高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时学案及答案

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【新教材】 8.6.2 直线与平面垂直（人教A版） 第1课时 直线与平面垂直的判定1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.重点：①直线和平面垂直的判定定理及其应用；②求直线与平面所成角.难点：直线与平面垂直的判定定理的应用，找垂直关系.一、    预习导入阅读课本149-152页，填写。1.直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的任意一条直线都________,就说直线l与平面α互相垂直,记作________ ,直线l叫做平面α的________,平面α叫做直线l的________,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做________.2.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言一条直线与一个平面内的                 ______________都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α3.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面________,这条直线叫做这个平面的________,斜线和平面的交点A叫做________,过斜线上________的一点向平面引垂线PO,过垂足O和________的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是________;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是________的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(　 　)A.①③ B.②  C.②④ D.①②④2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(　 　)A.a∥b                  B.a⊥bC.a,b相交不垂直      D.a,b异面不垂直3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　 　)A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为　　　　. 题型一  线面垂直的概念与定理的理解例1 下列说法中正确的个数是(　　)①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α. A.1 B.2    C.3   D.4跟踪训练一1、下列命题中,正确命题的序号是　　　　. ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.题型二  直线与平面垂直的判定例2 在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证: PH⊥平面ABC.　跟踪训练二1、 如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.题型三  直线与平面所成角例3 在正方体中，求直线与平面所成的角？跟踪训练三1、已知正三棱锥S-ABC的所有棱长都相等,则SA与平面ABC所成角的余弦值为　　　　. 1.设l,m是两条不同的直线, α是一个平面,则下列命题正确的是(　　)A.若l⊥α,l∥m,则m⊥α   B.若l∥α,m⊂α,则l∥mC.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α   D.若l∥α,m∥α,则l∥m2.已知P为△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,垂足H,则H为△ABC的( 　)A.重心   B.垂心   C.外心   D.内心3.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数是_________.4.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为　　　　. 5．如图，在四棱锥中，平面，，，且，是的中点.（1）求证：；（2）求证：平面.     答案小试牛刀1. A.2．B.3．C.4.  自主探究例1 【答案】B【解析】由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.跟踪训练一1、【答案】④⑤⑥. 【解析】根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.例2 【答案】证明见解析【解析】如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC.同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.跟踪训练二1、 【答案】证明见解析【解析】 :(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE, 在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.例3 【答案】30°（或）【解析】 连接，交于点O，再连接，因为是在正方体中，所以平面，所以是直线与平面所成的角．设正方体的边长为1，所以在△A1BO中，，，所以，所以直线与平面所成的角的大小等于30°．跟踪训练三1、【答案】.【解析】 因为S-ABC为正三棱锥,所以点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O,连接SO,AO,则∠SAO为SA与底面ABC所成的角,设正三棱锥的棱长为a,在Rt△SOA中,AO=·asin 60°=a,SA=a,所以cos∠SAO==.当堂检测 1-2. AB3. 4.4. 45°.5．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，又平面，所以.（2）由，，可得，因为是的中点，所以.由（1）知，且，所以平面.又平面，所以.因为平面，平面，所以.又，，，平面，所以平面，又平面，所以.又，所以平面.