2023届高三数学一轮复习大题专练09导数双变量与极值点偏移问题1

一轮大题专练9—导数（双变量与极值点偏移问题1）

1．已知定义在，上的函数．

（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；

（2）若，，，为的极小值，求证：．

解：（1）由，得，

为，上的增函数，

，，，

设，，

为减函数，，

时为定义域上的增函数，

故实数的取值范围是，；

（2）证明：，，，

设，，为增函数，

，，

，，当时，，递减，

当，时，，递增，为的极小值，

设，，，，

设，，

，，

，为增函数，

，

，为增函数，

，

，，

，

又，，

，，即．

2．已知函数．

（Ⅰ）求函数在的最大值；

（Ⅱ）证明：函数在有两个极值点，，并判断与的大小关系．

（Ⅰ）解：函数，

所以，则，

所以当时，，故，

所以函数在上单调递增，

又，，

所以在上有唯一的零点，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

又，，

所以在上的最大值为；

（Ⅱ）证明：，

①当时，单调递增，

又，，

所以在有唯一的零点，

此时当时，，则单调递减，

当时，，则单调递减，

故是极小值点，不妨设；

②当时，

，所以，

故在上单调递增，故没有极值点；

③当，，

由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，

且，，

故由唯一的零点，

则当时，，则单调递减，

当，时，，则单调递增，

又，，

所以在由唯一的零点，

此时时，，则单调递增，

当，时，，

所以是极大值点，即，且，

由于，所以，

因为，

所以，即．

3．已知函数，．

（1）求函数的增区间；

（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：．

解：（1）由题意得，

令，则，

①当△，即时，在上恒成立，

即的递增区间是，

②当△，即时，或，

即在，，递增，

综上：时，的递增区间是，

时，的递增区间是，，；

（2），有2个极值点，，

，是方程的两个不相等的正实数根，

从而△，，解得：，

由，解得：，

，且，

令，且，则，

故当时，，故单调递增，

当时，，单调递增，

故，

要证，只要证，只要证明，

，只要证明，

令，

则，

，，即在，递增，

故（1），即，

故，．

4．已知函数在处的切线方程为．

（1）求实数及的值；

（2）若有两个极值点，，求的取值范围并证明．

解：（1），切线方程为，

，，

又，；

（2）由（1）可知，则，

，

当时，，在递增，没有极值点，

当时，令，其对称轴方程为，△，

①若时，△，此时，

在上递减，没有极值点，

②若时，△，由，即，

则的两根为，，不妨设，

由，（1），，故，

，，，的变化如下：

综上，的取值范围是，，

此时，，故，

由，，得，故．

5．已知函数为单调减函数，的导函数的最大值

不小于0．

（1）求的值；

（2）若，求证：．

（1）解：因为为单调减函数，

所以恒成立，

所以在上恒成立，

由于当时，，

所以，解得，

因为，

当且仅当时，取得最大值为，

由题意可得，，解得，

综上可得，的值为；

（2）证明：由（1）可知，，

所以，因为，且在上单调递减，

可设，

令，，

所以

，

所以在，上单调递减，

所以（1）（1），

故，，

因为，所以，

因为为上的单调递减函数，

所以，

故．

6．已知函数．

（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；

（2）若函数有两个极值点，，求证：．

解：（1）当时，，则，

所以（1），又（1），

所以切线方程为，即．

（2）证明：由题意得，则，

因为函数有两个极值点，，

所以有两个不相等的实数根，，

令，则，

①当时，恒成立，则函数为上的增函数，

故在上至多有一个零点，不符合题意；

②当时，令，得，

当，时，，故函数在，上单调递减；

当，时，，故函数在，上单调递增，

因为函数有两个不相等的实数根，，

所以，得，

不妨设，则，，

又，所以，，

令，

则，

所以函数在上单调递增，

由，可得，即，

又，是函数的两个零点，即，

所以，

因为，所以，

又，函数在，上单调递减，

所以，即，

又，所以，因此．