（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题11.1计数原理与排列组合

这是一份（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题11.1计数原理与排列组合，共12页。试卷主要包含了 两个计数原理， 排列与组合，A选项正确；等内容，欢迎下载使用。
11.1 计数原理与排列组合课标要求考情分析核心素养 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义．2.通过实例，理解排列组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式． 新高考3年考题题号考 点数学运算2020(Ⅰ)卷3排列组合分步乘法计数原理2020(II)卷6排列组合分步乘法计数原理2022(II)卷5排列组合分步乘法计数原理 1. 两个计数原理名称完成一件事的策略完成这件事共有的方法分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法N＝m＋n种不同的方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法N＝m×n种不同的方法 2. 排列与组合名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合3．排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示． 排列数、组合数的公式及性质公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝C＝＝＝性质0！＝1，A＝n！C＝C，C＝C＋C  1．【选必第3册P11习题6】已知集合，，从，这两个集合中先后选取一个元素依次作为平面直角坐标系中点的横、纵坐标．求位于第二象限的不同点的个数求在圆内部不含边界的不同点的个数．   2．【选必第3册P12 习题9】一个口袋里有封信，另一个口袋里有封信，各信内容均不相同．从两个口袋里任取封信，有多少种不同的取法．从两个口袋里各取封信，有多少种不同的取法．把这两个口袋里的封信，分别投入个邮筒，有多少种不同的投法．   考点一　两个计数原理的应用【方法储备】利用分类加法计数原理计数时的解题流程利用分步乘法计数原理解决问题的策略(1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足的两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成．【典例精讲】例1.(2022·山东·期末考试) 将种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是(    )A.  B.  C.  D. 【名师点睛】(1)应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．【靶向训练】 练1-1. (2022·全国·月考试卷) 如图所示，在，间有四个焊接点，，，，若焊接点脱落导致断路，则电路不通今发现，之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有(    )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种练1-2. (2022·广东省佛山市·月考试卷) 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种生物鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 考点二　排列问题【方法储备】求解排列应用问题的六种常用方法【典例精讲】例2. (2022·全国·同步练习)现有个人排成一排照相，其中甲、乙、丙人不能相邻的排法有(    )种．A.  B.  C.  D. 【名师点睛】对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．【靶向训练】练2-1. (2021·山东省临沂市·月考试卷) 古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我校学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中选出四位同学组成校“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、二辩、三辩、四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同的组队方式有          种．练2-2. (2022·河南省·月考试卷) 受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种  考点三　组合问题【方法储备】组合问题的两类题型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 【典例精讲】例3. (2022·江苏省·模拟题) 某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：每位学生每天最多选择项；每位学生每项一周最多选择次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程项，则不同的选择方案共有  (    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【名师点睛】先根据表格确定阅读、体育、编程项活动所在的周，然后分类讨论，最后应用分类加法原理将各类型下的方案个数加总，分类讨论过程中注意不要遗漏和重复.【靶向训练】练3-1.
(2022·湖北省孝感市·联考题) 如图，某城市的街区由个全等的矩形组成实线表示马路，段马路由于正在维修，暂时不通，则从到的最短路径有(    )A. 条 B. 条 C. 条 D. 条练3-2. (2022·河北省衡水市·期中考试·多选）在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(    )A. 若任意选科，选法总数为
B. 若化学必选，选法总数为
C. 若政治和地理至少选一门，选法总数为
D. 若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为   考点四　分组与分配问题【方法储备】分组、分配问题是排列与组合的综合问题，解题思想是先分组后分配(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；②部分均匀分组，应注意不要重复；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解．提醒：对于部分均分问题，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！【典例精讲】例4. (2021·全国·月考试卷) 数学活动小组由名同学组成，现将这名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出名组长，则不同的分配方案有(    )A. 种 B. 种
C. 种 D. 种【名师点睛】 (1)平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列．(2)对于分堆与分配问题应注意三点：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的；③分堆时要注意是否均匀． 【靶向训练】练4-1. (2021·湖北省荆门市·月考试卷) 把名志愿者分配到三个不同的社区，每个社区至少有一个志愿者，其中甲社区恰有名志愿者的分法有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种练4-2. (2022·全国·期中考试·多选) 有本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是(    )A. 分给甲、乙、丙三人，每人各本，有种分法；
B. 分给甲、乙、丙三人中，一人本，另两人各本，有种分法；
C. 分给甲乙每人各本，分给丙丁每人各本，有种分法；
D. 分给甲乙丙丁四人，有两人各本，另两人各本，有种分法；   核心素养系列  逻辑推理——排列与组合的综合应用【方法储备】排列与综合综合应用问题，通常采用先选后排策略：确定是否要分类，若分类，要注意做到不重复不遗漏；先分组后排序计数：利用加法计数原理或乘法计数原理列式计算.【典例精讲】例5. (2021·山东省临沂市··期中考试·多选) 下列关于甲，乙、丙、丁、戊五个人身高互不相同的人的排列方法，正确的有(    )A. 甲乙两人相邻，丙、丁两人也相邻的站法有种
B. 甲、乙、丙互不相邻的站法共有种方法
C. 个子最高的人在中间，从中间向两边看身高依次降低的站法有种
D. 甲不在排头的站法有种【名师点睛】相邻、相间问题的解题策略(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．【靶向训练】练5-1. (2021·广东·月考试卷) 在新高考改革中，学生可从物理、历史、化学、生物、政治、地理、技术科中任选科参加高考，现有甲、乙两名学生先从物理、历史科中任选科，再从化学、生物、政治、地理、技术科中任选科，则甲、乙两人恰有门学科相同的选法有          种．练5-2. (2021·广东省佛山市·期末考试·多选) 从名志愿者中选出人分别从事翻译、导购、导游、文秘四种不同的工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案有 (    ) 种A.  B.
C.  D.                                       易错点1．要注意区分排列与组合，元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．例6. (2022·吉林省四平市·月考试卷) 在疫情防控常态化条件下，各地电影院有序开放，某影院一排共有个座位，选出个用于观影，防疫要求选出座位的左右两边都是空位，则不同的选法有          种用数字回答． 易错点2．解决计数问题要注意分清选用哪个计数原理，还是两个计数原理相结合应用．例7. (2021·全国·月考试卷) 某个密室逃脱游戏的一个环节是需要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成每格都可以出现十个数字，且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于，最后两个数字均小于，则该密码的可能的情况数为          ． 易错点3. 熟练记忆与应用排列数和组合数公式，避免混淆．例8. (2022·广东·月考试卷·多选) 下列有关排列数、组合数的计算，正确的是(    )A.
B.
C.
D. 是一个常数      答案解析【教材改编】1.【解析】因为这个点为第二象限内的点，所以该点的横坐标小于，纵坐标大于．
先选横坐标，有种方法，再选纵坐标，也有种方法，
根据分步乘法计数原理，则位于第二象限的不同点的个数为．
因为这个点在圆的内部不含边界，所以．
若，则或，共种情况
若，则或，共种情况
若，则或，共种情况．
根据分类加法计数原理，则满足条件的不同点的个数为． 2.【解析】任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这件事，因此是两类办法，
用分类加法计数原理，共有种不同的取法；
各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，
由分步乘法计数原理，共有种不同的取法；
第一封信投入邮筒有种可能，第二封信仍有种可能，，第七封信还有种可能，
由分步乘法计数原理，可知共有种不同的投法． 【考点探究】例1.【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行：区域有种涂法，有种涂法，，不同色，有种，有种涂法，有种，，同色，有种涂法，有种涂法，有种，共有种不同的涂色方案．故选：．练1-1【解析】按焊接点脱落的个数分类：脱落个，有，，共种脱落个，有，，，，，，共种脱落个，有，，，，共种脱落个，有，共种由分类加法计数原理，焊接点脱落的情况共有种，故选C．练1-2【解析】甲同学选择牛，乙有种，丙有种，选法有种，
甲同学选择马，乙有种，丙有种，选法有种，
所以共有种．
故选B．例2.【解析】因为“甲、乙、丙人不能同时相邻，但允许其中有人相邻”，
则在将个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，
就得到甲、乙、丙人不相邻的方法数，即，
故选B．练2-1.【解析】若甲乙有人担任一辩，则有 种，
若甲乙没有人担任一辩，则戊一定一辩，则有 种，
根据分类计数原理可得共有种．
故答案为．练2-2.【解析】根据题意，甲班必须排在前三位，分种情况讨论：甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有种情况，此时有种安排方案；则一共有种安排方案；
故选：．例3.【解析】由题可知，阅读在周一、二、三、四，体育在周一、三、四，编程在周一、二、四．
若选周一编程，则体育可在周三或周四选，故为，阅读在剩下两天中选，为，共种方案；
若选周二编程，则体育可在周一、周三或周四选，故为，阅读在剩下两天中选，为，共种方案；
若选周四编程，则体育可在周一或周三选，故为，阅读在剩下两天中选，为，共种方案；
综上，共有种
故选D．练3-1.【解析】由题意知从到的最短路径要通过段马路，段水平马路，段竖直马路，共有种，又因为经过段的走法有种，故不经过段的最短路径有条．练3-2.【解析】对于项，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、化学、生物门科目中选择门，则选法总数为，故A项错误
对于项，首先在物理、历史门科目中选择门，再从政治、地理、生物门科目中选择门，则选法总数为，故B项正确
对于项，分政治和地理都选和政治和地理仅选一门，则选法总数为，故C项错误
对于项，物理必选，分化学、生物都选和化学、生物仅选一门，则选法总数为，故D项正确．
故选BD．例4.【解析】方法一：首先将名同学平均分成四组，有种分法，
然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有种分法，
并在各组中选出名组长，有种选法，
根据分步乘法计数原理，满足条件的不同的分配方案有种.
方法二：根据题意可知，第一组分名同学有种分法，
第二组分名同学有种分法，第三组分名同学有种分法，第四组分名同学有种分法．
第一组选名组长有种选法，第二组选名组长有种选法，第三组选名组长有种选法，第四组选名组长有种选法．
根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同的分配方案有种，
故答案选：．练4-1.【解析】甲社区恰有名志愿者有种，
其余人的分组有和两种分法：
按分组，有种；
按分组，有种，
故甲社区恰有名志愿者的分法有种．
故选C．练4-2.【解析】对于选项，分三步把本不同的书均匀分给甲乙丙三人，
共有选项正确；
对于选项，先分组，，共有，再全排列，分发种数为选项正确；
对于选项，分四步完成即可，即共有．故选项C正确；
对于D选项先分组，，，，再全排列后除以均匀分组数，所以方法总数为
所以选项错误。
故选ABC．【素养提升】例5.【解析】对于，甲乙两人，丙丁两人各看作一个整体，则有种方法，剩下三个空位，剩下一人插入，有种方法，因为甲乙两人相邻，丙、丁两人也相邻，
所以一共有种方法，正确；
对于，由于甲、乙、丙互不相邻，则先排列其他两人，有种方法，剩下三个空位，然后甲、乙、丙依次插入，一共有种方法，错误；
对于，根据题意，最高个子站在中间，只需排好左右两边，
第一步：先排左边，有种排法，
第二步：将另外两人按从高到低的顺序排列，有种情况，则不同的排法有种，正确；
对于，五个人的排列方法有种方法，若甲在排头，则排列方法有种方法，
所以甲不在排头的站法有种，正确；故选ACD．练5-1.【解析】根据题意，分种情况讨论：
物理、历史科中有相同学科．则有种选法；
物理、历史科中没有相同学科．则有种选法．
所以甲、乙两人恰有门学科相同的选法有种；
故答案为：．练5-2.【解析】先从排除甲、乙之后的人中选择一人从事翻译工作有种，再从剩余人中选人从事导购、导游、文秘工作有种，
所以不同的选派方案为种，故选项B正确；
从名志愿者选出人分别从事翻译、导购、导游、文秘四种不同的工作，有种不同情况，其中包含甲从事翻译工作有种，乙从事翻译工作有种，
所以不同的选派方案有种，故D选项正确．
故选BD．【易错点归纳】例6.【解析】根据题意，先排个空座位，个空座位中间有个空，选个空用于观影，
可得，即有种不同的选法．
故答案为．例7.【解析】在到这个数字中，大于的有，，，共个，则共有种，小于的有，，，，共个，则共有种，
由分步乘法的计数原理，该密码的可能的情况数为种
故答案为：．例8.【解析】对于，，故A错误；
对于，，故B正确，
对于，，所以；
故C错误，
对于，因为，则且解得，
所以是一个常数，故D正确．
故选：．