人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念习题

4.1.2 数列的递推公式

知识点一　数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．

数列递推公式与通项公式的关系：

递推公式表示an与它的前一项an－1(或前n项)之间的关系，而通项公式表示an与n之间的关系．

要点二　an与Sn的关系

1．前n项和Sn：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝

2．an与Sn的关系：an＝

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．(　　)

(2)有些数列可能不存在最大项．(　　)

(3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　)

(4)所有的数列都有递推公式．(　　)

【答案】（1）√（2）√（3）√（4）×

2．数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　)

A．－3       B．－11       C．－5      D．19

【答案】D

【解析】a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.

3．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项(　　)

A．4       B．8       C．7       D．12

【答案】B

【解析】令2n2－3＝125得n＝8或n＝－8(舍)，故125是第8项．故选B.

4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则an＝________.

【答案】2n－1

【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝n2－n2＋2n－1＝2n－1.当n＝1时，a1＝S1＝1满足上式，所以{an}的通项公式为an＝2n－1.

题型一　数列中项与项数关系的判断

【例1】已知数列，，2，，…

(1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第20项；

(2)判断4和10是不是该数列中的项？若是，指出是数列的第几项，若不是，请说明理由．

【解析】(1)由于2＝8，所以该数列前4项中，根号下的数依次相差3，所以它的一个通项公式为an＝；a20＝＝.

(2)令＝4，两边平方得3n＝33，解得n＝11，是正整数

令＝10，两边平方得n＝，不是整数．

∴4是数列的第11项，10不是数列中的项．

【方法归纳】

(1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值．

(2)判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项．

(3)在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件．

【跟踪训练1】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.

(1)写出此数列的第4项和第6项；

(2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？

【解析】(1)a4＝3×42－28×4＝－64，

a6＝3×62－28×6＝－60.

(2)由3n2－28n＝－49解得n＝7或n＝(舍去)，

所以－49是该数列的第7项．由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，所以68不是该数列的一项．

题型二　已知Sn求an

例2　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求an.

【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32

当n＝1时，a1＝S1＝－28，适合上式，

所以an＝4n－32.

借助an＝

【变式探究1】将本例中的“Sn＝2n2－30n”换为“Sn＝2n2－30n＋1”，求an.

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2×1－30×1＋1＝－27.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]

＝4n－32.

验证当n＝1时，上式不成立

∴an＝.

方法归纳

已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤：

(1)当n＝1时，a1＝S1.

(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.

(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝

【跟踪训练2】已知数列：a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求an.

【解析】当n≥2时，由a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，

得a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，

两式相减得3n－1an＝－＝，则an＝.

当n＝1时，a1＝，满足an＝，所以an＝.

题型三　由数列递推公式求通项公式

【例3】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，则an＝________.

【答案】

【解析】∵an＋1＝an＋n＋1，a1＝1，∴an＋1－an＝n＋1，

∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a2－a1＝2

以上式子相加得：

an－a1＝2＋3＋…＋n

∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝.

变形为：an＋1－an＝n＋1，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项的关系，这些式子两边分别相加可求．

【变式探究2】若将“an＋1＝an＋n＋1”改为“an＋1＝an”，则an＝________.

【答案】

【解析】∵an＋1＝an，a1＝1，∴＝，

∴＝，＝，…，＝，

以上式子两边分别相乘得：＝××…×＝

∴an＝a1＝.

【方法归纳】

由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式，即：

(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1求通项公式．

(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．

【跟踪训练3】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)

A．2＋ln n   B．2＋(n－1)ln n

C．2＋nln n  D．1＋n＋ln n

【答案】A

【解析】∵在数列{an}中，an＋1－an＝ln＝ln

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝ln＋ln＋…＋ln＋2

＝ln＋2＝2＋ln n.故选A.

【易错辨析】数列中忽视n的限制条件致误

【例4】设Sn为数列{an}的前n项和，log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝________.

【答案】

【解析】由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－1

当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n.

当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．∴an＝

【易错警示】

1.   出错原因

忽视n＝1的情况致错，得到错误答案：an＝2n.

2.   纠错心得

已知an与Sn的关系求an时，常用an＝Sn－Sn－1(n≥2)来求an，但一定要注意n＝1的情况.

一、单选题

1．设数列的前n项和为，，，（），若，则n的值为（    ）．

A．1007 B．1006 C．2012 D．2014

【答案】A

【分析】

根据数列与的关系证得数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

利用等差数列的前n项和公式求出题中的式子，化简计算即可.

【解析】

，

，

整理可得，，

两边同时除以可得，又

数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

，

由题意可得，，

解得．

故选：A．

2．南宋数学家杨辉在《解析九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（    ）

A．171 B．190 C．174 D．193

【答案】C

【分析】

根据题意可得数列3，4，6，9，13，18，24，，满足：，，从而利用累加法即可求出，进一步即可得到的值．

【解析】

后项减前项可得

所以，

所以

.

所以.

故选：C

3．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

利用累加法先求出通项即可求得答案.

【解析】

因为，，

所以

，

所以.

故选：D.

4．数列，，，，，…的一个通项公式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据数列中项的规律可总结得到通项公式.

【解析】

，，，，，

一个通项公式为：.

故选：A.

5．下列命题不正确的是（    ）

A．数列的一个通项公式是

B．已知数列，且，则

C．已知数列的前项和为，那么123是这个数列的第7项

D．已知，则数列是递增数列

【答案】C

【分析】

A：根据被开方数的特征进行判断即可；

B：运用代入法进行求解判断即可；

C：根据前项和与第项之间的关系进行求解判断即可；

D：根据递增数列的定义进行判断即可.

【解析】

对于A，数列变为，，，A正确；

对于B，，且，B正确；

对于C，，，当时，，，无正整数解，

所以123不是这个数列的第7项，C错误；

对于D．由，易知D正确，

故选：C．

6．已知数列的前项和，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先根据，求出，然后利用裂项相消求和法即可求解.

【解析】

解：因为数列的前项和，，

两式作差得到，又当时，，符合上式，

所以，，

所以，

所以.

故选：D.

7．数列中的前n项和，数列的前n项和为，则（    ）.

A．190 B．192 C．180 D．182

【答案】B

【分析】

根据公式计算通项公式得到，故，求和得到答案.

【解析】

当时，；

当时，，

经检验不满足上式，所以，

，则，.

故选：B.

8．已知数列满足，，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】

首先根据已知条件得到，再利用累加法求解即可.

【解析】

因为，所以，

所以，即，

当时，

，

，解得

当时，上式成立，故，故.

故选：B

二、多选题

9．数列{an}的前n项和为Sn，，则有（    ）

A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列

C．an＝2·3n－1 D．

【答案】ABD

【分析】

根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.

【解析】

依题意，

当时，，

当时，，

，所以，

所以，

所以.

当时，；当时，符合上式，所以.

，所以数列是首项为，公比为的等比数列.

所以ABD选项正确，C选项错误.

故选：ABD

10．已知数列的前n项和，数列满足，若，，（，）成等差数列，则k的值不可能是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．10

【答案】AD

【分析】

利用与的关系，求得，进而求得，然后根据，，（，）成等差数列，得到与的关系，进而求得答案.

【解析】

当时，，当时，，故（），（）．因为，，（，）成等差数列，所以，即，所以，（，），从而的取值为1，2，4，8，则对应的k的值为12，8，6，5，所以k的值不可能是4，10，

故选:AD．

第II卷（非选择题）

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三、填空题

11．数列的前n项的和，________．

【分析】

利用时，求，同时注意．

【解析】

解析：由题可知，当时，

，

当时，，

故答案为：．

12．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n－3，则an＝________.

【答案】

【解析】

解析　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－[2(n－1)－3]＝2，又a1＝S1＝2×1－3＝－1，故an＝

13．已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式为___________.

【答案】或

【分析】

由可得数列是公比为的等比数列，然后根据求出即可.

【解析】

因为，所以当时，，即

当时，，然后可得，即

所以数列是公比为的等比数列

所以，，

因为，所以，

当时， ，

当时， ，

故答案为：或

四、解答题

14．已知数列的前项和，且的最大值为．

（1）求常数及；

（2）设，求数列的前项和．

【答案】

（1），

（2）

【分析】

（1）由于，则可得，从而可求出，然后利用求出，

（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法求解即可

（1）

因为，

所以当时，取得最大值，

所以，因为，所以，

所以，

当时，，

当时，，

满足上式，

所以

（2）

由（1）可得，

所以

15．已知数列满足，求数列的通项公式．

【答案】

【分析】

先根据前项和与通项的关系得，再检验时也满足条件即可求得答案.

【解析】

因为①，

所以②，

①-②得，即 ,

当时，，满足，

所以

16．已知数列的前项和，求数列的通项公式．

【答案】

【分析】

根据与的关系式，求解数列的通项公式即可.需要注意验证首项.

【解析】

得

根据题意，

所以数列的通项公式为