2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市南山实验教育集团九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）如图所示的几何体，它的俯视图是(    )
 A.  B.  C.  D. 若，则等于(    )A.  B.  C.  D. 如图，直线，若，，则的值是(    )A.
B.
C.
D.
 用配方法解方程：，将其化成的形式，则变形正确的是(    )A.  B.  C.  D. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若：：，则与的周长比是(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    )A.  B.  C.  D. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )A.  B.
C. 且 D. 且如图，取一张长为，宽为的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边、应满足的条件是(    )
 A.  B.  C.  D. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是(    )A.  B.
C.  D. 如图，在边长为的正方形中，、是边上的两个动点，且，连接、、，与交于点，连接交于点，连接，下列结论正确的个数是(    )
；
平分；
∽；
；
线段的最小值是．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）在一个不透明的袋子中有个除颜色外完全相同的小球，其中绿球个，红球个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是______．设，是一元二次方程的两个根，则          ．如图，，为两路灯，身高均为的小明、小亮站在两路灯之间，两人相距，小明站在处，小亮站在处，小明在路灯下的影长为，路灯高，则路灯的高为______如图，已知平行四边形中，，分别是边，上的点，与对角线交于，若，，则的值为______．
 如图，在平面直角坐标系中，将反比例函数的图象绕坐标原点逆时针旋转得到的曲线，过点，的直线与曲线相交于点、，则______．
   三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解方程：
；
．本小题分
先化简，再求值：，其中满足．本小题分
在“双减”和“双增”的政策下，某校七年级开设了五门手工课，按照类别分别为：剪纸；沙画；雕刻；泥塑；插花．每个学生仅限选择一项，为了了解学生对每种手工课的喜爱程度，随机抽取了七年级部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了______名学生；扇形统计图中______，类别所对应的扇形圆心角的度数是______度；
请根据以上信息直接补全条形统计图；
在学期结束时，从开设的五门手工课中各选出一名学生谈感悟，由于这五名同学采用随机抽签的方式确定顺序，请用树状图或列表的方式说明剪纸和雕刻两人排在前两位谈感受的概率．本小题分
如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、请解答以下两个问题．
试判断四边形是什么特殊的平行四边形？请说明理由．
如果，，求四边形的面积．
本小题分
尊老爱幼是中华民族的传统美德，九九重阳节前夕，某商店为老人推出一款特价商品，每件商品的进价为元，促销前销售单价为元，平均每天能售出件；根据市场调查，销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
若每件商品降价元，则商店每天的平均销量是______ 件直接填写结果；
不考虑其他因素的影响，若商店销售这款商品的利润要平均每天达到元，每件商品的定价应为多少元？
在的前提下，若商店平均每天至少要销售件该商品，求商品的销售单价．本小题分
直线与双曲线交于，两点，是第一象限内的双曲线上点右侧任意一点；
如图，求，两点坐标；
如图，连接，若，求点的坐标；
如图，设直线，分别与轴相交于，两点，且，，求的值．
 本小题分
问题背景如图，已知∽，求证：∽；
尝试应用如图，在和中，，，与相交于点，点在边上，，求的值；
拓展创新如图，是内一点，，，，，直接写出的长．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：从上面看这个组合体，所看到的图形如下：

故选：．
根据简单组合体的三视图的画法得出从上面看所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义和三视图的画法是正确判断的前提．
 2.【答案】 【解析】解：，
设，，
，
故选：．
设，，再把，代入求出即可．
本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么．
 3.【答案】 【解析】解：

，
．
故选：．
已知直线，根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求解．
本题考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，导致错选其他答案．
 4.【答案】 【解析】解：，
，即，
故选：．
移项后两边都加上一次项系数一半的平方可得．
本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的基本步骤是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：和是以点为位似中心的位似图形．
和的位似比为：，
：：，
：：，
与的周长比是：．
故选：．
先根据位似的性质得到和的位似比为：，再利用比例性质得到：：，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换．位似变换的两个图形相似．相似比等于位似比．
 6.【答案】 【解析】解：，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，，，
而，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到，，，则可分别计算出，，的值，然后比较大小即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 7.【答案】 【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故选：．
利用一元二次方程的定义和判别式与根的关系可得：且，再求解即可．
本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 8.【答案】 【解析】解：小矩形与原矩形相似，原矩形纸片的边长为、，
，
，
，
负数舍去，
故选：．
根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了反比例函数图象：反比例函数的图象为双曲线，当，图象分布在第一、三象限；当，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
当反比例函数图象分布在第一、三象限，则，然后根据一次函数图象与系数的关系对、进行判断；当反比例函数图象分布在第二、四象限，则，然后根据一次函数图象与系数的关系对、进行判断．
【解答】
解：、从反比例函数图象得，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项错误；
B、从反比例函数图象得，则对应的一次函数图象经过第一、三、四象限，所以选项错误；
C、从反比例函数图象得，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以选项错误；
D、从反比例函数图象得，则对应的一次函数图象经过第一、二、四象限，所以选项正确．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，故正确，
同法可证：≌，
，
∽，
∽，故正确，
：：：：，
不一定是的中点，
，
：，故错误；
取的中点，连接、，
正方形的边长为，
，
由勾股定理得，，
，
、、三点共线时，最小，
故正确．
由正方形的对称性质可得，
，在点的运动过程中，当，时，，
，
，即，
此时不平分，故错误．
故正确．
故选：．
首先证明≌，≌，≌，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系勾股定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，难点在于作辅助线并确定出最小时的情况．
 11.【答案】 【解析】解：用列表法表示所有可能出现的情况如下：

共有种等可能出现的情况，其中都是红球的有种，
．
故答案为：．
用列表法或树状图法表示所有可能出现的结果情况，再根据概率公式进行计算即可．
考查列表法、树状图法求随机事件发生的概率，在利用列表法或树状图时一定要注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要利用解的定义和根与系数的关系得出关于，的等式，把所求的代数式化成已知条件的形式，代入数值计算即可．一元二次方程的根与系数的关系为：，．
由，是一元二次方程的两个根，得出，，再把变形为，即可求出答案．
【解答】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：，，
，
，
∽，
，
，
，
；
，，

，
∽，
，
，
．
故答案为：．
先证明∽，求得，进而求得，再证明∽，便可求得．
本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，体现了方程的思想．解此题的关键是找到相似三角形，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例求解．
 14.【答案】 【解析】解：过作，交于点，交于点，如图：

四边形是平行四边形，
，
，
，
设，，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故答案为：．
由相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：设直线解析式为，
则，
解得，
直线与和的交点分别为点和点，
，，
如图，连接与，并构造以为轴，为轴的平面直角坐标系，

在平面直角坐标系中，点的坐标为，点坐标为，
设直线的解析式为：，
则，
，
直线与曲线联立，
得，
解得点坐标为，点坐标为，
，
，
，
．
故答案为：．
反比例函数绕原点逆时针旋转，为了保证函数解析式一致，把坐标系逆时针旋转，得到直线的解析式，然后利用面积大减小得到．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，能够将坐标系逆时针旋转是解答本题的关键．
 16.【答案】解：，
或，
所以，；
，
，
，
所以，． 【解析】利用因式分解法解方程；
先把二次项系数化为正系数，然后利用求根公式解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 17.【答案】解：原式

，
满足，
或，
当时，原式无意义，故舍去，
当时，原式． 【解析】本题考查的是分式的化简求值及解一元二次方程，在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用．
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据满足求出的值，把的值代入原式进行计算即可．
 18.【答案】     【解析】解：名，
，
即；
所对应的扇形圆心角的度数为：，
故答案为：，，；

组的人数为：人，
组的人数为：人，
补全条形统计图如图所示：

根据题意画图如下：

共有种等可能的情况数，其中剪纸和雕刻两人排在前两位谈感受的有种，
则剪纸和雕刻两人排在前两位谈感受的概率是．
从两个统计图可知组的有人，占调查人数的，可求出调查人数，根据组的人数占总人数的百分比求出，根据圆心角度数该项的百分比算出的圆心角；
根据组所占的百分比求出组的人数，在此基础上求出组的人数，据此补全条形统计图；
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量关系是正确解答的关键．
 19.【答案】解：四边形是菱形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又为的中线，
，
四边形是菱形，

过点作于点，

，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，，，
四边形是矩形，
，
． 【解析】首先可判断四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得，则可判断四边形是菱形；
首先过点作于点，由，，可利用勾股定理求得的长，即可求得的长，然后由菱形的性质求得，又，继而求得四边形的面积．
此题考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边的中线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 20.【答案】 【解析】解：件．
故答案为：．
设每件商品降价元，则销售每件商品的利润为元，平均每天可售出件，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
或．
答：每件商品的定价应为元或元．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意，
．
答：商品的销售单价为元．
根据每天的平均销售量降低的价格，即可求出结论；
设每件商品降价元，则销售每件商品的利润为元，平均每天可售出件，根据每天的总利润销售每件商品的利润平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
由的结论结合平均每天至少要销售件该商品，可确定的值，再将其代入中即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算；找准等量关系，正确列出一元二次方程；将的值代入中，求出平均每天的销售量．
 21.【答案】解：当时，
解得，
，；
过点作，交直线于，过作轴的平行线，作于，于，

，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
直线的解析式为，
，
解得，舍去，
当时，，
；
作轴于，于，，交的延长线于，

设，
，
，
同理得，，
． 【解析】当时，解方程可得点、的横坐标，从而得出答案；
过点作，交直线于，过作轴的平行线，作于，于，利用证明≌，得，，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，从而求出交点的坐标；
作轴于，于，，交的延长线于，设，利用平行线分线段成比例定理得，同理得，，即可得出答案．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，利用平行线分线段成比例表示出和是解题的关键．
 22.【答案】问题背景
证明：∽，
，，
，，
∽；
尝试应用
解：如图，连接，

，，
∽，
由知∽，
，，
在中，，
，
．
，，
∽，
．
拓展创新
解：如图，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，

，
，
，
，
又，
∽，
，
又，
，
即，
∽，
，
，
，
，
． 【解析】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
问题背景
由题意得出，，则，可证得结论；
尝试应用
连接，证明∽，由知∽，由相似三角形的性质得出，，可证明∽，得出，则可求出答案．
拓展创新
过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，证明∽，得出，求出，由勾股定理求出，最后由直角三角形的性质可求出的长．