高考数学二轮专题复习《球的表面积和体积》选题练习（2份打包，解析版+原卷版）

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高考数学二轮专题复习《球的表面积和体积》选题练习一              、选择题1.正方体的内切球和外接球的体积之比为(　　)A.1:               B.1:3        C.1:3              D.1:9答案为：C；解析：关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a.2.长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(　　)A.25π           B.50π            C.125π          D.以上都不对答案为：B；解析：外接球的直径2R=长方体的体对角线=(a、b、c分别是长、宽、高).3.已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为(　　)A.4π        B.8π       C.12π        D.16π答案为：A解析：依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VP－ABC=2VO－ABC=2×S△ABC×d=××12×d=，解得d=.又R2=d2＋()2=1，所以球O的表面积等于4πR2=4π.故选A.4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)A.         B.         C.4π        D.π答案为：A解析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，令其为三棱锥A－BCD，由俯视图可知，底面BCD是一个等腰直角三角形，∠BCD为直角.平面ABD⊥平面BCD，易知外接球的球心O为△ABD的中心，则球O的半径R=，外接球的表面积等于4πR2=4π×2=.5.若三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为(　　)A.64π         B.63π       C.65π         D.32π答案为：A；解析：设球O的半径为R，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC2=1＋4－2×1×2×cos 60°=3，所以AB2＋BC2=AC2.即△ABC为直角三角形，那么△ABC所在截面圆的直径为AC，所以(2R)2=SA2＋AC2=64.所以S球=4πR2=64π.6.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A.36π         B.64π       C.144π         D.256π答案为：C；解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO­ABC=VC­AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，则球O的表面积为S=4πR2=144π.  7.现有一块半球形原料，若通过切削将该原料加工成一个正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为(　　)A.         B.        C.         D.答案为：A；解析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为a，则球的半径为R==a，所以所求体积比为=，故选A.8.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为(　　)A.        B.2             C.        D.4答案为：B；解析：设长方体三条棱的长分别为a，b，c，由题意得，解得.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2.故选B.9.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)A．36π            B．64π         C．144π           D．256π答案为：C.解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO­ABC=VC­AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，则球O的表面积为S=4πR2=144π.10.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是(　　)A.6         B.12       C.18         D.24答案为：C解析：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×2＋2××2×3=18.11.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D­ABC体积的最大值为(　　)A．12           B．18          C．24           D．54答案为：B；解析：由等边△ABC的面积为9，可得AB2=9，所以AB=6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r=AB=2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d===2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4=6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为×9×6=18.12.已知三棱锥P­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB=2，∠ACB=90°，PA为球O的直径且PA=4，则点P到底面ABC的距离为(　 　)A.         B.2       C.         D.2答案为：B.解析：取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB=2，∠ACB=90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A=，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA=4，所以OA=2，所以OO1==，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1=2.二              、填空题13.若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为      ．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=≥=3，当且仅当a=b时，r的最小值为，所以球O表面积的最小值为：4πr2=18π．故答案为：18π．14.在三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　    　.答案为：π解析：三棱锥A﹣BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，设长方体的三度为a，b，c，则由题意得：ab=，ac=，bc=，解得：a=，b=，c=1，所以球的直径为： =所以球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为=π15.在三棱锥P­ABC中，PA=PB=2，AB=4，BC=3，AC=5，若平面PAB⊥平面ABC，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为________.答案为：25π解析：取AB的中点O′，AC的中点O，连接O′O，因为PA2＋PB2=AB2，所以△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，从而点O′为△PAB外接圆的圆心，又AB2＋BC2=AC2，所以△ABC是以AC为斜边的直角三角形，从而点O为△ABC外接圆的圆心，又因为O′O∥BC，所以O′O⊥AB，又因为平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC=AB，所以O′O⊥平面PAB，所以点O为三棱锥P­ABC外接球的球心，所以外接球的半径R=OA=AC=，故外接球的表面积S=4πR2=25π.16.在封闭的直三棱柱ABC­A1B1C1内有一个体积为V的球. 若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是        . 答案为：.解析：[当球的半径最大时，球的体积最大. 在直三棱柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC，AB=6，BC=8，所以AC=10，底面的内切圆的半径即为此时球的半径r==2，直径为4>侧棱. 所以球的最大直径为3，半径为，此时体积V=.]