，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，，利用抛物线定义可得；在中根据余弦定理，利用表示出，结合基本不等式可求得的最大值.【详解】设抛物线准线为，作，，，垂足分别为，设，，由抛物线定义可知：，，，在中，由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），即的最大值为.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线中与线段长度有关的最值问题的求解，解题关键是能够结合抛物线的定义，利用焦半径表示出所需的线段长，从而利用基本不等式求得结果.二、填空题13．已知向量 ，且 ，则实数________．【答案】【分析】，利用向量的数量积的坐标运算即可.【详解】，则，解得故答案为：14．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】【详解】由题意设所求双曲线的方程为，∵点在双曲线上，∴，∴所求的双曲线方程为，即．答案：15．函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．【答案】【分析】对求导，由题设有恒成立，再利用导数求的最小值，即可求a的范围.【详解】由题设，，又在 R上的单调递增函数，∴恒成立，令，则，∴当时，则递减；当时，则递增.∴，故.故答案为：.16．已知函数是函数的导函数,,对任意实数都有,则不等式的解集为___________.【答案】【详解】令则，∴在R上是减函数．又等价于∴．故不等式的解集是答案：．点睛：本题考查用构造函数的方法解不等式，即通过构造合适的函数，利用函数的单调性求得不等式的解集，解题时要注意常见的函数类型，如在本题中由于涉及到，故可从以下两种情况入手解决：（1）对于，可构造函数；（2）对于，可构造函数．三、解答题17．（1）请用分析法证明：；（2）请用反证法证明：设，，则与中至少有一个不小于2．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）应用分析法，将要证的结论转化为证明一个显而易见的结论即可；（2）首先否定结论：假设与都小于2成立，结合基本不等式求证一个相互矛盾的结论即可.【详解】证明：（1）要证：只需证：只需证：只需证：只需证：只需证：，而显然成立，∴原不等式得证．（2）假设结论不成立，即与都小于2，则①而由基本不等式，知：，，当且仅当时等号成立，∴与①式矛盾，∴假设不成立，原命题成立．18．已知函数．（1）求函数的单调区间．（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调增区间 单调减区间 （2） 【详解】试题分析：（1）对函数求导，令，解不等式，即得到递增区间，令，解不等式，即得递减区间；（2）若对恒成立，即对恒成立，所以问题转化为求成立即可，即求函数在区间上的最小值，根据第（1）问单调性，易求出函数在上的最小值，于是可以求出的取值范围．试题解析：（1）令，解得或， 令，解得：.        故函数的单调增区间为，单调减区间为.   （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，∵对恒成立，∴，即，∴19．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的分布列为的数学期望【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列．试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.（II）由题设知（I）知，，，，可能取值为故，，的分布列为 【解析】1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.20．为推行“新课堂”教学法，某老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式在甲、乙两个平行班进行教学实验，为了解教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出如图所示的茎叶图，若成绩大于70分为“成绩优良”.(1)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”?(2)从甲、乙两班40个样本中，成绩在60分以下(不含60分)的学生中任意选取2人，记ξ为所抽取的2人中来自乙班的人数，求ξ的分布列及数学期望.附:K2=(n=a+b+c+d)，【答案】(1)表格见解析，能(2)分布列见解析，【分析】（1）根据茎叶图中的数据，统计出甲、乙两班“成绩优良”及“成绩不优良”的人数，填入列联表，计算的观测值，与3.841进行比较即可得出结论.（2）根据茎叶图得出的所有可能取值，分别计算概率，列出分布列，根据分布列求数学期望.【详解】(1)根据茎叶图中的数据作出列联表如表所示：根据列联表中的数据，得的观测值为，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)样本中成绩在60分以下的学生中甲班有4人，乙班有2人，所以的所有可能取值为，则=，， =，则随机变量的分布列为：则数学期望.21．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某公司计划对未开通共享单车的县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示.（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次元，按用户每使用一次，收费元计算，若投入辆单车，则几年后可实现盈利？参考数据：其中，.参考公式：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.【答案】（1）适宜，；（2）年.【分析】（1）根据散点图判断，适宜；由两边同时取对数得，设，则，根据参考数据以及参考公式首先求出的回归直线方程进而求出结果；（2）将8000代入回归直线方程可得年使用人次，求出每年收益与总投资，则可求出结果.【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型.由，两边同时取常用对数得.设，则.因为，，，，所以.把代入，得，所以，所以，则，故关于的回归方程为.（2）投入千辆单车，则年使用人次为千人次，每年的收益为（千元），总投资千元，假设需要年开始盈利，则，即，故需要年才能开始盈利.22．已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若，且，证明：．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．【分析】（1）求出，得出当时，；当时即可求解；（2）通过分析法将原问题转化为证明，构造，利用导数研究其单调性即可.【详解】（1），，由得，当时，；当时，∴在上单调递增，在上单调递减．（2）∵，且，∴由（1）知，不妨设．要证，只需证明，而，在上单调递减，故只需证明．又，∴只需证明．令函数，则.当时，，，故，∴在上单调递增，故在上，∴成立，故成立．0123甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总计P(K2≥k0)0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635甲班乙班总计成绩优良101626成绩不优良10414总计202040012P