2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（文）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年甘肃省高台县第一中学高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1．设（i是虚数单位），则（       ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】先求出z，再求.【详解】，则.故选：D.2．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是A．至少有一个样本点落在回归直线上B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关【答案】D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误；所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误；若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误；相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确．故选D．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设（       ）A．三个内角都不大于B．三个内角都大于C．三个内角至多有一个大于D．三个内角至多有两个大于【答案】B【分析】根据反证法的知识确定正确选项.【详解】反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应假设“三角形三个内角都大于.”故选：B4．指数函数都是增函数，（大前提）：函数是指数函数，（小前提）；所以函数是增函数.（结论）.上述推理错误的原因是（       ）A．小前提不正确 B．大前提不正确C．推理形式不正确 D．大､小前提都不正确【答案】B【分析】根据指数函数的单调性及演绎推理即可得到答案.【详解】大前提错误.因为指数函数（，且）在时是增函数，而在时为减函数.故选：B5．将极点与原点重合，极轴与轴的非负半轴重合，且它们的长度单位相同，则极坐标系中的点化成直角坐标系中的点的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】极坐标与直角坐标的互化，利用 ，直接计算即可【详解】极坐标与直角坐标的互化，利用 ，所以，所以点坐标为.故选:B.6．将曲线变换为曲线的一个伸缩变换为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设伸缩变换为，将其变换后代入曲线，化简整理，可得，再将其与进行系数恒等，即可求出结果．【详解】设伸缩变换为，可知，将其代入曲线，由题意可知，即由曲线经伸缩变换成曲线，所以，所以．所以．故选：A．7．已知与之间的线性回归方程为，其样本点的中心为，样本数据中的取值依次为2.5，，3.4，4.2，5.4，则（       ）A．2 B．2.8 C．3 D．3.2【答案】C【分析】根据线性回归方程过样本中心点求出，再根据平均数的算法可求m.【详解】因为线性回归方程过样本中心点，所以，所以.故选：C.8．下列选项分别为一组观测值的四个一元线性回归模型对应的残差图，则对应的一元线性回归模型的拟合效果最好的残差图是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】残差点比较均匀地落在水平的带状区域中时比较合适，即可得出答案.【详解】对于A，残差图中的点分布在以原点为中心的水平带状区域上，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的冋归模型是合理的；对于B，残差图中的点分布在一条倾斜的带状区域上，并且沿带状区域方向散点的分布规律相同，说明残差与横坐标有线性关系，此时所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地； 对于C，残差图中的点分布在一条拋物线形状的弯曲带状区域上，说明残差与坐标轴变量有二次关系，此时所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地；对于D，残差图中的点分布范围随着横坐标的增加而扩大，说明残差与横坐标变量有关，所选用的冋归模型的效果不是最好的，有改进的余地. 故选：A.9．已知圆的参数方程为，则圆心到直线的距离为（       ）A．1 B． C．2 D．2【答案】B【分析】先由圆的参数方程得到圆心坐标，再用点到直线距离公式进行求解.【详解】由圆的参数方程可知：圆心坐标为，故圆心到直线的距离为故选：B10．在一项调查中有两个变量x和y，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据散点图的趋势结合相应函数的增长变化的特征选定正确的选项.【详解】散点图呈曲线，中函数为线性函数，不合题意，排除选项；由散点图可知整体呈增长态势，且增长速度变慢.对于选项，函数为指数型函数，当时单调递增，且越增越快，不合题意，当时为单调递减函数，不合题意，故排除；对于C选项，函数为开口向上的二次函数，增长先慢后快,不合题意,排除选项C.中函数，当时，函数为单调递增函数，且增长率逐渐变小，符合题意，故正确.故选：D．11．已知直线：(t为参数)与圆：交于、两点，当最小时，的取值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，由于直线过定点在圆的内部，当时，取得最小值．利用，即可得出．【详解】解：圆：化为直角坐标方程为：．把直线：，化为普通方程为：，由于直线过定点在圆的内部，因此当时，取得最小值．，，解得．故选：D．12．过椭圆：（为参数）的右焦点作直线：交于，两点，，，则的值为A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得的值.【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得.故（异号）.故.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、填空题13．经过点、倾斜角为直线的参数方程为______．【答案】（为参数）【分析】设为直线上任意一点，有向线段，求出点的坐标即可得出直线的参数方程．【详解】解：设为直线上任意一点，设有向线段，则点横坐标为，点纵坐标为．直线的参数方程为为参数）．故答案为：（为参数）．14．设点P对应的复数为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标___________.【答案】【分析】由已知求得点P的直角坐标，进一步求出点P在极坐标下的极径与极角，则答案可求.【详解】∵点P对应的复数为，∴点P的直角坐标为（，3），则，即点P的极径为，又极角为，∴点P的极坐标为.故答案为：.15．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中数据，得出y关于x的回归直线方程为．据此计算出在样本处的残差为，则表中m的值______．x3456y234m 【答案】【分析】根据已知条件，结合残差的定义，以及线性回归方程的性质，即可求解．【详解】解：样本处的残差为且关于的回归直线方程为，，解得，故回归直线方程为，，，，解得．故答案为：．16．某珠宝店的一件珠宝被盗，找到了甲、乙、丙、丁4个嫌疑人进行调查.甲说：“我没有偷”；乙说：“丙是小偷”；丙说：“丁是小偷”；丁说：“我没有偷”，若以上4人中只有一人说了真话，只有一人偷了珠宝，那么偷珠宝的人是_______.【答案】甲.【详解】分析：本题可才用假设法进行推理论证，即可得到结论. 详解：由题意，假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一个人说真话是矛盾的，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷，丙：丁是小偷上假的，是成立，综上可知偷珠宝的人一定是甲. 点睛：本题主要考查了简单的合情推理，其中解答中作出假设法推理论证是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 三、解答题17．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）（φ为参数）；   （2）（t为参数）【答案】（1）焦点在x轴，长轴为10，短轴为8的椭圆.（2）斜率为且经过的直线．【详解】分析：由消掉参数即可确定它表示什么曲线；由消掉参数t即可明确它表示什么曲线．详解：，，即，表示焦点在x轴，长轴为10，短轴为8的椭圆；由消掉参数t得：，整理得．表示斜率为且经过的直线．点睛：本题考查椭圆的参数方程与直线的参数方程，消掉参数是关键，属于中档题．18．在极坐标系下，已知圆：和直线：．(1)求圆的直角坐标方程和直线的极坐标方程；(2)求圆上的点到直线的最短距离．【答案】(1)：，：(2)【分析】（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程，以及将直角坐标方程化为极坐标方程；（2）将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，即可求出圆上的点到直线的距离的最小值；【详解】(1)解：圆C：，即，圆的直角坐标方程为：，即；直线：，则直线的极坐标方程为．(2)解：由圆的直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为，半径为，因为圆心到直线的距离为，因此圆上的点到直线的最短距离为．19．这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智，某市某校学生也运用数学知识展开了对这次疫情的研究，一名同学在疫情初期数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期和全国累计报告确诊病例数量（单位：万人）之间的关系如下表：日期1234567确诊病例数量（万人）1.41.72.02.42.83.13.5 （1）根据表中的数据，适宜作为确诊病例数量关于日期的回归方程类型，请求出此线性回归方程；（精确到0.01）（2）预测2月16日全国累计报告确诊病例数.（精确到0.01）参考数据：①；②.其中，.参考公式：对于一组数据，，…，其回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：①，②.【答案】（1）；（2）6.6万人.【分析】（1）根据表中的数据先求出，， 再结合公式求出的值，从而可得线性回归方程；（2）把代入回归方程中可得结果.【详解】解：（1）由已知数据得：，，∴，，所以，关于的回归方程为：；（2）把代入回归方程得：，所以预测2月16日全国累计报告确诊病例数为6.6万人.【点睛】此题考查了线性回归方程，最小二乘法等知识，考查数学运算能力，属于基础题.20．在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）（II）【答案】（I）（II）【详解】（I）圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为联立得得所以与交点的极坐标为（II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ的直角坐标方程为由参数方程可得，所以21．在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查. 调查结果：接受调查总人数人，其中男、女各人；受调查者中，女性有人比较喜欢看电视，男性有人比较喜欢运动．（1）请根据题目所提供的调查结果填写下列列联表； 看电视运动总计女   男   总计    （2）已知.能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？注：，（其中为样本容量）【答案】（1）列联表见解析；（2）不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与休闲方式有关系”，理由见解析.【分析】（1）根据题中信息可完善列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）根据题目所提供的调查结果，可得下列列联表： 看电视运动总计女男总计 （2）根据列联表中的数据，可得，所以，不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．22．在平面直角坐标系中，直线的方程为为参数，曲线经过伸缩变换后得到曲线.以点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；(2)设射线与直线和曲线分别交于点，求的最大值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）通过加法消元求得直线的普通方程，再利用求得其极坐标方程；对曲线通过变换，即可容易求得其直角坐标方程；（2）求得曲线的极坐标方程，联立与直线和曲线的极坐标方程，求得，将目标式转化为关于的三角函数，求其最值即可.【详解】(1)对直线的参数方程，两式相加可得，且，由，得，又对曲线，经过变换，则，即，所以直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为.(2)直线极坐标方程整理得，即，曲线变形得，即，，由题可知，，则当且仅当，即，，当时，的最大值为.23．正项递增数列的前项和为，.(1)求的通项公式；(2)若，，，数列的前项和为，证明：.【答案】(1)或(2)证明见解析【分析】（1）先计算出，再通过退位相减计算的通项公式；（2）先求出，进而得到，借助进行放缩，最后裂项求和即可得证.【详解】(1)当时，，解得或.当时，，即，解得或，∴.当时，，即，解得.由，当时，，两式相减得，即，当时，，所以，即，∴或.(2)当时，，，则，.，则.∴.∴.