2021高考数学试题全详解

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2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，2，3，4，，集合，，，，则　　A． B．， C．， D．，2，3，2．设，则　　A． B． C． D．3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是　　A． B． C． D．4．函数的最小正周期和最大值分别是　　A．和 B．和2 C．和 D．和25．若，满足约束条件则的最小值为　　A．18 B．10 C．6 D．46．　　A． B． C． D．7．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为　　A． B． C． D．8．下列函数中最小值为4的是　　A． B． C． D．9．设函数，则下列函数中为奇函数的是　　A． B． C． D．10．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　A． B． C． D．11．设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为　　A． B． C． D．212．设，若为函数的极大值点，则　　A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13．已知向量，，若，则　　．14．双曲线的右焦点到直线的距离为　　．15．记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为　　（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．（1）求，，，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．19．（12分）设是首项为1的等比数列，数列满足，已知，，成等差数列．（1）求和的通项公式；（2）记和分别为和的前项和．证明：．20．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2．（1）求的方程；（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值．21．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．（1）写出的一个参数方程；（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知全集，2，3，4，，集合，，，，则　　A． B．， C．， D．，2，3，【思路分析】利用并集定义先求出，由此能求出．【解析】：全集，2，3，4，，集合，，，，，2，3，，．故选：．【归纳总结】本题考查集合的运算，考查并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2．设，则　　A． B． C． D．【思路分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解析】：解法一：由，得．故选：．解法二：（山西运城刘丽补解）：等式两边同乘ｉ可得。两边再同乘即得结果为，故选：．【归纳总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．已知命题，；命题，，则下列命题中为真命题的是　　A． B． C． D．【思路分析】先分别判断命题和命题的真假，然后由简单的复合命题的真假判断法则进行判断，即可得到答案．【解析】：对于命题，，当时，，故命题为真命题，为假命题；对于命题，，因为，又函数为单调递增函数，故，故命题为真命题，为假命题，所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题，故选：．【归纳总结】本题考查了命题真假的判断，解题的关键是掌握全称命题和存在性命题真假的判断方法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．4．函数的最小正周期和最大值分别是　　A．和 B．和2 C．和 D．和2【思路分析】化简函数的表达式，再利用三角函数的周期，正弦函数的最值求解即可．【解析】：，．当时，函数取得最大值；函数的周期为，最大值．故选：．【归纳总结】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．若，满足约束条件则的最小值为　　A．18 B．10 C．6 D．4【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：由约束条件作出可行域如图，联立，解得，由，得，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为．故选：．【归纳总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6．　　A． B． C． D．【思路分析】直接利用二倍角的余弦化简求值即可．【解析】：解法一：．故选：．解法二：（山西运城刘丽补解）：【归纳总结】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．7．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为　　A． B． C． D．【思路分析】我们分别计算出区间和的长度，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．【解析】：由于试验的全部结果构成的区域长度为，构成该事件的区域长度为，所以取到的数小于的概率．故选：．【归纳总结】本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题．8．下列函数中最小值为4的是　　A． B． C． D．【思路分析】利用二次函数的性质求出最值，即可判断选项，根据基本不等式以及取最值的条件，即可判断选项，利用基本不等式求出最值，即可判断选项，利用特殊值验证，即可判断选项．【解析】：对于，，所以函数的最小值为3，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，因为，所以等号取不到，所以，故选项错误；对于，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为4，故选项正确；对于，因为当时，，所以函数的最小值不是4，故选项错误．．(详解D) 当x>1时，lnx>0,所以2（当且仅当lnx=2即x=时取等号）；当0