【备战2023高考】物理总复习——4.1《曲线运动运动的合成与分解》讲义（全国通用）

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【网络构建】
专题 4.1 曲线运动 运动的合成与分解
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考点一 曲线运动
1．速度方向：沿曲线上该点的切线方向。
2．性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动。
3．物体做曲线运动的条件
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
4．合力与轨迹的关系：物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧。
考点二 运动的合成与分解
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动。
2．分解原则：可根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
3．遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
4．合运动和分运动的关系
5.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
6．合运动性质的判断
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(加速度\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(恒定：匀变速运动,变化：非匀变速运动)),加速度方向与速度方向\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(共线：直线运动,不共线：曲线运动))))
7．两个直线运动的合运动性质的判断
8.解决运动的合成和分解的一般思路
(1)明确合运动或分运动的运动性质．
(2)确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解．
(3)找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)．
(4)运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解．
考点三 曲线运动的动力学分析
1．合力方向与轨迹的关系
无力不弯曲，弯曲必有力．曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，或者说合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧．
2．合力方向与速率变化的关系
（1）轨迹特点：轨迹在速度方向和合力方向之间，且向合力方向一侧弯曲。
（2）合力的效果：合力沿切线方向的分力改变速度的大小，沿径向的分力改变速度的方向。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率将增大。
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率将减小。
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。（举例：匀速圆周运动）
考点四 运动分解中的两类实例模型
小船渡河问题
1．小船渡河问题的分析思路
2．小船渡河的两类问题、三种情景
绳(杆)端速度分解模型
(1)模型特点：绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型．
(2)模型分析
①合运动→绳拉物体的实际运动速度v
②分运动→eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(其一：沿绳（或杆）的分速度v1,其二：与绳（或杆）垂直的分速度v2))
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见实例如下：
(4)解题思路
高频考点一 曲线运动的动力学分析
例1、双人滑运动员在光滑的水平冰面上做表演，甲运动员给乙运动员一个水平恒力F，乙运动员在冰面上完成了一段优美的弧线MN.vM与vN正好成90°角，则此过程中，乙运动员受到甲运动员的恒力可能是图中的( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
【答案】 C
【解析】 根据图示物体由M向N做曲线运动，物体在vM方向的速度减小，同时在vN方向的速度增大，故合外力的方向指向F2方向下方，故F3的方向可能是正确的，C正确，A、B、D错误．
【变式训练】图示为质点做匀变速运动的轨迹示意图，质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好垂直。则质点从A点运动到E点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. 质点经过C点的速率比D点大
B. 质点经过A点时的动能小于经过D点时的动能
C. 质点经过D点时的加速度比B点的加速度大
D. 质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小
【答案】AD
【解析】质点运动到D点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，速度沿D点轨迹的切线方向，则知加速度斜向左上方，合外力也斜向左上方，质点做匀变速曲线运动，合外力恒定不变，质点由A到D过程中，合外力做负功，由动能定理可得，C点的速度比D点速度大，质点经过A点时的动能大于经过D点时的动能，故A正确，B错误；质点做匀变速曲线运动，则有加速度不变，所以质点经过D点时的加速度与B点相同，故C错误；质点从B到E过程中加速度方向与速度方向的夹角一直减小，故D正确。所以AD正确，BC错误。
高频考点二 运动的合成与分解
例2、质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度为5 m/s B．质点所受的合外力为3 N，做匀加速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s D．2 s内质点的位移大小约为12 m
【答案】ABD
【解析】.由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4 m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A选项正确；受到的合外力为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B选项正确；2 s末质点速度应该为v＝eq \r(62＋42) m/s＝2eq \r(13) m/s，C选项错误；2 s内x方向上位移大小x＝vxt＋eq \f(1,2)at2＝9 m，y方向上位移大小y＝8 m，合位移大小l＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(145) m≈12 m，D选项正确．
【变式训练】如图，图甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上运动，其v-t图象如图乙所示．人顶杆沿水平地面运动的s-t图象如图丙所示．若以地面为参考系，下列说法中正确的是（ ）
A．猴子的运动轨迹为直线 B．猴子在2s内做匀变速曲线运动
C．t=0时猴子的速度大小为8m/s D．t=2s时猴子的加速度为4m/s2
【答案】BD
【解析】竖直方向为初速度、加速度的匀减速直线运动，水平方向为速度的匀速直线运动，初速度大小为，方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，故选项B正确，选项A错误；t=2s时，，则合加速度为，选项C错误，选项D正确。
高频考点四 运动分解中的两类实例模型
小船渡河问题
例3、小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s.
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
【答案】见解析
【解析】(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动．因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝eq \f(d,v船)＝eq \f(200,4) s＝50 s
小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m
即船将在正对岸下游100 m处靠岸．
(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cs θ＝eq \f(v水,v船)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，故θ＝60°
即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t＝eq \f(d,v)＝eq \f(200,4sin 60°) s＝eq \f(100\r(3),3) s.
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示．船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的时间为t＝eq \f(d,v船sin θ).当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s.
(4)因为v船＝3 m/s则cs θ＝eq \f(v船,v水)＝eq \f(3,5)，故船头与上游河岸的夹角θ＝53°
又eq \f(x′,d)＝eq \f(v,v船)＝eq \f(\r(veq \\al(2,水)－veq \\al(2,船)),v船)，代入数据解得x′≈267 m.
【变式训练】(多选)船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速与船离河岸的距
离的变化关系如图乙所示，则( )
A．船渡河的最短时间60 s
B．要使船以最短时间渡河，船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直
C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】BD
【解析】当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，由乙图可知河宽为d＝300 m，t＝eq \f(d,v1)＝100 s，故A错误，B正确．由于随水流方向的分速度不断变化，故合速度的大小和方向也不断变化，船做曲线运动，故C错误；当河水的流速取最大值4 m/s时，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝eq \r(32＋42) m/s＝5 m/s，故D正确．
绳(杆)端速度分解模型
例4、如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则( )
A．vA＞vB B．vA＜vB C．绳的拉力等于B的重力 D．绳的拉力大于B的重力
【答案】 AD
【解析】小车A向左运动的过程中，小车的速度是合速度，可分解为沿绳方向与垂直于绳方向的速度，如图所示，由图可知vB＝vAcs θ，则vB＜vA，小车向左运动的过程中θ角减小，vB增大，B向上做加速运动，故绳的拉力大于B的重力．故选项A、D正确．
【变式训练】如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为( )
A．vsin θ B．vcs θ C．vtan θ D.eq \f(v,tan θ)
【答案】A
【解析】由题意可知，悬线与光盘交点参与两个运动，一是沿着悬线方向的运动，二是垂直悬线方向的运动，则合运动的速度大小为v，由数学三角函数关系，则有v线＝vsin θ；而悬线速度的大小，即为小球上升的速度大小，故A正确．
近5年考情分析
考点要求
等级要求
考题统计
2022
2021
2020
2019
2018
曲线运动、运动的合成与分解
Ⅱ
Ⅱ卷·T19
平抛运动
Ⅱ
山东卷·T11
广东卷·T3
广东卷·T6
山东卷·T11
山东卷·T16
浙江1月卷·T9
河北卷·T2
Ⅱ卷·T16
山东卷·T16
浙江1月卷·T5
江苏卷·T8
Ⅱ卷·T19
圆周运动
Ⅱ
甲卷·T14
山东卷·T8
广东卷·T4
全国甲卷·T15
湖北卷·T9
浙江6月卷·T7
卷Ⅰ·T16
浙江7月卷·T2
浙江4月卷·T11
实验五：研究平抛物体的运动
浙江1月卷·T17
全国乙卷·T22
浙江4月卷·T17
核心素养
物理观念:
1.运动的合成与分解2.平抛运动规律3.圆周运动的运动学和动力学特征
科学思维:
1.绳或杆关联物体速度分解2.平抛运动的临界问题3.圆周运动的动力学分析
科学态度与责任：
1.抛体运动、圆周运动在生活、体育中的应用
命题规律
1.试题贴近生活中的曲线运动，如汽车过弯道、拱桥、速滑、投弹、过山车等等.
2.几种特色运动的分析，小船过河、绳(杆)端速度分解、平抛、斜抛、斜面抛、类平抛、竖直平面内圆周运动及临界、平面圆周运动、圆锥摆运动及临界，等等。
备考策略
1牢记基本概念，熟练基本方法，把握常见模型，积累特殊方法技巧的应用.
2.深刻体会应用运动的合成与分解解决问题的思想，形成解决平抛运动与圆周运动的思路，尽可能多地分析曲线运动在现实生活中的应用问题。
等时性
各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等
独立性
一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的影响
等效性
各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果
两个互成角度的分运动
合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
渡河时间最短
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝eq \f(d,v船)
渡河位移最短
如果v船>v水，当船头方向与上游夹角θ满足v船cs θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v船情景图示
(注：A沿斜
面下滑)
分解图示
定量结论
vB＝vAcs θ
vAcs θ＝v0
vAcs α＝
vBcs β
vBsin α＝
vAcs α
基本思路
确定合速度(物体实际运动)→分析运动规律→确定分速度方向→平行四边形定则求解