人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理练习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理练习题，共6页。试卷主要包含了3　二项式定理等内容，欢迎下载使用。
第六章计数原理6.3　二项式定理6.3.2　二项式系数的性质课后篇巩固提升基础达标练1.在(a-b)20的展开式中,与第6项二项式系数相同的项是(　　)A.第15项　 B.第16项　 C.第17项　 D.第18项解析第6项的二项式系数为,与它相等的为倒数第6项,即第16项.答案B2.(2020四川高三三模)的展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则该展开式的常数项是(　　)A.-15 B.-20 C.15 D.20解析因为只有第4项的二项式系数最大,得n=6,所以x2-n的展开式的通项为Tk+1==(-1)kx12-3k.令12-3k=0得k=4,所以展开式中的常数项是(-1)4=15.故选C.答案C3.(x-1)11的展开式中x的偶次项系数之和是(　　)A.-2 048 B.-1 023 C.1 024 D.-1 024解析(x-1)11=x11+x10·(-1)+x9·(-1)2+…+(-1)11,x的偶次项系数为负数,其和为-210=-1 024.答案D4.已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8等于 (　　)A.180 B.-180 C.45 D.-45解析∵(2-x)10=210(-x)0+29(-x)1+…+22(-x)8+2(-x)9+(-x)10,∴a8=22=4×=4×=4×45=180.答案A5.若对于任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　)A.3 B.6 C.9 D.12解析x3=[2+(x-2)]3,a2=·2=6.答案B6.(2020江西南昌高三模拟)在的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64,则x3的系数为 (　　)A.15 B.45 C.135 D.405解析令x=1,代入,可得各项系数和为4n,展开式的各项的二项式系数和为2n,由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64,所以=64,解方程可得n=6,则的展开式的通项公式为Tk+1=x6-kx6-k·3k·=3k.令6-k=3,解得k=2,所以x3的系数为32=9×15=135.故选C.答案C7.设(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n=　　　　　. 解析令x=1,得3n=a0+a1+a2+…+a2n-1+a2n,①令x=-1,得1=a0-a1+a2-…-a2n-1+a2n,②①+②得3n+1=2(a0+a2+…+a2n),所以a0+a2+…+a2n=.答案8.设(-3+2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3的值为　　　　. 解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=1.①又Tk+1=(-3)4-k(2x)k,∴当k=4时,x4的系数a4=16.②由①-②得a0+a1+a2+a3=-15.答案-159.若(x+3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a+b)10的展开式中二项式系数的和,则n的值为　　　　. 解析(7a+b)10的展开式中二项式系数的和为+…+=210,令(x+3y)n中x=y=1,则由题设知,4n=210,即22n=210,解得n=5.答案510.已知(1+m)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256,展开式中含x的项的系数为112.(1)求m,n的值;(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和;(3)求(1+m)n(1-x)的展开式中含x2的项的系数.解(1)由题意可得2n=256,解得n=8.Tk+1=mk,含x项的系数为m2=112,解得m=2或m=-2(舍去).故m,n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为=28-1=128.(3)(1+2)8(1-x)=(1+2)8-x(1+2)8,所以含x2的项的系数为24-22=1 008.能力提升练1.若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为(　　)A.1或3 B.-3C.1 D.1或-3解析令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6.又a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1或m=-3.答案D2.在(1-2x)n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为128,则二项式系数最大的项的系数为(　　)A.-960 B.960C.1 120 D.1 680解析根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为128,所以在(1-2x)n的展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,n=8,则(1-2x)8的展开式中二项式系数最大的项为第5项,且T5=(-2)4x4=1 120x4,即二项式系数最大的项的系数为1 120,故选C.答案C3.(多选)(2020山东寿光现代中学高二期中)关于(a-b)11的说法,正确的是(　　)A.展开式中的二项式系数之和为2 048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最大解析(a-b)11的展开式中的二项式系数之和为211=2 048,故A正确;因为n=11为奇数,所以展开式中有12项,中间两项(第6项和第7项)的二项式系数相等且最大,故B不正确,C正确;展开式中第6项的系数为负数,不是最大值,故D不正确.故选AC.答案AC4.已知0<a<1,方程a|x|=|logax|的实根个数为n,且(x+1)n+(x+1)11=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a10(x+2)10+a11(x+2)11,则a1等于(　　)A.-10 B.9 C.11 D.-12解析作出y=a|x|(0<a<1)与y=|logax|的大致图象如图所示,所以n=2.故(x+1)n+(x+1)11=(x+1)2+(x+1)11=[(x+2)-1]2+[(x+2)-1]11,故a1=-2+(-1)10=9.答案B5.(2020山西太原五中高三模拟)(a>0,b>0)的展开式中只有第6项的二项式系数最大,且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍,则ab的值为　　　　. 解析展开式中只有第6项的二项式系数最大,故n=10,(a>0,b>0)的展开式的通项为Tk+1=·(ax)10-k·x10-2k.故=3·,化简得到ab=8.答案86.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若数列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈Z)是一个单调递增数列,则k的最大值是　　　　. 解析(1+x)n的展开式的各项的系数为其二项式系数,当n=10时,展开式的第六项的二项式系数最大,故k的最大值为6.答案67.在9x-n的展开式中,偶数项的二项式系数之和为256,则展开式中x的系数为　　　　. 解析因为二项式展开式中,偶数项与奇数项的二项式系数之和相等,所以2n-1=256,解得n=9.所以9x-9的展开式中,通项为Tk+1=(9x)9-k·99-k·-k.令9-k=1,解得k=6,所以展开式中x的系数为×93×-6=84.答案848.已知x+n的展开式的二项式系数之和为256.(1)求n;(2)若展开式中常数项为,求m的值;(3)若(x+m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项,求m的取值情况.解(1)二项式系数之和为2n=256,可得n=8.(2)设常数项为第k+1项,则Tk+1=x8-kk=mkx8-2k,故8-2k=0,即k=4,则m4=,解得m=±.(3)易知m>0,设第k+1项系数最大.则化简可得≤k≤.由于只有第6项和第7项系数最大,所以所以m只能等于2.素养培优练(2020江苏扬州中学高三三模)(1)已知(1-2x)2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4,求n的值.(2)记(1-2x)2n+1=a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1,n∈N*,①求|a0|+|a1|+…+|a2n+1|;②设ak=(-2)kbk,求和:1·b0+2·b1+3·b2+…+(k+1)·bk+…+(2n+2)·b2n+1.解(1)∵(1-2x)2n+1的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1∶4,∴,解得n=4.(2)①由题意(1+2x)2n+1=|a0|+|a1|x+…+|a2n+1|x2n+1,令x=1,得|a0|+|a1|+…+|a2n+1|=32n+1.②由题意ak=(-2)k,又ak=(-2)kbk,∴bk=.∴(k+1)bk=(k+1)=k=k=(2n+1),k>0,∴1·b0+2·b1+3·b2+…+(k+1)·bk+…+(2n+2)·b2n+1=1·+2·+3·+…+(k+1)·+…+(2n+2)·++…++(2n+1)+…+=22n+1+(2n+1)22n=(2n+3)·22n.