2021-2022学年广东省佛山市第四中学高二下学期3月段考数学试题（解析版）

这是一份2021-2022学年广东省佛山市第四中学高二下学期3月段考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省佛山市第四中学高二下学期3月段考数学试题一、单选题1．数列，，，，…的通项公式可能是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将原数列变形，再分别观察分子、分母的规律即可求解.【详解】将数列，，，，…变为，，，，…，从而可知分子的规律为，分母的规律为，再结合正负的调节，可知其通项为.故选：D2．已知等差数列的前三项分别为，，，则此数列的第四项为（       ）A．12 B．13 C．10 D．15【答案】B【分析】根据题意，，解方程得，进而得答案.【详解】解：因为等差数列的前三项分别为，，，所以，解得所以该等差数列的前三项为，公差为，所以此数列的第四项为.故选：B3．设为等差数列的前项和，已知，，则（       ）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】设等差数列的公差为，由题意建立方程，即可求出，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由题意可知，解得，，所以．故选：A.4．某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移l（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，则当s时，该运动员滑雪的瞬时速度是（       ）A．12m/s B．13m/s C．14m/s D．16m/s【答案】C【分析】根据导数的物理意义即可求解.【详解】因为，所以，所以该运动员的瞬时滑雪速度是14m/s.故选：C.5．在等差数列中，，且构成等比数列，则公差等于(       )A． B．0 C．3 D．0或3【答案】D【分析】根据等比中项和等差数列通项公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为d，∵，构成等比数列，∴，解得d＝0或3.故选：D.6．等比数列的前n项和为，若，，则（       ）A．10 B．70 C．30 D．90【答案】B【分析】根据等差数列前项和的性质来求得.【详解】由等比数列的性质可得，，，成等比数列∴（S20－S10）2＝S10·（S30－S20）∴400＝10·（S30－30）∴S30＝70故选：B.7．已知数列满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意所求和为，然后变形为，进而通过平方差公式化简，最后结合等差数列求和公式求出答案.【详解】.故选：A.8．如图，已知最底层正方体的棱长为a，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点，依此方法一直继续下去，则所有这些正方体的体积之和将趋近于（       ） A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可判断出所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，然后求和可得答案.【详解】最底层上面第一个正方体的棱长为，其体积为，上面第二个正方体的棱长为，其体积为，上面第三个正方体的棱长为，其体积为，所有这些正方体的体积构成首项为，公比为的等比数列，其前项和为，当，，所以所有这些正方体的体积之和将趋近于.故选：D.二、多选题9．下列结论正确的是（       ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AB【分析】根据导数的基本公式和运算法则依次计算各选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，若，则，正确；对于B选项，若，则，正确；对于C选项，若，则，错误；对于D选项，若，则，错误.故选：AB10．已知等差数列的前项和为，是各项都为正的等比数列,则下列说法正确的是（       ）A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列C．数列一定是等差数列 D．数列是等差数列【答案】ACD【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的通项公式，结合等差、等比数列的定义，逐项判定，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则，，等比数列的公比为，可得，对于A中，由（常数），所以数列为等比数列，所以A正确；对于B中，当时，，则，此时数列为等差数列，当时，由（不是常数），所以数列一定不是等差数列，所以B错误；对于C中，由，则（常数），所以数列等差数列，所以C正确；对于D中，由（常数），所以数列为等差数列，所以D正确.故选：ACD.11．设等差数列前项和为，公差，若，则下列结论中正确的有（       ）A． B．当时，取得最小值C． D．当时，的最小值为29【答案】ABC【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合该数列的单调性逐一判断即可.【详解】解：根据题意，由.故A正确；因为，故当时，，，当时，，当或时，取得最小值，故B正确；由于，故C正确；因为，，所以由，可得：，因此n的最小值为，故D错误.故选：ABC12．如图，在棱长为1的正方体中，M为棱的中点，P为线段上的动点（包含B，两个端点），则下列说法正确的是（       ）．A．平面截正方体所得截面图形的面积为B．存在一点P，使得直线与直线DP的公垂线段长为C．直线DP与平面所成角的最小值为D．当P从B移动到的过程中，直线DP与直线MB的夹角由小变大【答案】ABD【分析】取棱中点，作出截面并求其面积判断A；建立空间直角坐标系，借助空间向量计算判断B，C，D作答.【详解】对于A，取棱中点E，连接，如图，   正方体中，对角面是矩形，M为棱的中点，则，，，等腰梯形是平面截正方体所得截面，等腰梯形的高，，因此，平面截正方体所得截面图形的面积为，A正确；以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图， ，，因P为线段上的动点，设，，点，，对于B，令与、都垂直的向量为，则，令，得，，异面直线与直线DP的距离，而，解得，点P为的中点，即存在一点P，使得直线与直线DP的公垂线段长为，B正确；，令平面的法向量为，则，令，得，令直线DP与平面所成角为，则，显然最小值为，C不正确；对于D，令直线DP与直线MB的夹角为，则，当时，，当时，对递减，即随t的增大而减小，而锐角随的增大而递减，因此，当P从B移动到的过程中，直线DP与直线MB的夹角由小变大，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及几何体中动点按规律移动问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算解决.三、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．【答案】【分析】利用导数的几何意义求解【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以所求的切线方程为，即，故答案为: 14．在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ .【答案】27【分析】设公比为，利用已知条件求出，然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为，插入的三个数分别为，因为，所以，得，所以，故答案为：2715．如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为（），则的值为_____.，，，…【答案】【分析】根据已知条件，进行归纳推理，即可求得.【详解】因为“三角形数阵”的每一列数成等差数列， 所以.从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行的数构成首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：16．已知数列满足，，则使得成立的n的最小值为__________.【答案】11【分析】由题设可得，结合等比数列的定义知从第二项开始是公比为2的等比数列，进而写出的通项公式，即可求使成立的最小值n.【详解】因为，所以，两式相除得，整理得.因为，故从第二项开始是等比数列，且公比为2，因为，则，所以，则，由得：，故．故答案为：11.四、解答题17．已知递增的等差数列满足，且是与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差中项求出，根据已知列方程可得公差，然后可解；（2）由题知，进而裂项相消法求解.【详解】(1)解：设等差数列的公差为，由题可知，因为，所以，又是与的等比中项，所以，即，得或（舍去） 所以.(2)解：因为，所以..18．在四棱雉中，底面是正方形，若，，.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）根据等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式，结合二面角的定义进行求解即可.【详解】(1)设的中点为，连接，因为，所以，因此，在正方形中，，因为，所以，即，因为平面，所以平面，而平面，所以平面平面；(2)取的中点，连接，显然，由（1）可知：平面，而平面，所以，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，因此有：，设平面的法向量为，因此有：，平面与平面的夹角的余弦值为.19．已知等比数列的各项均为正数，，.(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意列出方程求得进而求得数列的通项公式；（2）由，结合题意求得，得到，利用乘公比错位相减法，求得数列的前项和为，进而证得，即可求解.【详解】(1)解：设等比数列的公比为，因为，，可得，即，解得或（舍去），所以数列的通项公式为.(2)解：由，可得因为与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，可得，所以，所以，设数列的前项和为，可得，则，两式相减，所以，因为，所以，所以，即.20．某林场去年底森林木材储存量为100万.若树木以每年的增长率生长，计划从今年起，每年底要砍伐的木材量为万.记为第年年底的木材储存量.(1)写出、；写出一个和之间的递推关系，并表示成的形式，其中k、r为常数；(2)为了实现经过10年木材储存量翻两番（原来的4倍）的目标，每年砍伐的木材量的最大值是多少？（精确到0.01万）（参考数据：、）【答案】(1)答案见详解(2)8.55【分析】（1）根据题意直接可得、和递推公式，然后变形整理可表示成的形式；（2）由（1）中递推公式可得通项，然后解不等式可得.【详解】(1)由题意知，，整理可得(2)由（1）知是以1.2为公比，为首项的等比数列，所以，得，因为10年木材储存量翻两番，所以，即，因为，所以，解得，所以每年砍伐的木材量的最大值为8.55万.21．已知数列的前项和为，，.(1)若成等差数列，求的值；(2)若为等比数列，求.【答案】(1)；(2) .【分析】（1）依题意表示出、，再根据等差中项的性质得到方程，解得即可；（2）根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，再代入检验即可；【详解】(1)解：由得：当时，，所以；当时，，所以   ，因为成等差数列，所以，即，所以 ；(2)解：因为为等比数列，所以成等比数列，所以，即，所以等比数列的公比，所以，经验：当时，满足题意，综上所述： .22．已知椭圆：（）的短半轴长为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点.【分析】(1)根据给定条件可得，利用离心率求出作答.(2)设出点A，B坐标，由已知探求出A，B坐标的关系，再设出l的方程并与椭圆方程联立，借助韦达定理计算推理作答.【详解】(1)因为椭圆：的短半轴长为，离心率为，令其半焦距为c，则，，解得，所以椭圆的标准方程为：.(2)设，，，不是椭圆左右顶点，椭圆左顶点，而以为直径的圆过点E，则，即有，由消去y并整理得：，，即，则，，而，则，化简得，解得或，满足，当时，直线方程化为，该直线恒过点，与已知矛盾，舍去，当时，直线方程化为，该直线恒过定点，所以直线过定点.