高考数学一轮复习考点规范练27等比数列及其前n项和含解析人教版

这是一份高考数学一轮复习考点规范练27等比数列及其前n项和含解析人教版，共10页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
考点规范练27　等比数列及其前n项和一、基础巩固1.已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2等于(　　)A.2 B.1 C D答案:C解析:设等比数列{an}的公比为q,∵a3a5=4(a4-1),=4(a4-1),解得a4=2.又a4=a1q3,且a1=,∴q=2.∴a2=a1q=2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)A B.9 C.±9 D.35答案:B解析:∵a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,∴a2·a48=3.又a1·a49=a2·a48==3,且a25>0,∴a1·a2·a25·a48·a49==9故选B.3.(2021广东汕头一模)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a2a4=16,a4+a5=24,则数列{an}的通项公式为(　　)A.an=2n-1 B.an=2nC.an=3n D.an=3n-1答案:A解析:设等比数列{an}的公比为q.由题意可知,对任意的n∈N*,an>0,q>0.由等比中项的性质可得a2·a4==16,解得a3=4.所以a4+a5=a3(q+q2)=4(q+q2)=24,整理可得q2+q-6=0,解得q=2(负值舍去),所以an=a3qn-3=4×2n-3=2n-1.4.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,上一层的数量是下一层的2倍,总共有1 016个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案.若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an},则log2(a3·a5)的值为(　　)A.8 B.10 C.12 D.16答案:C解析:根据题意可知,最下层的“浮雕像”的数量为a1,且数列{an}为公比q=2的等比数列.由题意知数列{an}的前7项和S7==1016,解得a1=8,则an=8×2n-1=2n+2(1≤n≤7),于是a3=25,a5=27,从而a3·a5=25×27=212,可得log2(a3·a5)=log2212=12,故选C.5.(多选)已知数列{an}是等比数列,那么下列数列一定是等比数列的是(　　)A BC.{an+an+1} D.{an+an+1+an+2}答案:AD解析:当an=1时,log2=0,数列{log2}不一定是等比数列;当公比q=-1时,an+an+1=0,数列{an+an+1}不一定是等比数列;由等比数列的定义知数列和{an+an+1+an+2}都是等比数列.6.某公司为扩大产能,于2020年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该公司从2021年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清.若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该公司每年的偿还金额是(　　)A BC D答案:D解析:设每年偿还的金额为x,根据题意可得,a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,即a(1+p)m=x,解得x=7.若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=　　　　　. 答案:1解析:设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由题意知-1+3d=-q3=8,即解得故=1.8.(2021北京西城一模)在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=　　　　　;若an>1,则n的最大值为　　　　　. 答案:-　3解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q==-,所以a1+a3=a1+a1q2=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8所以当n为偶数时,an<0;当n为奇数时,an=8=8=24-n>0.要使an>1,需4-n>0且n为奇数,即n<4且n为奇数,所以n=1或n=3.9.已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;(3)求数列{an}的通项公式.解:(1)由题意可得an+1=an.将n=1代入,得a2=4a1,而a1=1,得a2=4.将n=2代入,得a3=3a2,得a3=12.由于bn=,则b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下:由题意可得,即bn+1=2bn,又b1=1,所以数列{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得=2n-1,故an=n·2n-1.10.已知数列{an}是公差为3的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解:(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2.即数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn,得bn+1=,因此数列{bn}是首项为1,公比为的等比数列.设数列{bn}的前n项和为Sn,则Sn=二、综合应用11.(多选)(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.连接嵌套的各个正方形的顶点就可得到近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF……),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2……),则下列结论正确的有(　　)A.数列{an}是公比为的等比数列B.S1=C.数列{Sn}是公比为的等比数列D.数列{Sn}的前n项和Tn<答案:BD解析:如图,由图知an=an+1(sin15°+cos15°)=an+1sin(15°+45°)=an+1.对于A,因为an=an+1,所以,即数列{an}是公比为的等比数列,故A不正确;对于B和C,因为an=1,所以Sn=n-1-n=,所以数列{Sn}是首项为,公比为的等比数列,故B正确,C不正确;对于D,因为Tn=1-n,所以Tn<,故D正确.12.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,则p+q的值等于(　　)A.6 B.7 C.8 D.9答案:D解析:∵a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,∴a+b=p,ab=q.∵p>0,q>0,∴a>0,b>0.又a,b,-2这三个数可通过适当排序后成等差数列,也可通过适当排序后成等比数列,或解①得解②得∴p=a+b=5,q=1×4=4.∴p+q=9.故选D.13.(多选)已知数列{an}是等比数列,则下列说法中正确的是(　　)A.数列{}是等比数列B.若a3=2,a7=32,则a5=±8C.若a1<a2<a3,则数列{an}是递增数列D.若数列{an}的前n项和Sn=3n-1+r,则r=-1答案:AC解析:由于数列{an}是等比数列,则q2n-2,可得=q2是常数,即数列{}是等比数列,故A正确;若a3=2,a7=32,则a5==8,故B错误;若0<a1<a2<a3,则q>1,数列{an}是递增数列;若a1<a2<a3<0,则0<q<1,数列{an}是递增数列,故C正确;若数列{an}的前n和Sn=3n-1+r,则a1=S1=1+r,a2=S2-S1=(3+r)-(1+r)=2,a3=S3-S2=(9+r)-(3+r)=6,由于a1,a2,a3成等比数列,则=a1a3,即4=6(1+r),解得r=-,故D错误.14.已知数列{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=　　　　　,a4的最大值为　　　　　. 答案:5　解析:因为{an}是等比数列,a2a4+2a3a5+a4a6=25,所以+2a3a5+=25,即=25,因为an>0,所以a3+a5=5,故a3+a5≥2=2a4,即a415.已知等比数列{an}与等差数列{bn}满足a1=b1=1,a1≠a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列{an},{bn}的前n项和,若Sn+Tn>100,求n的最小值.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,等差数列{bn}的公差为d,则解得(舍)或故an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知Sn==2n-1,Tn=由Sn+Tn>100,得2n+>101.由于是递增数列,且26+=85<101,27+=156>101,故n的最小值为7.三、探究创新16.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　　. 答案:64解析:设等比数列{an}的公比为q.由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得,解得q=,a1=8,所以a1a2…an=8n,由于抛物线f(n)=-n2+n的对称轴为直线n=-=3.5,又n∈N*,所以当n=3或n=4时,a1a2…an取最大值为=26=64.17.(2021广东梅州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则+…+=　　　　　. 答案:502解析:数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则当n≥2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=an-1(n≥2).令n=1,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=所以数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,所以an=所以Sn==1-,从而=2n-1.所以+…+=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=-8=29-10=502.18.已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求证:数列{an+1+2an}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明:∵an+1=an+6an-1(n≥2),∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2).又a1=5,a2=5,∴a2+2a1=15,∴an+2an-1≠0(n≥2),=3(n≥2),∴数列{an+1+2an}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)解:由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,则an+1=-2an+5×3n,∴an+1-3n+1=-2(an-3n).又a1-3=2,∴an-3n≠0,∴数列{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.∴an-3n=2×(-2)n-1,即an=2×(-2)n-1+3n=3n-(-2)n.