2022-2023学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省东莞外国语学校九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 下列图形中，是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 开口方向向下，顶点坐标为的函数为(    )A.  B.
C.  D. 一元二次方程的根的情况是(    )A. 有两个不相等实根 B. 有两个相等的实根
C. 无实根 D. 无法判定已知是关于的方程的根，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 年国庆期间出游人数约为亿，受新冠疫情影响，年国庆期间出游人数约为亿人，设平均每年人数降低的百分率为，则下面所列方程正确的是(    )A.  B.  C.  D. 用配方法解方程，方程应变形为(    )A.  B.  C.  D. 若的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )A. 且 B. 且 C. 且 D. 且如果两点和都在反比例函数的图象上，那么(    )A.  B.  C.  D. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，且过点给出下列结论：；；；其中，正确的结论有(    )A. 个
B. 个
C. 个
D. 个第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）已知若，是方程的两根，则 ______ ．将二次函数的图象沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，那么平移后的二次函数解析式为______．如图，是等腰直角三角形，是斜边，为内一点，将绕点逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长等于______．
如图是二次函数的部分图象，若，则的取值范围是______．
 若实数，满足，则______． 三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：配方法．本小题分
已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根．本小题分
如图，将置于平面直角坐标系中，，，，画出以原点为对称中心，与成中心对称的，并写出点的坐标．
本小题分
如图，小明同学正在参加东莞外国语学校的体育节投篮比赛，若球沿抛物线运行，然后准确落入篮篮筐内，球在空中运行的最大高度为多少米？
本小题分
夏季的东莞流行一种潮流恤衫，该恤衫的进价为每件元．若售价为每件元，则每星期可卖出件，市场调查反映：售价每上涨元，每星期要少卖出件．设销售单价为每件元，每星期的销售量为件．
求出与的函数解析式．
要使每星期销售该恤衫的利润为元，且尽可能去库存，销售价应为每件多少元？本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
试确定上述反比例函数和一次函数的解析式．
根据图象直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．
本小题分
如图，在中，，，是边上一点点与，不重合，连结，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结交于点，连接．

求证：≌；
当时，求的度数．本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点．
求该抛物线的解析式；
若抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
在抛物线的第二象限图象上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存，请说明理由．
 本小题分
如图，正方形的边，在坐标轴上，点的坐标为点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向点运动；点从点同时出发，以相同的速度沿轴的正方向运动，当点到达点时，点也停止运动．过点作直线平行于轴．连接，过点作交线于与轴交于点，连接设点运动的时间为其中．
的度数为______，点的坐标为______坐标用表示；
在运动的过程中，、、始终满足怎样的等量关系？并说明理由．
当为何值时，为等腰三角形？直接写出的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题意得，
解得．
故选A．
本题主要考查一元二次方程的概念．
根据一元二次方程的定义可得，再解即可得．
 2.【答案】 【解析】解：是中心对称图形；
B.不是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 3.【答案】 【解析】解：的开口向上，顶点坐标为，故选项A不符合题意；
的开口向上，顶点坐标为，故选项B不符合题意；
的开口向下，顶点坐标为，故选项C不符合题意；
的开口向下，顶点坐标为，故选项D符合题意；
故选：．
根据各个选项中的顶点式，可以直接写出它们的开口方向和顶点坐标，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 4.【答案】 【解析】解：，，，
，
一元二次方程无实数根．
故选：．
根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出一元二次方程无实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：是关于的方程的一个根，
把代入得：，
解得：．
故选：．
根据题意把代入方程，即可求出的值，从而选出选项．
本题主要考查了对一元二次方程的解，一元一次方程解法的理解和掌握，把代入方程，求出关于的方程的解是解此题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意得，
故选：．
利用年国庆期间出游人数年国庆期间出游人数平均每年人数降低的百分率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：，
，即，
故选：．
常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得．
本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，即，
解得且．
的取值范围为且．
故选D．
根据一元二次方程的定义和的意义得到且，即，然后解不等式即可得到的取值范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 9.【答案】 【解析】解：把点代入反比例函数得，；
点代入反比例函数得，；
，
，
．
故选：．
把两点和分别代入反比例函数求出、的值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．
 10.【答案】 【解析】解：抛物线开口向下，，与轴交于正半轴，，
于是有：，因此正确；
抛物线与轴有两个不同交点，因此，正确，
由，得，因此不正确，
由对称轴，抛物线与轴的一个交点为，对称性可知另一个交点为，因此，
由时，，则，
所以，即，故正确，
综上所述，正确的结论有，
故选：．
根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴、轴的交点，综合进行判断即可．
本题考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的图象与系数的关系是正确判断的前提．
 11.【答案】 【解析】解：，是方程的两根，
，．
故答案为．
由方程的各系数结合根与系数的关系可得出“，”，由此即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出“，”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．
 12.【答案】 【解析】解：二次函数的图象沿轴向右平移个单位所得函数解析式为：；
二次函数的图象沿轴向上平移个单位所得函数解析式为：．
故答案为：．
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
 13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查旋转的性质和等腰直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．根据旋转的性质知：旋转角度是，根据旋转的性质得出，即是等腰直角三角形，腰长，则可用勾股定理求出斜边的长．
【解答】
解：绕点逆时针旋转后与重合，
≌，
，
即线段旋转后到，
旋转了，
，
是等腰直角三角形，
．
故答案为：．  14.【答案】 【解析】解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为和，
时，的取值范围为．
故答案为：．
先求出抛物线与轴的交点坐标，根据图象即可解决问题．
本题考查抛物线与轴的交点，对称轴等知识，解题的关键是学会根据图象确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
 15.【答案】 【解析】解：设，则原方程左边变为：，
整理得，，
，
解得或，
，
，
故答案为．
设，则原方程左边变为：，解方程可得的值即可．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
 16.【答案】解：，
，即，
，
，． 【解析】先移项得到，再把方程两边加上得到，即，然后利用直接开平方法求解．
本题考查了解一元二次方程配方法：先把方程二次项系数化为，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．
 17.【答案】证明：，
无论取何值，方程总有两个不相等的实数根 【解析】计算，无论取何值，，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 18.【答案】解：如图，即为所求，．
 【解析】利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．
 19.【答案】解：，
，
当时，最大值，最大值是，
答：球在空中运行的最大高度为米． 【解析】把二次函数的解析式化为顶点式，用函数的性质求出最大值即可．
本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 20.【答案】解：由题意可得，，
与的函数解析式为：，
由题意可得，，
解得：，，
要尽可能去库存，
销售价应为每件元．
答：销售价定为每件元时，利润为元． 【解析】根据售价每上涨元，每星期要少卖出件列出等量关系式即可；
根据利润单件利润件数，列出一元二次方程，解之即可．
本题考查一元二次方程的应用，能够通过题目信息得到等量关系是解答本题的关键．
 21.【答案】解：将代入得，
解得，
．
将代入得，
点坐标为，
将，代入得，
解得，
，
反比例函数解析式为，一次函数解析式为．
由图象可得当或时，反比例函数图象在直线上方，
反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围是或． 【解析】由点坐标确定反比例函数解析式，将点坐标代入反比例函数解析式可得的值，再根据待定系数法求一次函数解析式．
根据图象中双曲线在直线上方时的取值范围求解．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系．
 22.【答案】解：由题意可知：，，
，
，
，
，
在与中，

≌
，，
，
由可知：，，
，
，
． 【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，本题属于中等题型．
由题意可知：，，由于，所以，，所以，从而可证明≌；
由≌可知：，，可得，从而可求出的度数．
 23.【答案】解：将，代入得：
，
解得：，
则该抛物线的解析式为：；

如图，点关于抛物线对称轴的对称点为点，设直线的解析式为：
，
将点、代入得：
，
解得：，
故直线解析式为：，
直线与抛物线对称轴 的交点为，此时的周长最小．
解方程组得，
则点即为所求；

如图，过点作轴于点，
点

若有最大值，则就最大

，
当时，最大值，
最大，
当时，，
点的坐标为． 【解析】直接利用待定系数求出二次函数解析式即可；
首先求出直线的解析式，再利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
根据，得出函数最值，进而求出点坐标即可．
此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和图形面积求法、二次函数最值求法等知识，根据题意正确表示出四边形的面积是解题关键．
 24.【答案】   【解析】解：如题干图，
由题可得：秒，
．
四边形是正方形，
，
．
，
．
．
，，
．
在和中，
，，，
≌．
，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
，，
点的坐标为，
故答案为：，．

存在，关系是：，理由：
延长到点，使得，连接，如图所示．

在和中，
，，，
≌．
，．
，，
．
，
．
．
在和中，
，，，
≌．
．
．
．
即，
，
；

分三种情况：
若，则，
，
，
，
与重合，与重合，
此时；
若，如图，

则．
．
．
在和中，
，，，
≌．
．
点与点重合，点与点重合．
点，
．
此时．
若，
在和中，
，，
≌．
．
，
．
．
，
．
延长到点，使得，连接，如图所示．

在和中，
，，，
≌．
，
由知是等腰直角三角形，
，
，
≌，
，
即，
．
综上所述，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．
证明≌，得到为等腰直角三角形，即可求解；
证明≌、≌，得到，进而求解；
由于底边不定，故分三种情况讨论，借助于三角形全等及勾股定理进行求解，然后结合条件进行取舍，最终确定符合要求的值．
本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的性质与判定、勾股定理等知识，考查了分类讨论的思想，考查了利用基本活动经验解决问题的能力，综合性非常强．熟悉正方形与一个度数为的角组成的基本图形其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交是解决本题的关键．