数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教课内容课件ppt

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1．理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.2．理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角．
1．逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2．数学运算：求直线与平面所成角；3．直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
阅读课本149-152页，思考并完成以下问题1、直线与平面垂直的意义是什么？2、直线与平面垂直的判定定理是什么？用符号语言怎样表示？3、什么是直线与平面所成角？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
1.直线与平面垂直的概念如果直线l与平面α内的 都垂直,就说直线l与平面α互相垂直,记作 ,直线l叫做平面α的 ,平面α叫做直线l的 ,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点叫做 .
探究1:若直线a⊥平面α,直线b⊂α,则a与b互相垂直吗?答案:垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理
3.直线与平面所成的角(1)如图,一条直线PA和一个平面α相交,但不和这个平面 ,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做 ,过斜线上 .的一点向平面引垂线PO,过垂足O和 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ,叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是 ;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是 的角,于是,直线与平面所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°.
1.如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(　 　)A.①③B.② C.②④D.①②④2.已知直线a⊥平面α,直线b∥平面α,则a与b的关系为(　 　)A.a∥b B.a⊥bC.a,b相交不垂直D.a,b异面不垂直
3.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于(　 　)A.平面OABB.平面OACC.平面OBCD.平面ABC
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与底面ABCD所成角的正弦值为　　　　. 
题型分析 举一反三
例1 下列说法中正确的个数是(　　)①若直线l与平面α内一条直线垂直,则l⊥α;②若直线l与平面α内两条直线垂直,则l⊥α;③若直线l与平面α内两条相交直线垂直,则l⊥α;④若直线l与平面α内任意一条直线垂直,则l⊥α;⑤若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α. A.1B.2 C.3 D.4
解析 由直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④,故选B.
解题技巧(判定定理理解的注意事项)
1、下列命题中,正确命题的序号是　　　　. ①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直,那么l⊥α;②如果直线l与平面α内的两条直线垂直,那么l⊥α;③若l不垂直于α,则在α内没有与l垂直的直线;④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条;⑤若a∥α,b⊥α,则a⊥b;⑥若a∥b,a⊥α,则b⊥α.
解析 根据线面垂直的定义,当直线l与平面α内的任意一条直线垂直时,l⊥α,如果α内的无数条直线互相平行,l与α不一定垂直,故①不正确;根据直线与平面垂直的判定定理可知,如果平面α内的两条直线不相交时,l与α不一定垂直,故②不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条互相平行的直线垂直,故③不正确;由于过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.故④正确;⑤,⑥显然正确.答案 ④⑤⑥
例2 在三棱锥P-ABC中,H为△ABC的垂心,AP⊥BC,PC⊥AB,求证: PH⊥平面ABC.
解析 如图,连接AH,因为H为△ABC的垂心,所以AH⊥BC,又AP⊥BC,AH∩AP=A,所以BC⊥平面AHP,又PH⊂平面AHP,所以PH⊥BC.同理可证PH⊥AB,又AB∩BC=B,所以PH⊥平面ABC.
解题技巧(应用判定定理的注意事项)
1、 如图,Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC.点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:(1)如图,取AB中点E,连接SE,DE,在Rt△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,所以DE∥BC,且DE⊥AB.在△SAB中,因为SA=SB,所以SE⊥AB.又SE∩DE=E,所以AB⊥平面SDE.因为SD⊂平面SDE,所以AB⊥SD.在△SAC中,因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.因为SD⊥AC,SD⊥AB,AC∩AB=A,所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC,D为斜边AC的中点,所以BD⊥AC.由(1)可知,SD⊥平面ABC.而BD⊂平面ABC,所以SD⊥BD.因为SD⊥BD,BD⊥AC,SD∩AC=D,所以BD⊥平面SAC.
解题技巧(求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤)