高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式课时练习，文件包含专题22基本不等式解析版docx、专题22基本不等式原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
专题2.2 基本不等式

1．基本不等式：
（1）基本不等式成立的条件：.
（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题
（1）积xy是定值P，当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小)
（2）和x＋y是定值P，当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4．常用结论
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
5．利用基本不等式求最值的常用技巧
（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.
①拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．
②并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．
③配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.

一、单选题
1．已知两个正数满足，则的最小值
A．3 B．6
C． D．
【试题来源】北京师范大学附属中学2021-2022学年高一10月月考
【答案】B
【分析】直接由基本不等式可得．
【解析】，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选
2．设，则函数的最小值为
A．10 B．9
C．8 D．7
【试题来源】内蒙古鄂尔多斯市第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（理）
【答案】B
【分析】利用换元法令，可将整个式子化简成关于t的函数，分子分母再分别除以t，得到关于t的一个对勾函数，再利用对勾函数的性质求解．
【解析】令，则，因为，所以．
所以，当且仅当时，有最小值9．故选B．
3．下列说法中正确的是
A．当时， B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是5 D．若，则的最小值为
【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考
【答案】A
【分析】根据基本不等式适用的条件“一正二定三相等”依次讨论各选项即可求得答案．
【解析】对于A选项，时，，当且仅当即时取等号，A正确；对于B选项，当时，单调递增，故，没有最小值，B错误；
对于C选项，可得，
，即最大值为1，
没有最小值，C错误；
对于D选项，，不是定值，D不正确．故选A．
4．已知且，则的最小值为
A．3 B．4
C．5 D．6
【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期10月月考
【答案】A
【分析】根据题意，只需求的最小值，再根据基本不等式求解即可．
【解析】因为且，
所以．
当且仅当即时取等号，此时取得最小值小3．故选A．
5．设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为和，其全程的平均速度为，则
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考
【答案】D
【分析】设甲、乙两地之间的距离为，可求得，知A错误；利用基本不等式可求得，知BC错误；利用作差法可求得，知D正确．
【解析】设甲、乙两地之间的距离为，则全程所需的时间为，，A错误；，由基本不等式可得，，BC错误；
，，则，D正确．故选D．
6．下列结论正确的是
①当时，
②当时，的最小值是2
③当时，的最大值是
④设且x+y＝2，则的最小值是
A．①②④ B．①③④
C．①③ D．①④
【试题来源】河南省洛阳市第一高级中学2021-2022学年高一上学期9月月考
【答案】D
【分析】运用基本不等式逐一判断即可．
【解析】对于①：时，，当且仅当x＝1时，取等号，所以①正确；对于②：时，设（t≥2），则x2+5＝t2+1，原式转化为，当且仅当t＝1时，取等号，由于t≥2，取不到最小值，所以②不对；
对于③：时，，当且仅当x时，取等号，即最大值是，所以③不对；对于④：x+y＝2，可得，则（）（），当且仅当x，y时，取等号，即最小值是，所以④正确；故选D．
7．，不等式恒成立，则实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】北京师范大学附属中学2021-2022学年高一10月月考
【答案】D
【分析】不等式化为，利用基本不等式的性质可得的最小值，即可得出．
【解析】不等式化为，
，，当且仅当时取等号．
不等式对一切恒成立，，解得，故选．
8．若直线过点，则的最大值等于
A．2 B．3
C．4 D．5
【试题来源】甘肃省永昌县第一高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考（文）
【答案】C
【分析】根据题意得到，分类讨论，结合基本不等式，即可求解．
【解析】由题意，直线过点，可得，
当，此时；当，此时；
当时，可得，当且仅当时，等号成立，
综上可得，的最大值为．故选C．
9．已知，且，则的最小值为
A． B．
C．4 D．3
【试题来源】福建省三明第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】A
【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解析】因为，，，
则，
当且仅当且即，时取等号．故选A．
10．已知x，y均为正数，且满足，则的最大值为
A． B．2
C． D．
【试题来源】广西浦北中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】B
【分析】直接根据基本不等式即可求出的最大值．
【解析】因为，，所以，即，所以，即．
当且仅当且，即，时取等号，所以的最大值为2．故选B．
11．已知，则的最小值为
A．25 B．26
C．27 D．28
【试题来源】北京市第十二中学2022届高三10月月考
【答案】A
【解析】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立．故选A．
12．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】海南省海口市海南昌茂花园学校2022届高三上学期第一次月考
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得的最小值，由此可得的范围．
【解析】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为．故选D．
13．拟设计一幅宣传画，要求画面（小矩形）面积为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白．当宣传画所用的纸张（大矩形）面积最小时，画面的高是（ ）．

A．48 B．60
C．78 D．88
【试题来源】福建省福州外国语学校2021-2022学年高一10月月考学情评价一
【答案】D
【分析】设画面边长为，利用基本不等式求解纸张面积的最值，从而确定画面的高．
【解析】设画面边长为，其中是画面的高，则，
纸张面积为
，仅当，即时等号成立．
所以当宣传画所用的纸张（大矩形）面积最小时，画面的高是．故选D
14．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省创新发展联盟2021-2022学年高一上学期第一次联考
【答案】C
【分析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值．
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则．
因为，所以， 所以，
当且仅当时，等号成立．故这个直角三角形周长的最大值为故选C
15．若，则的最大值是
A． B．
C． D．
【试题来源】金太阳2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】B
【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解．
【解析】因为，所以，
，当且仅当，即时，等号成立，故选B．
16．已知，，且，则的最小值为
A． B．
C． D．
【试题来源】四川省内江市第六中学2021-2022学年高三上学期第二次（9月）月考（文）
【答案】C
【分析】根据，，且，结合“1”的代换，利用基本不等式求解．
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4故选C
17．若，且恒成立，则实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市第四中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】D
【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求得的最小值后可得的范围．
【解析】因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以．即的范围是．故选D．
18．若，则当取得最大值时，x的值为
A．1 B．
C． D．
【试题来源】广东省广州市第一中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】D
【分析】根据基本不等式即可得到答案．
【解析】因为，所以，则，
当且仅当时取“=”．故选D．
19．已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【试题来源】河南省驻马店市西平县高级中学2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】C
【分析】不等式恒成立，转化为，利用基本不等式求实数的取值范围．
【解析】因为，所以不等式恒成立，即
，
当时，即时，等号成立，所以．故选C
20．若，，且，则
A．有最大值1 B．有最小值1
C．有最大值 D．有最小值
【试题来源】河南省豫西名校2021-2022学年高一上学期第一次联考
【答案】B
【分析】借助均值不等式，可得可判断C，D；又结合，可判断A，B
【解析】由，得，当且仅当时等号成立，即
所以，故C，D错误，由，，
得，当且仅当时等号成立，故A错误，B正确，故选B
21．已知a>0，b>0，a+3b﹣ab=0，若不等式m≤a+3b﹣1恒成立，则m的最大值为
A．11 B．15
C．26 D．3﹣1
【试题来源】福建省福州市闽侯县第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】A
【分析】将用表示，代入，变形后利用基本不等式求出最小值，利用恒成立求出的范围，可得结果．
【解析】由得，因为，所以，所以，
所以
，当且仅当时，等号成立，
所以，所以的最大值为．故选A
22．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是
A．1 B．2
C．3 D．不存在
【试题来源】北京市对外经济贸易大学附属中学2022届高三10月月考
【答案】D
【分析】将已知转化为对，不等式恒成立，利用基本不等式可知恒成立，即可得到答案．
【解析】对，不等式恒成立，可化为恒成立，
利用基本不等式知，当且仅当，即时等号成立
，即恒成立，即实数m的最大值不存在．故选D
23．已知，且 ，则的最小值为
A．4 B．3
C．2 D．1
【试题来源】山西省运城市教育发展联盟2021-2022学年高一上学期10月月考
【答案】C
【分析】利用已知条件将化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果．
【解析】
，
当且仅当，即，又，所以时，等号成立．故选C
24．若正实数x，y满足，则的最小值为
A．8 B．9
C．10 D．11
【试题来源】山东省济南市章丘区第四中学2021-2022 学年高一上学期第一次质量检测
【答案】B
【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可．
【解析】因为，则，又，是正数．
所以，
当取得等号，即且时取等号，
所以的最小值为9，故选B．
25．对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是
A． B．
C． D．2
【试题来源】山东省日照实验高级中学2021-2022学年高一上学期第一次月考
【答案】D
【分析】当时，可判断A；当时，可判断B；当时，可判断C；利用均值不等式，可判断D．
【解析】选项A：当时，，，不成立，故A错误；
选项B：当时，，，不成立，故B错误；
选项C：当时，，不成立，故C错误；
选项D：由有意义，故，因此
由均值不等式，，当且仅当，即时等号成立
故D正确，故选D
二、多选题
1．已知正数a，b，则下列说法正确的是
A．的最小值为2 B．
C． D．
【试题来源】江苏省星海中学2021-2022学年高一上学期十月月考
【答案】BC
【分析】由基本不等式和重要不等式逐一判断选项，讨论等号成立的条件可得结果．
【解析】A选项：，当且仅当时等号成立，而，故“等号”不成立，A不正确；
B选项：，当且仅当时等号成立，故B正确；C选项：，当且仅当时等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当时等号成立，故D不正确；故选BC
2．设，且，那么
A．有最小值 B．有最大值
C．有最大值 D．有最小值
【试题来源】贵州省黎平一中2021-202学年度高一上学期第一次月考试题
【答案】AD
【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项．
【解析】由，得，得，
则有，解得或（舍），
即（当且仅当时取等号），A正确，B错误．
由，得，
即或（舍去），（当且仅当时取等号），有最小值，D正确，C错误．故选AD
3．下列结论正确的是
A．当x≠0时，x+≥2 B．当x>0时，+≥2
C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当x