湖南省常德市临澧县2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)

湖南省常德市临澧县2022-2023学年九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    下列函数中，是的反比例函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    已知点，在函数的图象上，则，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

3.    若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

4.    一元二次方程用配方法可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

5.    下列各组长度的线段单位：中，成比例线段的是(    )

A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，

6.    一种燕尾夹如图所示，图是在闭合状态时的示意图，图是在打开状态时的示意图数据如图，单位：，从图闭合状态到图打开状态，则点，之间的距离减少了(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.    如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    如图，，，是分别以，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9.    反比例函数的图象在每一象限，函数值都随增大而减小，那么的取值范围是______ ．
10. 已知关于的方程的两根分别是，，则的值是______．
11. 已知，则______．
12. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，的面积为，则的值为______．

13. 当一个人的上半身肚脐以上的高度与下半身肚脐以下的高度的比值越接近黄金分割比时，越给人一种美感．某位参加空姐选拔的选手身高，上半身长，那么她应穿______的鞋子才更美？精确到．
14. 某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为：，其中较大的一块草坪的周长是米，则另一块草坪的周长是______．
15. 如图，在中，，，是的中点，过点的直线交于点，若使与相似，则的长度为______．

16. “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”请你用这种思维方式和换元法解方程：方程的解为______．

三、解答题（本大题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

解方程：

18. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，以原点为位似中心，位似比为：，在轴的右侧，画出放大后的图形，并写出点坐标．

19. 本小题分
    如图，在中，，，是边上一点，．
    求证∽．

20. 本小题分
    如图，在矩形中，，，点从点出发沿边向点以的速度运动，同时，点从点出发沿边向点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．问点运动开始后第几秒时，的面积等于？

21. 本小题分
    某车油箱注满后，如果平均耗油量是每千米耗油升，则可行驶千米．
    求该车可行驶的路程与平均耗油量之间的函数表达式：
    当平均耗油量为升千米时，该轿车可以行驶多少千米？
22. 本小题分
    如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边持水平，并且边与点在同一直线上，已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，求树高．

23. 本小题分
    商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．商场为了减少库存开始降价销售，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．
    在商场日盈利达到元时，每件商品应该降价多少元？
    若商场要保证每天销售量不少于件，每件商品最多能盈利多少元？
24. 本小题分
    已知，平分交于，交于．
    求证：∽；
    连接，若，，，求的长度．

25. 本小题分
    如图，一次函数的图象经过，交轴于点反比例函数的图象经过点．
    求反比例函数表达式；
    将直线向右平移个单位长度，得到对应直线，求直线与反比例函数图象的交点坐标；
    将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，连接、在线段运动过程中，连接，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的值．

26. 本小题分
    如图，在四边形中，，，顶点，分别在射线，上运动点不与重合，点不与重合，是边上的动点点不与，重合，在运动过程中始终保持．
    求证：∽；
    当点为边的中点时如图，求证：平分；
    若，设，请探究：的周长是否与的值有关？若有关请用含的代数式表示的周长；若无关请说明理由，

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、中，是的反比例函数，故该选项符合题意；
B、中，是的反比例函数，故该选项不符合题意；
C、是一次函数，故该选项不符合题意；
D、中，是的反比例函数，故该选项不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义形如为常数，的函数称为反比例函数逐一判断即可得答案．
本题考查了反比例函数的定义，形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数．
 

2.【答案】 

【解析】解：点，在函数的图象上，
，，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征可分别计算出，的值，然后比较大小即可．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
 

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
．
故选：．
先计算根的判别式，根据一元二次方程解的情况得不等式，求解即可．
本题考查了根的判别式，掌握“”及根的判别式与一元二次方程解的情况是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
方程常数项移到右边，两边加上，即可确定出结果．
【解答】
解：一元二次方程用配方法可变形为，
故选C．

5.【答案】 

【解析】解：、，
，，，不能成比例线段，故不符合题意；
B、，
，，，不能成比例线段，故不符合题意；
C、，
，，，成比例线段，故符合题意；
D、，
，，，不能成比例线段，故不符合题意；
故选：．
根据成比例线段的定义逐项判断得到得到结论．
本题主要考查了成比例线段的关系，正确的理解题意是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，
由题意得，，
∽，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故选：．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两组对应角相等，那么这两个三角形相似．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
【解答】
解：，
，
，，都可判定，
选项B中比值相等的对应边的夹角不是已知相等角，所以不相似，
故选B．  

8.【答案】 

【解析】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、
则，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
，
其斜边的中点在反比例函数，
，即，
，
，
设，则，
此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，

，
故选：．
根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，然后再求和．
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
 

9.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象在每一象限，函数值都随增大而减小，
，
．
故答案为：．
由反比例函数中，当时，在每一象限，函数值都随增大而减小，列关于的不等式，解出即可．
本题考查了反比例函数图象的性质：
当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．
 

10.【答案】 

【解析】解：的两根分别是，，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系进行求解即可．
本题主要考查根的系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程的根与系数的关系为：，．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
由，得，根据比例的性质得．
本题考查了比例的基本性质，合理变形是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：反比例函数图象在第二象限，
，
，
．
故答案为：．
由的面积为求解．
本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数系数的几何意义．
 

13.【答案】 

【解析】解：设某位参加空姐选拔的选手应穿的鞋子才更美，
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
即某位参加空姐选拔的选手应穿的鞋子才更美．
故答案为：．
设某位参加空姐选拔的选手应穿的鞋子，根据黄金分割的定义列出方程，解方程即可．
本题考查了黄金分割的概念，解决本题的关键是掌握黄金分割的比值．
 

14.【答案】米 

【解析】解：面积比为：，
相似比为：，
设另一块草坪的周长为米，
当较大的草坪的周长是米时，
：：，
解得，
故答案为：米．
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，可求出两多边形的相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比求解．
本题主要考查相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方的性质，注意要分情况讨论．
 

15.【答案】或 

【解析】解：，是的中点，
，
若∽，则：：，
即：：，
解得：；
若∽，则：：，
即：：，
解得：；
的长为或．
故答案为：或．
由在中，，，是的中点，即可求得的长，然后分别从∽与∽去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题关键．
 

16.【答案】， 

【解析】解：设，则原方程变形为：，
解关于的方程得，，
当时，，方程无实数解，
当时，，
，
解得，，
经检验，，时原方程的解，
故答案为：，．
设，得，解得，，当时，，方程无实数解，当时，，解得，．
本题考查换元法解无理方程，解题的关键是读懂题意，掌握换元法．
 

17.【答案】解：，
，
或． 

【解析】首先把一元二次方程转化成两个一元一次方程的乘积，即，然后解一元一次方程即可．
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．
 

18.【答案】解：如图，为所作，点点的坐标为．
 

【解析】把点、、的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点连线即可．
本题考查了作图位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 

19.【答案】证明：，，，
，．
，
，
∽． 

【解析】由题意可得，，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

20.【答案】解：四边形是矩形，
，
设点运动开始后第秒时，的面积等于，
由题意得：，
解得：或，
答：点运动开始后第秒或秒时，的面积等于． 

【解析】设点运动开始后第秒时，的面积等于，由三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用、矩形的性质以及三角形面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：设反比例函数关系是常数，，
把，，代入反比例函数关系 中，
解得：，
所以函数关系式为：．

将  代入 得：
，
故该轿车至少可以行驶  千米． 

【解析】设反比例函数关系是常数，，代入、的值计算出可得函数关系式；
把 代入 得的值即可．
此题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确理解题意，掌握待定系数法求函数解析式．
 

22.【答案】解：，，
∽，
，
在中，
，，
由勾股定理得，
，
，
，
，
答：树高是． 

【解析】先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上小明同学的身高即可求得树高．
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得∽．
 

23.【答案】解：设每件商品降价元时，商场日盈利可达到元，
根据题意得：，
解得或，
为了尽快减少库存，
销量尽可能大，取，
答：每件商品降价元时，商场日盈利可达到元；
设每件商品降价元，每件商品盈利为元，
则，
商场要保证每天销售量不少于件，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最大，最大值为，
商场要保证每天销售量不少于件，每件商品最多能盈利元． 

【解析】利用销售该商品获得的利润每件的销售利润日销售量列方程即可解得答案；
列出函数关系式，根据一次函数性质即可得到答案．
本题考查一元二次方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程和函数关系式．
 

24.【答案】证明：平分，
，
又，
∽；
解：∽，
，
，
，
，∽，
，
平分，
，
，
，即，
解得：，
，
，，
∽，
，
，
． 

【解析】因为平分，所以，又因为，即可得出结论；
由相似三角形的性质得出，，即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质；证明出三角形相似，找到对应边成比例是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：将点代入直线的解析式中，
得，
，
，
将代入反比例函数解析式中，
得；
反比例函数表达式为：．
将直线向右平移个单位长度，得到对应直线，
直线的解析式为：，
联立，
解得或．
直线与反比例函数图象的交点坐标为：，；
如图，将线段向右平移个单位长度，得到对应线段，
，，
，，
，，
若是以为腰的等腰三角形，需要分以下两种情况：
Ⅰ、当时，
，
点在线段的垂直平分线上，
，
Ⅱ、当时，
，，
，
，
，
综上可知，是以为腰的等腰三角形，满足条件的的值为或． 

【解析】先将点坐标代入直线的解析式中，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；
先确定平移后的直线的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，即可得出结论；
先表示出点，坐标，再分两种情况：Ⅰ、当时，判断出点在的垂直平分线上，即可得出结论；
Ⅱ、当时，先表示出，用建立方程求解即可得出结论．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
∽；
证明：延长交的延长线于点，
是的中点，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
平分；
解：的周长与的值无关，理由如下：
∽，
，
是直角三角形，
，
，
解得，
，
，
，
，
，，
的周长，
的周长与无关，的周长为． 

【解析】根据题意求出，再由，即可证明；
延长交的延长线于点，可证≌，再推导出，可得是等腰三角形，由此可得，即可证明平分；
根据可得∽，则有，再由是直角三角形，利用勾股定理，求出，分别可得，，再由相似比，求出，，即可得到的周长．
本题是三角形相似的综合题，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的勾股定理，三角形全等的判定及性质是解题的关键．