（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题12.1随机事件的概率及其计算

这是一份（教案讲义）2022-2023学年高三年级新高考数学一轮复习专题12.1随机事件的概率及其计算，共15页。试卷主要包含了随机事件的概率，古典概型，概率的基本性质，故选D等内容，欢迎下载使用。
12.1 随机事件的概率及其计算
课标要求
考情分析
核心素养
1.随机事件与概率
①结合具体实例,理解样本点和有限样本空间的含义,理解随机事件与样本点的关系.了解随机事件的并、交与互斥的含义, 能结合实例进行随机事件的并、交运算.
②结合具体实例, 理解古典概型, 能计算古典概型中简单随机事件的概率.
③通过实例,理解概率的性质,掌握随机事件概率的运算法则.
④结合实例,会用频率估计概率.
2.随机事件的独立性
结合有限样本空间, 了解两个随机事件独立性的含义.结合古典概型, 利用独立性计算概率.
新高考3年考题
题 号
考 点
数据分析
数学运算
逻辑推理
2022(Ⅱ)卷
19（2）
互斥事件、对立事件的概率
2021(Ⅰ)卷
8
独立事件
2020(Ⅰ)卷
19（1）
频率估计概率
2020(Ⅱ)卷
5
积事件的概率



1．随机事件的概率
⑴ 有限样本空间
随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间.一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,∙∙∙,ωn ,则称样本空间Ω=ω1,ω2,∙∙∙,ωn为有限样本空间.
⑵ 随机事件
一般地,随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A,B,C,∙∙∙表示.在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生.
⑶ 事件间的关系和运算
名称
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A (或称事件A包含于事件B)
B⊇A (或A⊆B)
相等关系
如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B⊇A且A⊇B则称事件A与事件B相等
A=B
并事件
(和事件)
若事件A与事件B至少有一个发生，事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A⋃B (或A+B)
交事件
(积事件)
若事件A和事件B同时发生，这样的一个事件的样本点既在事件A中，又在事件B中，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B (或AB)
互斥事件
若事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B为不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥（或互不相容）
A∩B=∅
对立事件
若事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为A
A∩B=∅，PA∪B=PA+PB=1
2.频率与概率
⑴ 频率的稳定性
大量试验表明, 在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此, 我们可以用频率f(A)估计概率P(A).
⑵频率与概率的关系
①区分:频率是利用频数nA除以总试验次数n所得到的确定的数值，而概率是频率的稳定性，因此频率是一个精确值，而概率是一个估计值，根据这两点来区分频率与概率，从而判断所给的数值是频率还是概率.
②联系: 随机事件的频率, 指此事件发生的次数与试验总次数的比值, 它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多, 这种摆动幅度越来越小.我们给这个常数取一个名字, 叫作这个随机事件的概率.概率可看作频率在理论的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的期望值, 它从数值上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率.
3．古典概型
⑴古典概型及其特点
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
具有以上两个体征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概型.
⑵古典概型的概率公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,
则定义事件A的概率PA=kn=n(A)n(Ω),
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
4．概率的基本性质
⑴概率的取值范围：0≤P(A)≤1；
⑵必然事件的概率为；不可能事件的概率为，即PΩ=1,P∅=0；
⑶如果事件A与事件B互斥，那么PA∪B=PA+P(B)；
推广：如果事件A1,A2,∙∙∙,Am两两互斥，那么事件PA1∪A2∪∙∙∙∪Am=PA1+PA2+∙∙∙+PAm；
⑷若事件与事件互为对立事件，那么PB=1-PA,PA=1-P(B)；
⑸如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).
5.事件的相互独立性
事件A与事件B
相互独立
对任意的两个事件A与B，如果PAB=PAP(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质
⑴若事件A与事件B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立；
⑵若事件A与事件B相互独立，PA>0，PAB=PAPB↔
PBA=P(B)

从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.

1．【P250 T4】2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》(简称“强基计划”)，明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为45,34,34，那么三人中恰有两人通过的概率为(    )
A. 2180 B. 2780 C. 3380 D. 2740
2．【P244 T10】抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和II号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果，
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：A=“两个点数之和是5”；B=“两个点数相等”；C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”．




考点一　求随机事件的频率与概率
【方法储备】　
随机事件的频率与概率问题的常见类型及解题策略:
(1)补全或列出频率分布表：可直接依据已知条件,逐一计数,写出频率.
(2)由频率估计概率：可以根据频率与概率的关系,由频率直接估计概率.
(3)由频率估计某部分的数值：可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值.
【典例精讲】
例1.(2021·吉林省长春市期末) 某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评价情况，随机调查100名用户，根据这100名用户对该电讯企业的评分，绘制频率分布直方图，如图所示，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，……，[90,100]．
(1)估计该地区用户对电讯企业评分不低于70分的概率，并估计对该电讯企业评分的中位数；
(2)现从评分在[40,60)的调查用户中随机抽取2人，求2人评分都在[40,50)的概率(精确到0.1)．




【名师点睛】　
概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律, 与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说, 单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性,才是概率意义下的“可能性”,事件A的概率是事件A的本质属性.
【靶向训练】
练1-1 (2022·安徽省蚌埠市模拟.多选) 下列命题正确的是(    )
A. 随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B. 抛掷骰子100次，得点数是1的结果是18次，则出现1点的频率是950
C. 有一批产品，其次品率为0.05，若从中任取200件产品，则一定有190件正品，10件次品
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币100次，有51次出现了正面，则可得抛掷一次该硬币出现正面的概率是0.51
练1-2 (2021·安徽省合肥市模拟) 某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1t可获利0.4万元，每积压1t则亏损0.3万元.根据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．
(1)请依据频率分布直方图估计年需求量不低于90t的概率，并估计年需求量的平均数；
(2)今年该经销商欲进货100t，以x(单位：t，x∈[60,110])表示今年的年需求量，以y(单位：万元)表示今年销售的利润，试将y表示为x的函数解析式；并求今年的年利润不少于27.4万元的概率．

考点二　互斥事件、对立事件的概率
【方法储备】
1.求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法
解此类问题,首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件还是对立事件,再选择相应的概率公式进行计算.
2.求复杂的互斥事件概率的两种方法
⑴直接求法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和,运用互斥事件概率的加法公式计算.
⑵间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P(A)求得,即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法会较简便.
【典例精讲】
例2.(2022·山东省枣庄市模拟.多选) 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R2=“第二次摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，R=“两个球中有红球”，则(    )
A. P(R1)