【备战2023高考】物理总复习——专题4.3《圆周运动》讲义（新教材新高考通用）

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1.物理观念：圆周运动、向心力、向心加速度、线速度、角速度。
（1）熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。
（2）掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法。
2.科学思维：水平、竖直平面圆周运动模型。
会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法，掌握圆锥摆模型绳（杆）及轨道模型。
3.科学态度与责任：离心现象与行车安全。
能用圆周运动的知识解决以生活中的实际问题为背景的问题，体会物理学的应用价值感受物理学的学科魅力。
【讲考点题型】
【知识点一】 描述圆周运动的物理量
1.描述圆周运动的物理量
总结提升：圆周运动各物理量间的关系
2.匀速圆周运动
（1）定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动就是匀速圆周运动.
（2）特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动.
（3）条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心.
【方法总结】
在分析传动装置的各物理量时，要抓住不等量与等量之间的关系．分析此类问题有两个关键点：一是同一轮轴上的各点角速度相同；二是皮带不打滑时，与皮带接触的各点线速度大小相同．抓住这两点．然后根据描述圆周运动的各物理量之间的关系就不难得出正确的结论．
【例1】（2022·四川·宜宾市教科所模拟预测）某机器的齿轮系统如图所示，中间的轮叫做太阳轮，它是主动轮。从动轮称为行星轮，主动轮、行星轮与最外面的大轮彼此密切啮合在一起，如果太阳轮一周的齿数为n1，行星轮一周的齿数为n2，当太阳轮转动的角速度为ω时，最外面的大轮转动的角速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】 A
【解析】
主动轮、行星轮与大轮分别用A、B、C表示，由图可知，A与B为齿轮传动，所以线速度大小相等，B与C也是齿轮传动，线速度也相等，所以A与B、C的线速度是相等的，则有
解得
由图可知
A、B与C的线速度相同，得
联立可得
故选A。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念。要求考生能正确运用圆周运动的规律解决实际运动学问题。
【变式训练1】（多选）（2022·安徽省定远县第三中学模拟预测）轮轴机械是中国古代制陶的主要工具。如图所示，轮轴可绕共同轴线O自由转动，其轮半径，轴半径，用轻质绳缠绕在轮和轴上，分别在绳的下端吊起质量为2kg、1kg的物块P和Q，将两物块由静止释放，释放后两物块均做初速度为0的匀加速直线运动，不计轮轴的质量及轴线O处的摩擦，重力加速度g取。在P从静止下降的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．P、Q速度大小始终相等
B．Q上升的距离为
C．P下降时Q的速度大小为
D．P下降时的速度大小为
【答案】 BD
【解析】
A．由题意知，轮半径，轴半径，根据线速度与角速度关系可知
故A项错误；
B．在P从静止下降的过程中，由题意得，
解得
故B项正确；
CD．根据机械能守恒得
由A项和B项知
解得
所以C项错误，D项正确。
故选BD。
【必备知识】1.对an＝eq \f(v2,r)＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比.
2.常见的传动方式及特点
（1）皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
（2）摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.
（3）同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比.
【知识点二】圆周运动的动力学问题
1.匀速圆周运动的向心力
（1）作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小.
（2）大小
Fn＝meq \f(v2,r)＝mrω2＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv.
（3）方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力.
（4）来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.
2.离心运动和近心运动
（1）离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动.
（2）受力特点（如图）
①当F＝0时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动.
②当0③当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动.
（3）本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.
【方法总结】解决圆周运动问题的思路
【例2】（多选）（2022·辽宁·模拟预测）如图所示，一轻质橡皮筋的一端系在竖直放置的半径为的圆环顶点，另一端系一质量为的小球，小球穿在圆环上可做无摩擦的运动。设开始时小球置于A点，橡皮筋处于刚好无形变状态，已知橡皮筋的弹力随伸长而增大，但并不成正比。A点与圆心位于同一水平线上，当小球运动到最低点时速率为，此时小球对圆环恰好没有压力（取）。下列说法正确的是（ ）
A．从A到的过程中，小球的机械能守恒
B．从A到的过程中，橡皮筋的弹性势能增加了
C．小球过点时，橡皮筋上的弹力为
D．小球过点时，橡皮筋上的弹力为
【答案】 BD
【解析】
A．对小球来说，由于橡皮筋的弹力对小球做功，所以小球的机械能不守恒，故A错误；
B．根据小球和橡皮筋系统机械能守恒
代入数据解得
即从A到的过程中，橡皮筋的弹性势能增加了
故B正确；
CD．小球在最低点，不受圆环的弹力，故弹簧的弹力和重力一起充当向心力，故有
代入数据解得
故C错误D正确。
故选BD。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生对小球准确的受力分析、运动分析并能应用圆周运动的规律分析水平面内圆周运动。
【变式训练2】（2022·江苏连云港·模拟预测）如图所示，一水平轻杆一端固定在竖直细杆上的O点。一轻质弹性绳上端固定在杆顶端A点，另一端穿过一固定在B点的光滑小环与套在水平杆上的小球连接，OB间距离l0=0.6m。弹性绳满足胡克定律，原长等于AB距离，劲度系数k=10N/m，且始终不超过弹性限度。小球质量m=1.8kg，与水平杆间的摩擦因数µ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。小球静止在M点，OM间距离l1=0.45m。已知弹性绳的弹性势能表达式为，其中x为弹性绳的形变量。不计其它阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）小球静止在M点时受到的摩擦力大小；
（2）整个装置以竖直杆为轴匀速转动，小球始终位于P点，OP间距离l2=0.6m，求转动角速度的最大值；
（3）装置绕竖直杆由静止缓慢加速转动，使小球由M点缓慢移动到N点，ON间距离l3=0.8m，求该过程中外力对装置所做的功。
【答案】 （1）4.5N；（2）rad/s；（3）9.8875J
【解析】
小球在M点，的正切为
则
所以弹力
最大静摩擦力
带入数据得
由于
所以
（2）小球在P点，弹力
设弹簧与水平杆夹角为α，由几何关系可知
小球受到的支持力为
最大静摩擦力
所以
最大静摩擦力恒定，由题意得
带入数据得
（3）小球在N点，弹力
设弹簧与水平杆夹角为β，由几何关系可知
由题意得
带入数据得
克服弹簧弹力做功
克服摩擦力做功为
由动能定理
可得由M到N的过程中外力对装置所做的功
【必备知识】匀速圆周运动的实例分析
【知识点三】水平面内圆周运动
三种临界情况
（1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力FN＝0.
（2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值．
（3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是FT＝0.
【方法总结】处理临界问题的解题步骤
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
【例3】（2021·北京·高考真题）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动，圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动，小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B．圆盘停止转动前，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为
C．圆盘停止转动后，小物体沿圆盘半径方向运动
D．圆盘停止转动后，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为
【答案】 D
【解析】
A．圆盘停止转动前，小物体随圆盘一起转动，小物体所受摩擦力提供向心力，方向沿半径方向，故A错误；
B．圆盘停止转动前，小物体所受摩擦力
根据动量定理得，小物体运动一圈所受摩擦力的冲量为
大小为0，故B错误；
C．圆盘停止转动后，小物体沿切线方向运动，故C错误；
D．圆盘停止转动后，根据动量定理可知，小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量为
大小为，故D正确。
故选D。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能分析物体的受力和运动并能根据物体所处的临界状态建立方程。
【变式训练3】（2022·山西太原·二模）随着北京冬奥会的举办，全国各地掀起了冰雪运动的热潮。如图所示，某“雪地转转”的水平转杆长为2L，可绕过其中点O的竖直轴转动，杆距雪面高为L，杆的端点A通过长度为L的细绳系着位于水平雪地的轮胎。为方便观测，在杆上距转轴L的B点通过长度为L细线系一个小“冰墩墩”。某次游戏时，游客坐在轮胎上（可视为质点），在转杆带动下在雪地中快速旋转，观测到系冰墩墩的细线偏离竖直方向的夹角为9°。已知游客和轮胎的总质量为M，不考虑空气阻力及轮胎受到雪地的摩擦阻力，取sin9°=tan9°=0.16，重力加速度为g，求：
（1）转杆转动的角速度；
（2）地面对轮胎弹力的大小。
【答案】 （1）；（2）
【解析】
（1）设转杆转动的角速度为，冰墩墩的质量为m、转动半径为，细线拉力大小为
解得
（2）设绳与水平面间夹角为，由几何关系得
设轮胎转动半径为，细绳的拉力大小为，地面对轮胎支持力大小为，则
解得
【知识点四】竖直面内的圆周运动
模型一 拱桥、凹桥模型
【例4】（2022·北京·和平街第一中学模拟预测）下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A．如图A所示，汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态
B．如图B所示，火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对轮缘会有挤压作用
C．如图C所示，轻质细绳长为l，一端固定一个小球，绕另一端O点在竖直面内做圆周运动，在最高点小球的最小速度应大于
D．如图D所示，脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出
【答案】 B
【解析】
A．如图A所示，汽车通过凹形桥的最低点时，具有向上的加速度，则处于超重状态，故A错误；
B．如图B所示，火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，外轨受到挤压，故B正确；
C．如图C所示，在最高点，当小球的重力刚满足向心力要求时，此时小球的速度最小为，故C错误；
D．如图D所示，水滴和衣服间的作用力不足以提供水滴做圆周运动的向心力，水滴做离心运动，故D错误。
故选B。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维中的构建物理模型的思维方法。
【变式训练4】（2022·辽宁·模拟预测）如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示。在竖直面内固定的强磁性圆轨道半径，、两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，圆轨道对质点的强磁性引力始终指向圆心且大小恒为。质点从点由静止释放，通过点时对轨道的压力为其重力的5倍。质点以不同速度通过点时，对轨道的压力与其速度的平方的关系图像如图丙所示，不计摩擦和空气阻力，质点质量，重力加速度，求：
（1）圆轨道对质点的强磁性引力的大小。
（2）图丙中横、纵坐标上的截距、的值大小。
【答案】 （1）；（2），
【解析】
（1）质点从点运动到点的过程，根据动能定理可得
质点通过点时．根据牛顿第二定律可得
且
联立解得
（2）质点通过点时，根据牛顿第二定律可得
代入数据可得
当时，可得
结合图丙可知
当时，可得
结合图丙可知
模型二 竖直面内圆周运动两类模型
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“轻绳模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“轻杆模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
【方法总结】处理临界问题的解题步骤
1．判断临界状态：有些题目中有“刚好”恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态；若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。
2．确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。
3．选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，对于不同的运动过程或现象，要分别选择相对应的物理规律，然后再列方程求解。
【例5】（多选）（2022·重庆·模拟预测）如图所示，光滑水平面MA上有一轻质弹簧，弹簧一端固定在竖直墙壁上，弹簧原长小于MA。A点右侧有一匀速运动的水平传送带AB，传送带长度lAB=2m，速度v0=5m/s。一半径为R=0.5m的光滑半圆轨道BCD在B点与传送带相切，轨道圆心为O，OC水平。现用一质量为m=2kg的物块（可看做质点）压缩弹簧，使得弹簧的弹性势能为Ep=16J。由静止释物块，已知物块与传送带之间的动摩擦因数为μ=0.3，g取10m/s2关于物块的运动，下列说法正确的是（ ）
A．物块不能运动到半圆轨道最高点D
B．物块运动到B点的速度为
C．物块运动到C点时对轨道的压力为60 N
D．若传送带速度变为v=2m/s，物块在B点右侧不会脱离轨道
【答案】 CD
【解析】
AB．由题意知，物块到达A点的速度满足
解得
所以物块滑上传送带后做加速运动，且加速位移为
所以滑块在传送带上先加速后匀速，到达B点的速度与传送带速度相同，即为
设滑块恰好可以运动到半圆轨道最高点D，则在最高点满足
解得
从B到D由动能定理得
求得B点最小速度为
所以物块恰好能运动到半圆轨道最高点D，故AB错误；
C．从B到C由动能定理得
在C点受力分析得
联立解得
由牛顿第三定律可知物块运动到C点时对轨道的压力为60 N，故C正确；
D．若传送带速度变为v=2m/s，则可知滑块滑上传送带后先做减速运动，且减速到时的位移为
即滑块恰好减速到B点和传送带共速，设物块恰好可以到达C点时对应的B点速度为v1，则从B到C由机械能守恒可得
解得
即滑块在B点的速度为时，在到达C点之前已经减速为零，则可知传送带速度变为v=2m/s时，物块在B点右侧不会脱离轨道，故D正确。
故选CD。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维及物理观念。
【方法点拨】分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
【变式训练5】（2022·浙江·高三专题练习）如图甲所示是一款名为“反重力”磁性轨道车的玩具，轨道和小车都装有磁条，轨道造型可以自由调节，小车内装有发条，可储存一定弹性势能。图乙所示是小明同学搭建的轨道的简化示意图，它由水平直轨道AB、竖直圆轨道BCD、水平直轨道DM和两个四分之一圆轨道MN与NP平滑连接而组成，圆轨道MN的圆心与圆轨道NP的圆心位于同一高度。已知小车的质量m=50g，直轨道AB长度L=0.5m，小车在轨道上运动时受到的磁吸引力始终垂直轨道面，在轨道ABCDM段所受的磁力大小恒为其重力的0.5倍，在轨道MNP段所受的磁力大小恒为其重力的2.5倍，小车脱离轨道后磁力影响忽略不计。现小明将具有弹性势能的小车由A点静止释放，小车恰好能通过竖直圆轨道BCD，并最终从P点水平飞出。假设小车在轨道AB段运动时所受阻力大小等于轨道与小车间弹力的0.2倍，其余轨道均光滑，不计其他阻力，小车可视为质点，小车在到达B点前发条的弹性势能已经完全释放，重力加速度g取。
（1）求小车运动到B点时的速度大小；
（2）求小车运动到圆轨道B点时对轨道的压力大小；
（3）同时调节圆轨道MN与NP的半径r，其他条件不变，求小车落地点与P点的最大水平距离。
【答案】 （1）；（2）3N；（3）
【解析】
（1）小车由A运动至B过程，由能量关系可知
其中，代入数据得
（2）设小车在C点的速度为，恰好通过最高点，则
小车从B到C，由动能定理得
得
R=0.2m
在B点
得
由牛顿第三定律，小车运动至B点时对轨道压力大小为3N；
（3）小车从B到P，由动能定理得
小车从P点飞出后做平抛运动
得
当r=0.1125m时，小车落地点与P点的水平距离最大
小车从P点飞出，则
r<0.225m
但因为小车在N点
小车从B到N，由动能定理得
得
r≥0.2m
综合可知，当r=0.2m时，小车落点与P点水平距离最大：
定义、意义
公式、单位
线速度（v）
①描述圆周运动的物体运动快慢的物理量
②是矢量，方向和半径垂直，和圆周相切
①v＝eq \f(Δs,Δt)（定义式）＝eq \f(2πr,T)（与周期的关系）
②单位：m/s
角速度（ω）
①描述物体绕圆心转动快慢的物理量
②是矢量，但不研究其方向
①ω＝eq \f(Δθ,Δt)（定义式）＝eq \f(2π,T)（与周期的关系）
②单位：rad/s
③ω与v的关系：v＝ωr
周期（T）
转速（n）
频率（f）
①周期是物体沿圆周运动一周所用的时间，周期的倒数为频率
②转速是单位时间内物体转过的圈数
①T＝eq \f(2πr,v)＝eq \f(1,f)（与频率的关系）
②T的单位：s
n的单位：r/s、r/min
f的单位：Hz
向心加速度（an）
①描述线速度方向变化快慢的物理量
②方向指向圆心
①an＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝eq \f(4π2,T2)r＝ωv
②单位：m/s2
运动模型
向心力的来源图示
圆锥摆模型
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
飞车走壁
汽车在水平路面转弯
水平转台（光滑）
概述
如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝meq \f(v2,r)
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋meq \f(v2,r)＞mg，汽车处于超重状态
概述
如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝meq \f(v2,r)
规律
桥对车的支持力FN＝mg－meq \f(v2,r)＜mg，汽车处于失重状态．若v＝eq \r(gr)，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
轻绳模型
轻杆模型
实例
如球与绳连接、沿内轨道运动的球等
如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
图示
最高点无支撑
最高点有支撑
最
高
点
受力特征
重力、弹力，弹力方向向下或等于零
重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
受力示意图
力学特征
mg＋FN＝meq \f(v2,r)
mg±FN＝meq \f(v2,r)
临界特征
FN＝0，vmin＝eq \r(gr)
竖直向上的FN＝mg，v＝0
过最高点条件
v≥eq \r(gr)
v≥0
速度和
弹力关
系讨论
分析
①能过最高点时，v≥eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力为FN
②不能过最高点时，v①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
②当0③当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
④当v>eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大