4.3 角（题型专攻）-2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

4.3       角

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题型变式

【题型1】角的表示方法

1．（2022·山东·泰山外国语学校阶段练习）如图，下列表示的方法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据角的表示方法解答即可．

【详解】解：∠1可以表示为∠AEC或∠CEA，

故选：C．

【点睛】此题考查了角的表示方法：单独一个角可以用一个字母表示，也可以用三个字母表示，也可以用数字表示一个角，以及用希腊字母表示一个角．

【变式1-1】

2．（2022·全国·七年级专题练习）将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下表：

【答案】                        

【分析】根据角的表示方法分析即可，角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．是同一个角必须满足顶点相同，角的两边必须分别是指同一条射线．

【详解】可以表示为，

可以表示为，

可以表示为，

可以表示为，

可以表示为，

故答案为：，，，，．

【点睛】本题考查了角的表示方法，理解角的表示方法是解题的关键．

【题型2】角的分类

1．（2021·湖南·长沙市北雅中学七年级期末）下列四个角中，钝角是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据角的分类，即可求解．

【详解】解：A、是平角，故本选项不符合题意；

B、是锐角，故本选项不符合题意；

C、是直角，故本选项不符合题意；

D、是钝角，故本选项符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了角的分类，熟练掌握锐角是大于0°小于90°的角；直角等于90°；钝角是大于90°小于180°的角；平角等于180°是解题的关键．

【变式2-1】

2．（2022·全国·七年级专题练习）如图，锐角的个数共有_______个.

【答案】5

【详解】解：以OA为一边的角∠AOB=20°，∠AOC=20°+30°=50°，∠AOD=20°+30°+50°=100°（钝角舍去），

以OB为一边的角∠BOC=30°，∠BOD=50°+30°=80°，

以OC为一边的角∠COD=50°．

锐角共有∠AOB，∠AOC，∠BOC，∠BOD，∠COD．

故答案为：5．

【题型3】角的单位及角度制

1．（2022·全国·七年级专题练习）把化为用度表示，下列正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据1°等于60′，1′等于60″计算即可．

【详解】40°12′36″中的12′36″化为秒为12×60″+36″=756″，

756″÷3600=0.21°，

即40°12′36″用度表示为：40.21°，

故选：B．

【点睛】本题考查了角的单位于角度制的知识，掌握度分秒之间时60进制是解答本题的关键．

【变式3-1】

2．（2021·山东·泰安市泰山区大津口中学七年级阶段练习）用度、分、秒表示34.18°＝_____°_____′_____″；用度表示45°19′12″＝_____°

【答案】     34     10     48     45.32

【分析】1°=60′，1′=60″，据此计算即可．

【详解】34.18°中，整数部分是34，即有34°，

0.18×60=10.8′，整数部分为10，即有10′，

0.8×60=48″，即有48秒；

12″÷60=0.2′，

(19′+0.2′)÷60=0.32°，

即45°19′12″=45.32°．

故答案为：34,10,48,45.32．

【点睛】本题考查了角度的换算，掌握1°=60′，1′=60″，是解答本题的关键．

【题型4】角平分线有关计算

1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）如图，，，，则（    ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【答案】B

【分析】根据，可得，根据，，即可求解．

【详解】解：∵，

，

即，

，

，

，

．

故选B

【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线相关的计算，数形结合是解题的关键．

【变式4-1】

2．（2022·云南保山·七年级期末）如图，点O在直线AB上，OC平分，且，则______．

【答案】##105度

【分析】先根据平角的定义求出∠AOD的度数，再由角平分线的定义求出∠DOC的度数，即可求出∠BOC的度数．

【详解】解：∵∠BOD=30°，

∴∠AOD=180°-∠BODE=150°，

∵OC平分∠AOD，

∴，

∴∠BOC=∠DOC+∠BOD=105°，

故答案为：105°．

【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键．

【题型5】余角和补角

1．（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）若∠A＝35°，则∠A的补角的大小为（    ）

A．145° B．90° C．55° D．35°

【答案】A

【分析】两个角的和为 则这两个角互为补角，根据补角的含义可得答案．

【详解】解：∵∠A＝35°，

∴∠A的补角为

故选A．

【点睛】本题考查的是互补的两个角之间的关系，掌握“两角互补的含义”是解本题的关键．

【变式5-1】

2．（2022·广东·普宁市普师高级中学七年级期中）已知∠α与∠β互补，∠α＝150°，则∠β的余角的度数是_________

【答案】 ##60度

【分析】两个角之和为 则这两个角互为补角，两个角之和为 则这两个角互为余角，根据互余互补的两个角的含义进行计算即可．

【详解】解：∵∠α与∠β互补，∠α＝150°，

∴

∴的余角为

故答案为：

【点睛】本题考查的是互余互补的两个角之间的关系，掌握互为余角，互为补角的含义是解本题的关键．

专项训练

一．选择题

1．（2021·全国·七年级专题练习）已知，如果用10倍的放大镜看，这个角的度数将（    ）

A．缩小10倍 B．不变 C．扩大10倍 D．扩大100倍

【答案】B

【分析】根据角是从同一点引出的两条射线组成的图形．它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系，直接判断即可．

【详解】解：角的大小只与角的两边张开的大小有关，放大镜没有改变顶点的位置和两条射线的方向，所以用10倍放大镜观察这个角还是30度．

故选：B

【点睛】本题考查了角的概念．解题关键是掌握角的概念：从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角，明确角的大小只与角的两边张开的大小有关．

2．（2021·全国·七年级专题练习）下列角度换算错误的是（　　）

A．10.6°＝10°36″ B．900″＝0.25°

C．1.5°＝90′ D．54°16′12″＝54.27°

【答案】A

【分析】根据度、分、秒之间的换算关系求解．

【详解】解：A、10.6°＝10°36'，错误；

B、900″＝0.25°，正确；

C、1.5°＝90′，正确；

D、54°16′12″＝54.27°，正确；

故选：A．

【点睛】本题考查了度、分、秒之间的换算关系：，，难度较小．

3．（2022·广东肇庆·七年级期末）一个角的度数等于60°20′，那么它的余角等于（　　）

A．40°80′ B．39°80′ C．30°40′ D．29°40′

【答案】D

【分析】根据互为余角的定义解答即可．

【详解】解：90°﹣60°20′＝29°40′，

故选D．

【点睛】本题主要考查了余角的定义，若两个角的和为90°，则这两个角互余．

4．（2021·全国·七年级专题练习）若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由度分秒的换算法则，分别把每个角度化为度分秒形式，再进行判断，即可得到答案．

【详解】解：∵，，，

∴．

故选：A．

【点睛】本题考查了角度的单位换算，角度的大小比较，解题的关键是掌握角度的单位进制是60进制．

5．（2021·江苏·七年级专题练习）下列4个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ）

A．B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据角的表示方法即可判断．

【详解】A.∠1表示的是∠DOC，∠O不能表示∠AOB，因为O点处不止∠AOB一个角，故本选项不符合题意；

B.∠O不能表示∠AOB，因为O点处不止∠AOB一个角，故本选项不符合题意；

C.∠O不能表示∠AOB，因为O点处不止∠AOB一个角，故本选项不符合题意；

D.∠1，∠O，∠AOB表示同一个角，故符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了角的表示方法，熟练掌握角的表示方法是解题的关键．

6．（2022·全国·七年级单元测试）如图，C，D在线段BE上，下列四个说法：

①直线CD上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；

②图中有4对互为补角的角；

③若∠BAE＝110°，∠DAC＝40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；

④若BC＝4，CD＝3，DE＝5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15．其中正确的说法是（　　）

A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④

【答案】C

【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，由此即可确定选择项；③根据角的和与差计算即可；④分两种情况探讨：当F在线段CD上最小，点F和E重合最大计算得出答案即可．

【详解】解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故①正确；

②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故②错误；

③由∠BAE=110°，∠DAC=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=110°+110°+110°+40°=370°，故③正确；

④当F在线段CD上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=BE+CD=BC+CD+DE+CD=4+3+5+3=15，故④正确．

故选：C．

【点睛】此题分别考查了线段、角的和与差以及角度的计算，解题时注意：互为邻补角的两个角的和为180°．

二、填空题

7．（2022·全国·七年级专题练习）如图，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为______°．

【答案】120

【分析】根据角的定义即可得到结论．

【详解】解：看内圈的数字可得：∠AOB=120°，

故答案为：120．

【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．

8．（2021·江苏·七年级专题练习）已知∠A＝20°18'，则∠A的余角等于__．

【答案】69°42′

【分析】根据互为余角的两个角之和为90°解答即可．

【详解】解：∵∠A＝20°18'，

∴∠A的余角为90°﹣20°18′＝69°42′．

故答案为：69°42′．

【点睛】本题考查余角定义，熟知互为余角的两个角之和为90°是解答的关键．

9．（2021·吉林松原·七年级期末）若一个角的余角为35°，则它的补角度数为 ______．

【答案】125°##125度

【分析】若两个角的和为 则这两个角互余，若两个角的和为 则这两个角互补，根据定义直接可得答案.

【详解】解： 一个角的余角为35°，

这个角为：

则它的补角度数为：

故答案为：

【点睛】本题考查的是余角与补角的计算，掌握“余角与补角的含义”是解本题的关键.

10．（2018·云南昆明·中考真题）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_____．

【答案】150°42′

【分析】直接利用互为邻补角的和等于180°得出答案．

【详解】详解：∵∠BOC=29°18′，

∴∠AOC=180°-29°18′=150°42′．

故答案为：150°42′．

【点睛】此题主要考查了角的计算，正确理解互为邻补角的和等于180°是解题关键．

11．（2022·全国·七年级单元测试）比较大小，用“＞”或“＜”填空：______．

【答案】>

【分析】把0.15°化成分即可比较．

【详解】解：∵，

∴>．

故答案为：>．

【点睛】本题考查了度分秒的换算，正确掌握1°=，是解答本题的关键．

12．（2022·全国·七年级课时练习）如图所示，，，OC平分，则________.

【答案】40°

【分析】由题意可知∠1+∠2=100°，从而得到∠BOD=80°，由角平分线的定义可得到结论．

【详解】∵∠1=28°，∠2=72°，

∴∠1+∠2=100°，

∴∠BOD=80°．

∵OC平分∠BOD，

∴∠COD=∠BOC40°．

故答案为40°．

【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握图形间角的和差关系是解题的关键．

三、解答题

13．（2021·全国·七年级专题练习）如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起．

（1）比较与的大小，并说明理由；

（2）若，求的度数．

【答案】（1），理由见解析；（2）

【分析】（1）由可得从而可得答案；

（2）由，可得：从而可得答案．

【详解】解：（1），理由如下：

（2） ，

【点睛】本题考查的是同角的余角相等，角的和差关系，掌握以上知识是解题的关键．

14．（2021·江苏·七年级专题练习）如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是，这个蛋糕应等分成多少份？

【答案】把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份．

【分析】利用360度除以平分的份数就是每份的度数，除以每份的度数就可以得到份数．

【详解】解：360°÷8=45°；

360°÷15°=24．

答：把一个蛋糕等分成8份，每份的角是45度；如果要使每份的角是15°，这个蛋糕应被等分成24份．

【点睛】本题考查了角度的计算，理解圆周角是360度是关键．

15．（2021·山东济南·七年级期中）一个角的余角的3倍与它的补角相等，求这个角的度数．

【答案】45°

【分析】根据题意，可先设这个角的度数为x°，再列方程进行计算即可求解

【详解】解：设这个角的度数是x°，根据题意，列方程得：

3（90-x）=180-x

解方程，得

x=45

答：这个角的度数45°

【点睛】此题考查学生对一元一次方程的实际应用以及余角、补角的定义，设出变量，利用变量表示出余角、补角，然后根据题意建立一元一次方程的关系式是解本题的关键

16．（2022·全国·七年级课时练习）计算题

(1)

(2)

(3)

(4)

【答案】(1)11

(2)

(3)55

(4)

【分析】（1）根据有理数加减运算法则求解即可；

（2）根据乘法分配律求解即可；

（3）根据有理数的混合运算，结合相关运算法则求解即可；

（4）根据角度换算，根据度分运算法则求解即可．

(1)

解：原式

；

(2)

解：原式

；

(3)

解：原式

；

(4)

解：原式

．

【点睛】本题考查有理数的混合运算与角度计算，掌握有理数的运算法则及度分之间的换算是解决问题的关键．

17．（2022·全国·七年级专题练习）如图，点A、O、B在同一直线上，射线OD、OE分别平分，．

(1)依题意补全图形；

(2)求度数．

【答案】(1)见解析

(2)90°

【分析】（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据平分线的定义表示出和，再根据平角等于180°进行计算即可得解．

（1）

如图所示即为所求

（2）

∵OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，

∴

∴

∵点A，O，B在同一直线上，

∴∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠．

【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意．

18．（2022·陕西宝鸡·七年级期中）点在直线上，为射线，．

（1）如图（1），求的度数；

（2）如图（2），点在直线上方，与互余，平分，求的度数．

【答案】（1）144°；（2）99°

【分析】（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，根据已知条件列方程即可得到结论；

（2）由余角的定义得到∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，根据角平分线的定义得到∠DOE，从而算出∠AOE．

【详解】解：（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，

∵∠BOC+∠AOC=180°，

∴α+4α=180°，

∴α=36°，

∴∠AOC=144°；

（2）∵∠AOD与∠BOC互余，

∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，

∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°，

∵OE平分∠COD，

∴∠DOE=∠COD=×90°=45°，

∴∠AOE=∠DOE+∠AOD=45°+54°=99°．

【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．