专题10 空间向量与立体几何-备战2020年新高考数学新题型之【多选题】

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1．已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】根据坐标求出，根据向量的运算法则即可判定.
由题，所以
不相等，所以A选项错误；
，所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
，
即，，所以D选项正确.
故选：BCD
2．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.[来源:学.科.网]
当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
3．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．向量与的夹角是60°D．与AC所成角的余弦值为
【答案】AB
【解析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.
以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则

而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，

所以，所以D不正确.
故选：AB
4．给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
D．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【解析】根据空间基底的概念，结合向量的共面定量，逐项判定，即可求解，得到答案.
选项中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以正确；
选项中，根据空间基底的概念，可得正确；
选项中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，
又由过相同点B，可得四点共面，所以正确；
选项中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以正确．
故选：ABCD.
5．下列命题中正确的是（ ）
A．是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底[来源:Z*xx*k.Cm]
C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】不共面的三个非零向量可以构成空间向量的一个基底，由此可判断A、B，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行，可判断C，直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值与该直线与此平面所成角的正弦值相等，由此可判断D．
对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；
对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；
对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故C错；
对于D，∵，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；
故选：ABD．
6．在四面体中，以上说法正确的有（ ）
A．若，则可知
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体各棱长都为2，M，N分别为，的中点，则
【答案】ABC
【解析】根据向量的线性运算与数量积一一判断即可.
解：对于，，，
，，即，故正确；
对于，若Q为的重心，则，
即，故正确；
对于，若，，则
故正确；
对于，
故错误.
故选：
7．给出下列命题，其中不正确的命题为（ ）
A．若＝，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；
B．若，则是钝角；
C．若为直线l的方向向量，则 (λ∈R)也是l的方向向量；
D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面．
【答案】ABCD
【解析】结合向量相关知识，对每个选项依次检验，证明其成立或举出反例判定该选项错误.
考虑平行四边形中，满足，不满足A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段；所以A选项不正确；
当非零向量夹角为时，满足，但它们夹角不为钝角，所以B选项不正确；
若为直线l的方向向量，当不能说是l的方向向量，所以C选项不正确；
考虑三棱柱，，满足与，与，与都是共面向量，但不共面，所以D选项不正确.[来源:学+科+网Z+X+X+K]
故选：ABCD
8．正方体的棱长为1，分别为的中点．则（ ）
A．直线与直线垂直B．直线与平面平行
C．平面截正方体所得的截面面积为D．点和点到平面的距离相等
【答案】BC
【解析】利用向量法判断异面直线所成角；利用面面平行证明线面平行；作出正方体的截面为等腰梯形，求其面积即可；利用等体积法处理点到平面的距离.
对选项A：（方法一）以点为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，则、、、、、.从而，，从而，所以与直线不垂直，选项A错误；
（方法二）取的中点，连接，则为直线在平面内的射影，与不垂直，从而与也不垂直，选项A错误；
取的中点为，连接、，则，，易证，从而，选项B正确；
对于选项C，连接，，易知四边形为平面截正方体所得的截面四边形（如图所示），且，，所以，而，从而选项C正确；
对于选项D：（方法一）由于，而，而，，所以，即，点到平面的距离为点到平面的距离的二倍.从而D错误.
（方法二）假设点与点到平面的距离相等，即平面将平分，则平面必过的中点，连接交于点，易知不是的中点，故假设不成立，从而选项D错误.