2021-2022学年吉林省实验中学高二下学期线上教学诊断检测数学试题含解析

这是一份2021-2022学年吉林省实验中学高二下学期线上教学诊断检测数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省实验中学高二下学期线上教学诊断检测数学试题一、单选题1．下列求导错误的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则即可求出．【详解】根据基本初等函数的导数公式，复合函数的导数公式以及导数的四则运算法则可知，A，B，D求导正确，，C错误．故选：C．2．展开式的第3项的系数是（       ）A．20 B．30 C． D．60【答案】D【分析】根据二项式展开式直接求解即可【详解】因为展开式的第3项为，所以展开式的第3项的系数是，故选：D3．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【详解】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程．4．函数的单调递减区间是(　　)A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．【详解】函数的定义域是（0，+∞），y′=1﹣+= ，令y′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故函数在（0，1）递减，故选B．【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性问题，是一道常规题．5．4位男同学和5位女同学排成一排拍照，则这4位男同学排在一起的排法数为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】相邻问题用“捆绑法”.【详解】将4位男同学看作一个人，与5位女同学排成一排，则有种排法，再排4位男同学，有种排法，所以共有种排法.故选：A.6．北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”以熊猫为原型进行创作，意喻敦厚、健康、活泼、可爱；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计，表达了世界文明交流互鉴，和谐发展理念．两者一经发布，深受大家喜爱．某校为了加强学生对体育的热情，委派小刘、小陈、小赵、小孙、小王、小航人将这两个吉祥物组装安放至操场，每个吉祥物组装安放至少需要两人，每人都必须前往组装安放，但小陈和小王不能组装安放同一个吉祥物，则不同的方案共有（       ）种．A． B． C． D．【答案】B【分析】先分类成两种情况：四人一组和两人一组以及三人一组和三人一组，然后根据计数原理求解即可.【详解】由题意可以分为两种情况：第一种：四人一组和两人一组，共有；第二种：三人一组和三人一组，共有；所以不同的方案一共有：.故选：B.7．若的展开式中各项系数的和为1，其中，，则该展开式中的常数项是（       ）A． B． C．160 D．80【答案】B【分析】首先利用赋值，求，再利用二项展开式的通项公式求常数项；【详解】令，则有，可得或，又，，∴，展开式的通项为，令，得，故展开式中的常数项为.故选：B.8．设函数是R上的可导函数，其导函数是，且恒成立，则（       ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可构造函数，即可利用其单调性和不等式性质判断各选项的真假．【详解】设，函数定义域为R，，所以函数在R上递增，故，即，亦即．故选：C．二、多选题9．对于关于下列排列组合数，结论正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断作答.【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；对于B，，B正确；对于C，因，因此成立，C正确；对于D，因，即不成立，D不正确.故选：ABC10．展开式中，下列说法正确的有(       )A．二项式系数和B．第2项是105C．第8项与第9项的二项式系数相等D．第9项的系数最小【答案】AC【分析】利用二项式定理展开式的性质逐项判断即可.【详解】A：展开式二项式系数之和，故A正确；B：二项式展开式的第二项为：，故B错误；C：第8项二项式系数为，第9项二项式系数为，，故C正确；D：二项展开式的通项为，当r取奇数时，系数为负数，当r=7或8时，二项式系数最大，故当r=7时，项的系数最小，此时为第8项，故D错误.故选：AC.11．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（       ）A．的单调减区间是B．的极小值是﹣6C．过点只能作一条直线与的图象相切D．有且只有一个零点【答案】BCD【分析】求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假．【详解】因为，令，得或，则在，上单调递增；令，得，则在上单调递减．所以极小值为，极大值为，而，故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确；设过点的直线与的图象相切，切点为，因为，，所以切线方程为．将代入，得．令，则，所以在，上单调递增，在上单调递减．因为，，，所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确．故选：BCD．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．12．已知函数，（       ）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】首先利用函数的求导求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值，再利用函数的零点和方程的根的关系式求出函数有两个零点，进一步利用函数的单调性和函数的值比较出函数的大小关系，最后利用函数的恒成立问题的应用求出最后结果．【详解】解：易知函数的定义域为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得极大值，A正确；令，则，即，故只有一个零点，B错误；显然，因此，易知，，设，则，当时，，单调递减，而，所以，即，所以，所以，C正确；令（），则，当时，，当时，，所以在处取得极大值也是最大值，因为在上恒成立，所以，D正确.故选：ACD.三、填空题13．函数的最小值为______ .【答案】【解析】求导，判断函数的单调性，根据单调性即可求解.【详解】，，，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减；在上单调递增，所以.故答案为：14．若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误拼写方法有________种．【答案】11【分析】求出这四个字母排列的所有可能，减去正确的拼写种数，即可求出拼写错误的种数.【详解】解：单词中含个字母，则其全排列为，但其中两个字母一样，因此排列方法为，其中只有一种组合是正确，因此错误拼写方法有种，故答案为:11.【点睛】本题考查了排列数的计算，考查了排列的应用，属于基础题.15．的展开式中项的系数是______.（用数字作答）【答案】【分析】结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】的展开式中项的系数为：.故答案为：16．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解.【详解】因为，所以为奇函数，因为，所以为上的增函数，由得，则，因为，所以．令，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，所以，即，所以实数的取值范围为.故答案为：四、解答题17．（1）计算：；（2）已知，求的展开式中的系数.（用数字作答）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据排列数和组合数公式即可求出；（2）根据二项式系数的性质或者二项展开式的通项公式即可求出．【详解】（1）；（2）的展开式中的系数和为：．或者，所以的系数为．18．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)4名男生互不相邻；(2)若4名男生的身高都不相同，这4名男生从左到右按从高到低的顺序站（可相邻，也可不相邻）；(3)老师不站中间，女生不站两端.【答案】(1)144.(2)210.(3)2112.【分析】（1）元素不相邻用“插空法”.（2）顺序一定用“倍缩法”.（3）有两个限制条件分类讨论求解.【详解】(1)选站老师和女生，有站法种，再在老师和女生站位的间隔（含两端）处插入男生，每空一人，有插入方法种，共有不同站法：种(2)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有种，所以，由高到低从左到右有不同站法：种(3)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：（1）老师站两侧之一，另一侧由男生站，有种站法；（2）两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有种站法，共有不同站法种19．已知函数.（1）若时，求在上的最大值和最小值；（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）.【解析】（1）利用导数求出函数在区间上的极值，并与和的值，由此可得出函数在区间上的最大值和最小值；（2）由题意可得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求出函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，，令，由于，则，列表如下：极小值所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，，又，，则；（2），，由题意可知，对任意的恒成立，则，函数在区间上为增函数，则，所以，，即.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查运算求解能力，属于中等题.20．已知的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和为32.(1)求n的值及二项式系数最大的项；(2)若，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据二项式系数的性质先求出，即可得到二项式系数最大的项；（2）对等式赋值，，将得到的等式相加即可解出．【详解】(1)因为奇数项的二项式系数之和为，所以，解得，所以二项式系数最大的项为．(2)对，即令得，①；令得，②，①＋②得，．21．已知.(1)讨论的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.【答案】(1) 时 ,在是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.试题解析：（Ⅰ）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.【解析】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.22．已知函数．(1)若是的极值点，求，并讨论的单调性；(2)当时，证明：．【答案】(1)m=1，时，递减，时，递增(2)证明见解析【分析】（1）根据极值点使得导函数为0求出m的值，并求出单调性；（2）利用隐零点求出函数最小值大于0，从而证明出结论.【详解】(1)，，是的极值点，，得；当时，，递减，当时，，递增；综上：时，递减，时，递增(2)当时，，，，故在上有唯一实数根，且使得：．当时，，当时，，从而当时，取得最小值，，．