黑龙江省肇源县东部七校2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试题(含答案)

这是一份黑龙江省肇源县东部七校2022-2023学年九年级上学期期中联考数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题.等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年黑龙江省大庆市肇源县东部七校九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．6x2y＝2x•3xy
3．已知实数a、b，若a＜b，则下列结论中，不成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．3a﹣1＜3b﹣1 C． D．1﹣a＜1﹣b
4．在平面直角坐标系中将M（4，5）向左平移3个单位，则平移后的点的坐标是（　　）
A．（7，5） B．（4，2） C．（1，5） D．（4，8）
5．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，26 D．8，15，17
6．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　　）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
7．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）

A．40° B．70° C．30° D．50°
8．若关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣4 B．a＝﹣4 C．a≥﹣4 D．a＞﹣4
9．20202﹣2020不能被下面哪个数整除（　　）
A．2020 B．2019 C．2018 D．1010
10．等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（　　）
A．45° B．30°或90°
C．90°或150° D．30°或90°或150°
二、填空题（每题3分，满分24分）
11．分解因式：3ax﹣6ay＝　 　．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C′，且点A在A′B′上，则旋转角为 　 　．

13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＞5，则a的取值范围是 　 　．
14．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若BD＝12，则AC＝　 　．

16．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），则他至少答对了 　 　道题．
17．已知x，y满足方程组，则x2﹣9y2的值为 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD＝　 　．

三、解答题（满分66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（1）解不等式：＞x+1．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
（3）因式分解3x﹣12x3；
（4）a2﹣4a+4﹣b2．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

21．利用因式分解计算：
（1）20222﹣2020×2024；
（2）592+59×82+412．
22．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．经过平移，△ABC的顶点A移到了点D的位置．
（1）画出平移后的△DEF；（点E与点B对应，点P与点C对应）
（2）求△DEF的面积．

23．已知方程组的解为正数．
（1）求 a的取值范围；
（2）根据 a的取值范围化简：|a+1|+|a﹣3|．
24．若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，利用所学知识判定△ABC的形状．
25．如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠D＝40°，∠C＝60°，AB∥DE，求∠DAC的度数．

26．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．

27．在毕节市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察得知，购进3台笔记本电脑和2台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机需要5.5万元．
（1）求笔记本电脑和一体机的单价？
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案．哪种方案费用最低．
28．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例的函数y＝x的图象交于点C．
（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；
（2）请结合图象直接写出不等式组0＜kx+b≤2的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△COP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．



参考答案
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）
A．x2+3x+2＝x（x+3）+2 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．6x2y＝2x•3xy
【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．
解：A．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形是整式乘法运算，不是分解因式，故本选项不符合题意；
D．等式的左边不是多项式，不是分解因式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
3．已知实数a、b，若a＜b，则下列结论中，不成立的是（　　）
A．a+2＜b+2 B．3a﹣1＜3b﹣1 C． D．1﹣a＜1﹣b
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A．不等式两边都加上2，不等号的方向不变，故A选项不合题意；
B．不等式的两边都乘3，可得3a＜3b，不等式的两边都减去1，不等号的方向不变，可得3a﹣1＜3b﹣1，故B选项不合题意；
C．不等式两边都乘，不等号的方向不变，可得，故C选项不合题意；
D．不等式的两边都乘﹣1，不等号的方向改变，可得﹣a＞﹣b，不等式两边都加上1，不等号的方向不变，可得a﹣1＞1﹣b，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查不等式的三条基本性质，特别是性质3，两边同乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向!这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．
4．在平面直角坐标系中将M（4，5）向左平移3个单位，则平移后的点的坐标是（　　）
A．（7，5） B．（4，2） C．（1，5） D．（4，8）
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
解：平移后的坐标为（4﹣3，5），即坐标为（1，5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握平移规律．
5．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，26 D．8，15，17
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、32+42＝52，能构成直角三角形；
B、52+122＝132，能构成直角三角形；
C、72+242≠262，不能构成直角三角形；
D、82+152＝172，能构成直角三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，解答此题关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是（　　）
A．3x2y2z B．x2y2 C．3x2y2 D．3x3y2z
【分析】根据公因式的概念即可得出答案．
解：多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是3x2y2，
故选：C．
【点评】本题考查了公因式，确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
7．如图所示，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数为（　　）

A．40° B．70° C．30° D．50°
【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，得到∠DBA＝∠A＝40°，计算即可．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DBA＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．若关于x的不等式组无解，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜﹣4 B．a＝﹣4 C．a≥﹣4 D．a＞﹣4
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集即可．
解：不等式整理得，
∵关于x的不等式组无解，
∴a≥﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
9．20202﹣2020不能被下面哪个数整除（　　）
A．2020 B．2019 C．2018 D．1010
【分析】直接提取公因式2020计算即可．
解：∵20202﹣2020＝2020（2020﹣1）＝2020×2019＝2×1010×2019，
∴2020×2019能被2020和2019整除，
∴2×1010×2019能被1010整除，
故选：C．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式．
10．等腰三角形一边上的高等于这条边的一半，那么顶角是（　　）
A．45° B．30°或90°
C．90°或150° D．30°或90°或150°
【分析】分三种情形①BD是腰上的高．②AD是底边上的高，分别求解即可．③△ABC是钝角三角形．
解：①如图1中，

∵AB＝AC，BD⊥AC，
BD＝AC＝AB，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°；
②如图2中，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵AD＝BC，
∴AD＝DB＝DC，
∴∠DAB＝∠DAC＝45°，
∴∠BAC＝90°；
③如图，AB＝AC，BD⊥AC，BD＝AB，
则∠BAD＝30°，∠BAC＝150°，

∴等腰三角形的顶角为30°或90°或150°
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
二、填空题（每题3分，满分24分）
11．分解因式：3ax﹣6ay＝　3a（x﹣2y）　．
【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．
解：3ax﹣6ay＝3a（x﹣2y）．
故答案为：3a（x﹣2y）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C′，且点A在A′B′上，则旋转角为 　50°　．

【分析】由将△ACB绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，即可得△ACB≌△A′B′C′，则可得∠A'＝∠BAC，△AA'C是等腰三角形，又由△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，即可求得∠A'、∠B'AB的度数，即可求得∠ACB'的度数，继而求得∠B'CB的度数．
解：∵将△ACB绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，
∴△ACB≌△A′B′C′，
∴∠A'＝∠BAC，AC＝CA'，
∴∠BAC＝∠CAA'，
∵△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝65°，
∴∠BAC＝∠CAA'＝65°，
∴∠B'AB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴∠ACB'＝180°﹣25°﹣50°﹣65°＝40°，
∴∠B'CB＝90°﹣40°＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
13．若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＞5，则a的取值范围是 　a＞1　．
【分析】将两根方程相加可得2x+y＝a+4，根据2x+y＞5得出关于a的不等式，解之可得答案．
解：将两个方程相加可得2x+y＝a+4，
∵2x+y＞5，
∴a+4＞5，
解得a＞1，
故答案为：a＞1．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
14．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 　4　．
【分析】利用十字相乘的方法判断即可求出m的值．
解：∵多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，
∴x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，
则m＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E．若BD＝12，则AC＝　6　．

【分析】利用线段垂直平分线的性质得AD＝BD，利用等腰三角形的性质得∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝12，再利用外角的性质得∠ADC＝30°，解直角三角形即可得AC的值．
【解答】解；∵AB边的垂直平分线交AB于E，交BC于D，
∴AD＝BD，
∴∠DAE＝∠B＝15°且AD＝BD＝12，
∴∠ADC＝30°，
∴AC＝AD＝×12＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
16．一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），则他至少答对了 　24　道题．
【分析】设小明答对了x道题，由题意：一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：设小明答对了x道题，
由题意得：4x﹣（30﹣x）×1≥90，
解得：x≥24，
即小明至少答对了24道题，
故答案为：24．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
17．已知x，y满足方程组，则x2﹣9y2的值为 　﹣20　．
【分析】首先应用平方差公式，把x2﹣9y2化成（x+3y）（x﹣3y），然后根据x，y满足方程组，应用整体代入法，求出x2﹣9y2的值即可．
解：∵x，y满足方程组，
∴x2﹣9y2
＝（x+3y）（x﹣3y）
＝（﹣5）×4
＝﹣20．
故答案为：﹣20．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝10，CD＝3，则S△ABD＝　15　．

【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10×3＝15，
故答案为15．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
三、解答题（满分66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）.
19．（1）解不等式：＞x+1．
（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
（3）因式分解3x﹣12x3；
（4）a2﹣4a+4﹣b2．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项即可得出结论；
（2）分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来即可；
（3）直接提取公因式即可；
（4）把式子进行因式分解即可．
解：（1）去分母，得x﹣1＞2x+2，
移项，得x﹣2x＞2+1，
合并同类项，得﹣x＞3，
系数化为1，得x＜﹣3．
（2），
由①，得x≥0，
由②，得x＜4，
不等式组的解集为0≤x＜4．
（3）原式＝3x（1﹣4x2）
＝3x（1﹣2x）（1+2x）；
（4）原式＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a﹣2﹣b）（a﹣2+b）．
【点评】本题考查了不等式（组）的解法及因式分解，熟练掌握不等式的性质及乘法公式是解题的关键．
20．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度数．

【分析】（1）根据“到A，B两点的距离相等”可知点D在线段AB的中垂线上，据此作AB中垂线与BC交点可得；
（2）先根据直角三角形的性质得∠CAB＝53°，再由DA＝DB知∠B＝∠DAB＝37°，从而根据∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB可得答案．
解：（1）如图所示，点D即为所求；


（2）在△ABC中，∵∠C＝90°、∠B＝37°，
∴∠CAB＝53°，
由（1）知DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝37°，
则∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝16°．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质和等边对等角的性质．
21．利用因式分解计算：
（1）20222﹣2020×2024；
（2）592+59×82+412．
【分析】（1）利用平方差公式将所求的式子变形为20222﹣（2022﹣2）×（2022+2），再求解即可；
（2）利用完全平方公式将所求的式子变形为592+2×59×41+412，再求解即可．
解：（1）20222﹣2020×2024
＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）
＝20222﹣（20222﹣4）
＝4；
（2）592+59×82+412
＝592+2×59×41+412
＝（59﹣41）2
＝324．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
22．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸的格点上．经过平移，△ABC的顶点A移到了点D的位置．
（1）画出平移后的△DEF；（点E与点B对应，点P与点C对应）
（2）求△DEF的面积．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出B，C的对应点E，F即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图，△DEF即为所求；
（2）S△DEF＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×3×2＝6．

【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求三角形面积．
23．已知方程组的解为正数．
（1）求 a的取值范围；
（2）根据 a的取值范围化简：|a+1|+|a﹣3|．
【分析】（1）解方程组得出，根据解为正数得出关于a的不等式组，解之即可；
（2）根据a的范围确定a+1、a﹣3的正负，再取绝对值符号、合并同类项即可．
解：（1）解方程组，得：，
由题意知，
解得﹣1＜a＜3；
（2）∵﹣1＜a＜3，
∴a+1＞0，a﹣3＜0，
则原式＝a+1+3﹣a＝4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．若△ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，利用所学知识判定△ABC的形状．
【分析】将所给的等式变形为（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，求出a、b、c的值，再由勾股定理的逆定理进行判断即可．
解：∵a2+b2+c2＝6a+8b+10c﹣50，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵c2＝a2+b2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，勾股定理的逆定理是解题的关键．
25．如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠D＝40°，∠C＝60°，AB∥DE，求∠DAC的度数．

【分析】根据旋转的性质得∠C＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，再根据平行线的性质的∠BAD＝∠D＝40°，从而得出答案．
解：∵△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠D＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°，
∴∠DAC的度数为40°．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
26．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）判断BE与CF的数量关系，并说明理由；
（2）如果AB＝8，AC＝6，求AE、BE的长．

【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．
【解答】（1）解：BE＝CF，理由如下：
连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；

（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝8，AC＝6，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴8﹣x＝6+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝8﹣1＝7．

【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
27．在毕节市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察得知，购进3台笔记本电脑和2台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机需要5.5万元．
（1）求笔记本电脑和一体机的单价？
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案．哪种方案费用最低．
【分析】（1）设每台笔记本电脑x万元，一体机y万元，根据“购进3台笔记本电脑和2台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机需要5.5万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m台笔记本电脑，则购进（30﹣m）台一体机，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过30万元且不低于28万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数可得出各进货方案；再根据总价＝单价×数量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
解：（1）设每台笔记本电脑x万元，一体机y万元，
根据题意得：，
解得，
答：每台笔记本电脑0.5万元，一体机1.5万元；
（2）设购进m台笔记本电脑，则购进（35﹣m）台一体机，总费用为w元，
依题意，得：w＝0.5m+1.5（30﹣m）＝﹣m+45，
∵，
解得：15≤m≤17
∵m为整数，
∴m＝15，16，17，
∴有三种购买方案：
第一种：购买笔记本电脑15台，购买一体机15台；
第二种：购买笔记本电脑16台，购买一体机14台；
第三种：购买笔记本电脑17台，购买一体机13台；
∵﹣1＜0，
∴当m＝17时，费用最低，
即购买笔记本电脑17台，购买一体机13台时费用最低．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一次函数和一元一次不等式组．
28．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例的函数y＝x的图象交于点C．
（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；
（2）请结合图象直接写出不等式组0＜kx+b≤2的解集；
（3）在x轴上是否存在一点P，使△COP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用选定系数法求解即可；
（2）由图象即可求解；
（3）分①OC＝PC、②OC＝OP、②CP＝OP三种情况解答即可．
解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，
∵与函数y＝x的图象交于点C，
∴﹣x+3＝x，
∴x＝2，
当x＝2时，y＝x＝2，
∴点C的坐标（2，2）；
（2）由图象得：0＜kx+b≤2即一次函数y＝kx+b的图象在正比例的函数y＝x的图象的下方，并在x轴的上方，
∵一次函数的解析式为y＝﹣x+3，C点的坐标（2，2），点A（6，0），
∴不等式组0＜﹣x+3≤2的解集为2≤x＜6；
（3）设P（m，0），
∵O（0，0），C（2，2）．
∴OC2＝22+22＝8，
PC2＝22+（m﹣2）2＝4+（m﹣2）2，
OP2＝m2，
要使△COP是等腰三角形，
①当OC＝PC时，
∴OC2＝PC2，
4+（m﹣2）2＝8，
解得m＝0或m＝4，
当m＝0时与O点重合（舍去），
∴m＝4，
∴P（4，0）；
②当OC＝OP时，
∴OC2＝OP2，
∴m2＝8，
∴m＝2或m＝﹣2，
∴P（2，0）或（﹣2，0）；
③当CP＝OP时，
∴PC2＝OP2，
∴4+（m﹣2）2＝m2，
解得m＝2，
∴P（2，0）．
综上所述，存在，P点的坐标为（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（2，0）．
【点评】本次是一次函数的综合题，考查一次函数的性质、三角形全等、利用图象求不等式组的解集，等腰三角形的性质等，熟练掌握一次函数的性质，等腰三角形的性质等是解题的关键．其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．