_上海市长宁区虹桥中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份_上海市长宁区虹桥中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的
C．不变D．不能确定
2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（ ）
A．10mB．25mC．100mD．10000m
3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是（ ）
A．∥，∥B．＝，＝C．＝D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（ ）
A．aB．2aC．aD．a
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD＝（ ）
A．2：3B．4：9C．2：5D．
6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BEDB．△BAD∽△BCDC．△AED∽△ABDD．△AED∽△CBD
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7．如果，那么＝ ．
8．化简：＝ ．
9．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝ ．
10．已知，，且与的方向相反，则＝ .（用表示）
11．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，2），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 ．
12．在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则＝ .（结果用，表示）
13．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△ABF：S△DEF＝ ．
14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，AB＝2，则AC＝ ．
15．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，则EF＝ ．
16．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是 ．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝ ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．计算：
20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．
（1）求证：；
（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．设AD＝x．
（1）BG＝ ；CH＝ ；（用x的代数式表示BG、CH）
（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每题4分，满分24分）
1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（ ）
A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的
C．不变D．不能确定
【分析】根据△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案．
解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键．
2．在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（ ）
A．10mB．25mC．100mD．10000m
【分析】设A、B两地间的实际距离为xm，根据比例线段得＝，然后解方程即可．
解：设A、B两地间的实际距离为xm，
根据题意得＝，
解得x＝100．
所以A、B两地间的实际距离为100m．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
3．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是（ ）
A．∥，∥B．＝，＝C．＝D．
【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可．
解：A、由于∥，所以、的方向相同，由于∥，故、的方向相同，所以∥，故本选项正确；
B、因为＝，所以和的方向相同，由于＝，所以、、的方向相同，所以∥，故本选项正确；
C、因为＝，所以、的方向相反，故∥的，故本选项正确；
D、因为，所以、的方向不能确定，故不能判定其位置关系，故本选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是向量平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanA＝，BC＝a，则AB的长为（ ）
A．aB．2aC．aD．a
【分析】根据直角三角形的边角关系进行计算即可．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵tanA＝＝，BC＝a，
∴AC＝2a，
由勾股定理得，
AB＝＝a，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，且BC：AC＝2：3，则CD：AD＝（ ）
A．2：3B．4：9C．2：5D．
【分析】先证明Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似三角形的性质求解即可．
解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
又∠CAD＝∠BAC，∠ACB＝90°，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴＝，
∵BC：AC＝2：3，
∴CD：AD＝2：3，
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
6．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（ ）
A．△AED∽△BEDB．△BAD∽△BCDC．△AED∽△ABDD．△AED∽△CBD
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．
解：∵AD：AC＝1：3，
∴AD：DC＝1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB＝BC＝AC；
∵AE＝BE，
∴AE：BC＝AE：AB＝1：2
∴AD：DC＝AE：BC；
∵∠A＝∠C＝60°，
∴△AED∽△CBD；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．
二、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）
7．如果，那么＝ ．
【分析】已知，设a＝k，b＝3k，代入求值的代数式化简即可．
解：∵，
设a＝k，b＝3k，
∴＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确设出a和b的值进行化简．
8．化简：＝ +4 ．
【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号法则．
解：＝3+6﹣2﹣2＝+4．
故答案为：+4．
【点评】此题考查了平面向量的加减运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是关键．
9．已知线段AB＝2，P是线段AB的黄金分割点（AP＜PB），那么PB＝ ﹣1 ．
【分析】直接根据黄金分割的定义求出PB的长即可．
解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜PB，AB＝2，
∴PB＝AB＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
10．已知，，且与的方向相反，则＝ ﹣ .（用表示）
【分析】根据两个向量的模的数量关系和方向解答即可．
解：∵，，
∴||＝||，
∵与的方向相反，
∴＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量是既有大小，又有方向的．
11．如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（2，2），射线OP与x轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于 ．
【分析】如图，过点P作PH⊥x轴于点H．证明∠POH＝45°，可得结论．
解：如图，过点P作PH⊥x轴于点H．
∵P（2，2），
∴OH＝PH＝2，
∴∠POH＝45°，
∴α＝45°，
∴csα＝，
故答案为：
【点评】本题考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是记住特殊角的三角函数值．
12．在平行四边形ABCD中，点E，F是边CD，BC边的中点，若，，则＝ .（结果用，表示）
【分析】根据平行四边形法则得出，再根据三角形中位线定理得出EF＝，即可求解．
解：如图，连接DB，
∵，，
∴，
∵点E，F是边CD，BC边的中点，
∴EF＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量，熟练掌握平行四边形法则是解题的关键．
13．如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，联结AE、BD，且AE、BD交于点F，若DE：EC＝2：3，则S△ABF：S△DEF＝ 25：4 ．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，即可证得△DEF∽△BAF，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△DEF∽△BAF，
∴＝（）2，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：CD＝DE：AB＝2：5，
∴S△ABF：S△DEF＝25：4．
故答案为：25：4．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
14．如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线且∠ACD＝∠B，AB＝2，则AC＝ ．
【分析】根据中线的定义得出AD＝DB＝AB＝1，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质解答即可．
解：∵CD是边AB上的中线，AB＝2，
∴AD＝DB＝AB＝1，
∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB，
∴AC2＝2，
∵AC＝或AC＝﹣（舍去），
故答案为：．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，则EF＝ 4.5 ．
【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，代入可求得答案．
解：∵AD∥BE∥FC，AB＝2，AC＝5，DF＝7.5，
∴＝，即＝，
解得EF＝4.5．
故答案是：4.5．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
16．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG＝2DE，AH是△ABC的高，BC＝20，AH＝15，那么矩形DEFG的周长是 36 ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质结论得到结论．
解：∵DG∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥DG，△ADG∽△ABC，
∴，即，
∴DE＝6，
∴DG＝2DE＝12，
∴矩形DEFG的周长＝2×（6+12）＝36．
故答案为：36．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，CE是AB边上的中线，AD与CE交于点F，点G是△ACD的重心，AB＝10，AD＝8，则点F与点G的距离是 2 ．
【分析】设直线AG与BC的交点为H，先由勾股定理和三线合一定理求得CD＝6，由重心的性质即可得到，DH＝3，进一步证明△AFG∽△ADH，得，即可求解．
解：设直线AG与BC的交点为H，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CD＝BD，∠ADB＝90°，D是BC的中点，
∴BD＝CD＝＝＝6，
∵CE是AB边的中点，AD是BC边中点，
∴点F是△ABC的重心，
∴AF：FD＝1：2，
∴AF：AD＝2：3，
∵点G是△ADC的重心，
∴DH＝DC＝3，，
∴，
又∵∠FAG＝∠DAH，
∴△AFG∽△ADH，
∴，
∴FG＝DH＝2，
故答案为2．
【点评】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，重心的性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键在于能熟练重心的性质．
18．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，联结AA′．那么tan∠BAA′＝ 2或 ．
【分析】设AB＝5a，BC＝3a，由锐角三角函数和勾股定理可求AC＝4a，由旋转的性质可求A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，分两种情况讨论，求出A'C'的长，即可求解．
解：∵∠C＝90°，sinA＝＝，
∴设AB＝5a，BC＝3a，
∴AC＝＝4a，
∵将△ABC绕点B旋转后，点C落在射线AB上，点A落到点A′处，
∴A'C'＝AC＝4a，BC＝BC'＝3a，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，
如图1，当点C落在线段AB上时，
则AC'＝AB﹣BC'＝2a，
∴tan∠BAA′＝＝2，
如图2，当点C落在线段AB的延长线上时，
则AC'＝AB+BC'＝8a，
∴tan∠BAA′＝＝，
故答案为：2或．
【点评】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．计算：
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
解：原式＝
＝
＝
＝3+2．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．如图，已知两个不平行的向量、．先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
【分析】首先利用平面向量的运算法则，将原式化简，即可得原式＝2﹣；然后利用三角形法则，即可求得2﹣．
解：原式＝，
＝．
作法：①作＝2，＝，
②连接AC，
则即为所求，即＝2﹣．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握平面向量的运算法则．
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；
（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似三角形的比例线段求得DF．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝6，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．
22．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．
（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；
（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．
【分析】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，再由AB＝6，BC＝8，DF＝21即可求出DE的长．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出HE及HB的长，然后即可得出BE的长．
解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝6，BC＝8，DF＝21，
∴，
∴DE＝9．
（2）过点D作DG∥AC，交BE于点H，交CF于点G，
则CG＝BH＝AD＝9，
∴GF＝14﹣9＝5，
∵HE∥GF，
∴，
∵DE：DF＝2：5，GF＝5，
∴，
∴HE＝2，
∴BE＝9+2＝11．
【点评】本题考查平行线分线段成比例的知识，综合性较强，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D在边BC上，且BD＝3CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE．
（1）求线段AE的长；
（2）求∠ACE的余切值．
【分析】（1）解直角三角形求出AB，BE，可得结论；
（2）根据余切值的定义求出，CH，EH，可得结论．
解：（1）∵BC＝4，BD＝3CD，
∴BD＝3，
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵DE⊥AB，
在Rt△DEB中，csB＝＝，
∴BE＝，
在Rt△ACB中，AB＝AC＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝4﹣＝．
（2）过点E作EH⊥AC于H．
在Rt△AHE中，csA＝＝，
∴AH＝×＝，
∴CH＝AC﹣AH＝4﹣＝，
∴EH＝AH＝，
在Rt△CHE中，ct∠ECH＝＝．
【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．如图，已知，在锐角△ABC中，BD和CE分别是边AC、AB上的高．
（1）求证：；
（2）联结AF，求证：AF•BE＝BC•EF．
【分析】（1）通过证明△AEC∽△FEB，根据相似三角形的性质可得结论；
（2）通过证明△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵BD和CE分别是边AC、AB上的高，
∴∠AEC＝∠BDA＝90°，
∴∠A+∠ACE＝90°＝∠A+∠ABD，
∴∠ACE＝∠ABD，
又∵∠AEC＝∠BEF＝90°，
∴△AEC∽△FEB，
∴＝；
（2）如图，连接AF，
∵△AEC∽△FEB，
∴＝，
∴＝，
又∵∠AEC＝∠FEB＝90°，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，
∴AF•BE＝BC•EF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝18，DB＝DC＝15，点E、F分别在线段BD、CD上，DE＝DF＝5．AE的延长线交边BC于点G，AF交BD于点N、其延长线交BC的延长线于点H．设AD＝x．
（1）BG＝ 2x ；CH＝ 2x ；（用x的代数式表示BG、CH）
（2）如果△ADN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结FG，当△HFG与△ADN相似时，求AD的长．
【分析】（1）可证得△ADE∽△GBE，△ADF∽△HCF，进而得出结果；
（2）作DM⊥CB于M，过点N作NQ⊥BC于Q，交AD于P，根据勾股定理得出DM的值，证明△ADN∽△HBN，从而求得PN的值，进一步得出结果；
（3）分为△ADN∽△HFG和△ADN∽△HGF．当△FCG∽△HFG时，可推出△FCG∽△HFG，从而得出FG2＝CG•CH，从而求得x的值；当△ADN∽△HFG时，可推出△CFG∥△CDB，进而求得x的值．
解：（1）∵AD∥CB，
∴△ADE∽△GBE，△ADF∽△HCF，
∴，，
∵BD＝DC＝15，DE＝DF＝5，
∴BE＝CF＝10，
∴，，
∴BG＝2x，CH＝2x，
故答案为：2x，2x；
（2）如图1，
作DM⊥CB于M，过点N作NQ⊥BC于Q，交AD于P，
∵BD＝CD＝15，BC＝18，
∴BM＝CM＝CB＝9，
∴PQ＝DM＝＝＝12，
∵AD∥CB，
∴△ADN∽△HBN，
∴，
∴＝，
∴，
∴PN＝，
∴＝＝，
∴y＝（0＜x≤9）；
（3）如图2，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠H，∠ADB＝∠DBC，
∵BD＝DC，
∴∠BDC＝∠DCB，
∴∠ADN＝∠DCB，
当△ADN∽△HGF时，
∠FGH＝∠ADN，
∴∠FGH＝∠FCG，
∴∠FCG＝∠DBC，
∴FG∥BD，
∴，
∴，
∴x＝3，
如图3，
当△ADN∽△FHG，此时∠ADN＝∠HFG，
∴∠DCB＝∠GFH，
∵∠FGH＝∠CGF，
∴△GFC∽△GHF，
∴，
∴，
∴CG＝，
∴18﹣2x＝，
∴x＝，
∴AD＝，
综上所述：AD＝3或．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是转化相似三角形．