高中数学复习专题：简单的三角恒等变换

这是一份高中数学复习专题：简单的三角恒等变换，共15页。试卷主要包含了二倍角公式，辅助角公式，化简等内容，欢迎下载使用。
§4.5　简单的三角恒等变换
最新考纲
考情考向分析
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中低档难度.



1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))
tan(α－β)＝(T(α－β))
tan(α＋β)＝(T(α＋β))
2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
知识拓展
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3．辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝ .

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)对任意角α都有1＋sin α＝2.(　√　)
(3)y＝3sin x＋4cos x的最大值是7.(　×　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
题组二　教材改编
2．[P127T2]若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．[P131T5]sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案　
解析　sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．[P146T4]tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝ .
答案　
解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝，
∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)
＝－tan 20°tan 40°，
∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
题组三　易错自纠
5．化简：＝ .
答案　
解析　原式＝
＝＝＝.
6．(2018·昆明模拟)若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ .
答案　
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝.
7．(2018·烟台模拟)已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案　－
解析　方法一　sin＝，得sin θ－cos θ＝，①
θ∈，①平方得2sin θcos θ＝，
可求得sin θ＋cos θ＝，∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二　∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.


第1课时　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
题型一　和差公式的直接应用
1．(2018·青岛调研)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，∴tan α＝－，又tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
2．(2017·山西太原五中模拟)已知角α为锐角，若sin＝，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由于角α为锐角，且sin＝，
则cos＝，
则cos＝cos＝coscos ＋sinsin ＝×＋×＝，
故选A.
3．计算的值为 ．
答案　
解析　＝
＝＝＝.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

题型二　和差公式的灵活应用

命题点1　角的变换
典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案　
解析　依题意得sin α＝＝，
因为sin(α＋β)＝α，
所以α＋β∈，所以cos(α＋β)＝－.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
(2)(2017·泰安模拟)已知cos(75°＋α)＝，则cos(30°－2α)的值为 ．
答案　
解析　cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝，
∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－＝.


命题点2　三角函数式的变换
典例 (1)化简： (0b D．a>c>b
答案　D
解析　a＝sin 40°cos 127°＋cos 40°sin 127°
＝sin(40°＋127°)＝sin 167°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)＝sin 11°，
c＝＝cos239°－sin239°＝cos 78°＝sin 12°，
∵sin 13°>sin 12°>sin 11°，∴a>c>b.
5．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan等于(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
答案　D
解析　由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝.
∴tan 2α＝－，
∴tan＝＝
＝－.
6．已知sin 2α＝，则cos2等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为cos2＝
＝＝，
所以cos2＝＝＝，故选A.
7．(2018·新疆乌鲁木齐一诊)的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　原式＝
＝
＝＝.
8．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则α，β的大小关系是(　　)
A．α