高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）导学案

第五章  函数的应用（二）

4.5.3  函数模型的应用

1.会利用已知函数模型解决实际问题．

2.能建立函数模型解决实际问题．

3.了解拟合函数模型并解决实际问题．

4.通过本节内容的学习，使学生认识函数模型的作用，提高学生数学建模，数据分析的能力．

重点：利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题．

难点:  利用给定的函数模型或建立确定性函数模型解决实际问题，并对给定的函数模型进行简单的分析评价．

1．常见函数模型

2.建立函数模型解决问题的基本过程

我们知道 ， 函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ， 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画 ． 面临一个实际问题 ， 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？

典例解析

例3.人口问题是当今世界各国普遍关注的问题 ． 认识人口数量的变化规律 ， 可以为制定一系列相关政策提供依据 ． 早在 1978 年 ， 英国经济学家马尔萨斯 （ T.R.Malthas ，1766 — 1834） 就提出了自然状态下的人口增长模型  ，其中 t 表示经过的时间 ，  表示 t＝０ 时的人口数 ， r 表示人口的年平均增长率 ．下表 是 1950～1959 年我国的人口数据资料

（1） 如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 （ 精确到 0.0001），

用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型 ， 并检验所得模型与实

际人口数据是否相符 ；

（2） 如果按上表  的增长趋势 ， 那么大约在哪一年我国的人口数达到 13 亿？

   事实上 ， 我国 1989年的人口数为 11.27亿 ， 直到 2005年才突破13 亿 ． 对由

函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？

    因为人口基数较大 ， 人口增长过快 ， 与我国经济发展水平产生了较大矛盾 ， 所以我国从 ２０ 世纪 ７０ 年代逐步实施了计划生育政策 ． 因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件 ， 自然就出现了依模型得到的结果

与实际不符的情况 ．

例4. 2010年 ,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳 14年代学检测 ，检测出碳 14的残留量约为初始量的 55.2％ ， 能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

例5.假设你有一笔资金用于投资 ， 现有三种投资方案供你选择 ， 这三种方案的回报如下 ：

方案一 ： 每天回报40元 ；

方案二 ： 第一天回报10元 ， 以后每天比前一天多回报10元 ；

方案三 ： 第一天回报0.4元 ， 以后每天的回报比前一天翻一番 ．

请问 ， 你会选择哪种投资方案？

①     问题中涉及哪些数量关系？

投资天数、回报金额

②     如何用函数描述这些数量关系？

    假如某公司每天给你投资1万元，共投资30天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？

解答如下：公司30天内为你的总投资为: 30万元

你30天内给公司的回报为:0.01+0.01×2+0.01×22+…+0.01×229=10737418.23≈1074(万元)

上述例子只是一种假想情况 ， 但从中可以看到 ， 不同的函数增长模型 ， 增长变化存在很大差异

例6.  某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x,

其中哪个模型能符合公司的要求？

①例6涉及了哪几类函数模型？

一次函数，对数型函数，指数函数。

②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?

1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是(　　)

A．分段函数　　　　　　 B．二次函数

C．指数函数   D．对数函数

2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是(　　)

A．y＝0.957 6          B．y＝(0.957 6)100x

C．y＝ x              D．y＝1－0.042 4

3．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为(　　)

4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.

5．已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50 km/h的速度返回A地．

(1)把汽车离开A地的距离s表示为时间t的函数(从A地出发时开始)，并画出函数的图象；

(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的图象．

参考答案：

一、    知识梳理

二、    学习过程

例3. 分析 ： 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型 ， 就是要确定其中的初始量 和年平均增长率 r．

解 ：（ 1） 设1951～1959 年我国各年的人口增长率分别为 ，… ． 由 

可得 1951年的人口增长率 ≈0.0200．

同理可得 ， ≈0.0210, ≈0.0229 , ≈0.0250, ≈0.0197 ， ≈0.0223，≈0.0276,≈0.0222,≈0.0154．

于是 ， 1951～1959 年期间 ， 我国人口的年平均增长率为:令 =55196， 则我国在 1950～1959年期间的人口增长模型为

，t ∈N．

根据表 中的数据画出散点图 ， 并画出函数 （t ∈N ）

的图象 由图 可以看出 ， 所得模型与 1950～1959 年的实际人口数据基本吻合 ．

例4.分析 ： 因为死亡生物机体内碳 １４ 的初始量按确定的衰减率衰减 ， 属于指数衰减 ， 所以应选择函数（ ∈R ， 且 ≠０ ； ＞０ ， 且 ≠１ ） 建立数学模型 ．

解 ： 设样本中碳 １４ 的初始量为 ， 衰减率为 （ ０＜ ＜１ ），

经过 年后 ， 残余量为 ． 根据问题的实际意义 ，

可选择如下模型 ：（  ∈R ， 且 ≠０ ； ０＜ ＜１ ；   ≥０ ） ．

由碳 １４ 的半衰期为 5730年 ， 得=

于是 　　　　，所以 　　　

由样本中碳14 的残余量约为初始量的 55.2％ 可知 ，即 　0.552k　　　　　　

解得 　　．由计算工具得 　 ≈4912．

因为 2010年之前的 4912年是公元前 2902年 ，

 所以推断此水坝大概是公元前 2902年建成的 ．

例5.分析 ： 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型 ， 再通过比较它们的增长情况 ， 为选择投资方案提供依据

解 ： 设第x天所得回报是y元 ， 则方案一可以用函数 y ＝40 进行描述 ；

方案二可以用函数 y ＝10x进行描述 ；

方案三可以用函数

进行描述 ． 三个模型中 ， 第一个是常数函数 ， 后两个都是增函数 ．

 要对三个方案作出选择 ， 就要对它们的增长情况进行分析 ．

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况

三种方案每天回报表

方案一的函数是常数函数 ，

方案二 、 方案三的函数都是增函数 ， 但方案三的函数与

方案二的函数的增长情况很不相同 ． 可以看到 ， 尽管方案一 、 方案二在第 １ 天所得回报分别是方案三的100倍和25倍 ， 但它们的增长量固定不变 ， 而方案三是 “ 指数增长 ”，

其 “ 增长量 ” 是成倍增加的 ， 从第7天开始 ， 方案三比其他两个方案增长得快得多 ， 这种增长速度是方案一 、 方案二所无法企及的 ． 从每天所得回报看 ，

在第 １～３ 天 ， 方案一最多 ；

在第 ４ 天 ， 方案一和方案二一样多 ， 方案三最少 ；

在第５～８ 天 ， 方案二最多 ； 第9天开始 ， 方案三比其他两个方

案所得回报多得多 ， 到第30天 ， 所得回报已超过2亿元 ．

下面再看累计的回报数 ． 通过信息技术列表如下

投资1~6天，应选择方案一；

投资7天，应选择方案一或方案二；

投资8~10天，应选择方案二；

投资11天（含11天）以上，应选择方案三。

例6.分析 ： 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型 ， 按要求选择其中一个函数作为刻画

奖金总数与销售利润的关系 ． 由于公司总的利润目标为 1000万元 ， 所以销售人员的销售

利润一般不会超过公司总的利润 ． 于是 ， 只需在区间 ［10 ，1000 ］ 上 ， 寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ：

第一 ， 奖金总数不超过 ５ 万元 ， 即最大值不大于 ５ ；

第二 ， 奖金不超过利润的 ２５％ ， 即 Y≤0.25X ．不妨先画出函数图象 ，

通过观察函数图象 ， 得到初步的结论 ， 再通过具体计算 ， 确认结果 ．

解 ： 借助信息技术画出函数 y ＝５ ， y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x 的图象． 观察图象发现 ， 在区间 ［ 10， 1000］ 上 ， 模型 y=0.25x, y=1.002x的图象都有一部分在直线 y ＝５ 的上方 ， 只有模型 y=log7x+1的图象始终在 y＝５ 的下方 ， 这说明只有按模型 y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求 ．

下面通过计算确认上述判断 ．

先计算哪个模型的奖金总数不超过 ５ 万元 ．

对于模型 y ＝0.25x， 它在区间 ［ 10，1000 ］ 上单调递增 ，

 而且当 x ＝２０ 时 ， y ＝５ ，

因此 ， 当 x ＞２０ 时 ， y ＞５ ， 所以该模型不符合要求 ；

对于模型, y=1.002x  ， 由函数图象 ，

并利用信息技术 ， 可知在区间 （805 ，806 ）

 内有一个点 满足 ＝５ ， 由于它在区间 ［10 ，1000 ］ 上单调递增 ，

因此当 x＞ 时 ， y ＞５ ，所以该模型也不符合要求 ；

对于模型 y=log7x+1， 它在区间 ［10 ，1000 ］上单调递增 ， 而且当 x＝1000 时 ，y=log71000+1≈4.55＜５ ， 所以它符合奖金总数不超过 ５ 万元的要求 ．

再计算按模型 y=log7x+1奖励时 ， 奖金是否不超过利润的25％ ，

 即当 x ∈［10 ，1000 ］ 时 ， 是否有 y ≤0.25x， 即y=log7x+1 ≤0.25x成立 ．

令 f(x) ＝ y=log7x+1-0.25x， x ∈ ［10 ，1000 ］,  利用信息技术画出它的图象

由图象可知函数 f(x)在区间［10 ，1000 ］ 上单调递减 ，

 因此f(x)≤ f(10)≈－0.3167＜０ ，

即y=log7x+1＜0.25x．所以 ， 当 x ∈ ［10 ，1000 ］时 ，

 y ≤0.25x， 说明按模型y=log7x+1 奖励 ， 奖金不会超过利润的 25％．

综上所述 ， 模型 y=log7x+1确实能符合公司要求 ．

三、达标检测

1.【答案】A　[由图可知，该图象所对应的函数模型是分段函数模型．]

2．【答案】A　[由题意可知y＝(95.76%)，即y＝0.9576.]

3.【答案】B　[由题意h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.]

4．【答案】2 500　[∵每生产一单位产品，成本增加10万元，

∴单位产品数Q时的总成本为2 000＋10Q万元．

∵K(Q)＝40Q－Q2，

∴利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000＝－(Q－300)2＋2 500，

∴Q＝300时，利润L(Q)的最大值是2 500万元．]

5． 【答案】(1)①汽车由A地到B地行驶t h所走的距离s＝60t(0≤t≤2.5)．

②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝150(2.5＜t≤3.5)．

③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s＝150－50(t－3.5)

＝325－50t(3.5＜t≤6.5)．

综上，s＝

它的图象如图(1)所示．

(1)　　　　　　　　　　　(2)

(2)速度v(km/h)与时间t(h)的函数关系式是v＝

它的图象如图(2)所示．