2022届江西省上饶市第一中学高三5月模拟考试数学（理）试题含解析

这是一份2022届江西省上饶市第一中学高三5月模拟考试数学（理）试题含解析，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江西省上饶市第一中学2022届高三5月模拟考试
数学（理）试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（       ）
A． B．
C． D．
2．若复数的实部与虚部相等，则b的值为（       ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（       ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
4．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点为虚轴上的端点，若，则双曲线的离心率为（       ）
A． B． C． D．
5．已知a，，，则下列不等式中一定成立的是（       ）
A． B．
C． D．
6．宝鸡市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（       ）
A． B． C． D．
7．为践行"绿水青山就是金山银山”的发展理念，全国各地对生态环境的保护意识持续增强，某化工企业在生产中产生的废气需要通过过滤使废气中的污染物含量减少到不高于最初的20%才达到排放标准．已知在过滤过程中，废气中污染物含量y（单位：mg/L，）与时间t（单位：h）的关系式为（，k为正常数，表示污染物的初始含量），实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%．则该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为（       ）（结果四舍五入保留整数，参考数据）
A．12h B．16h C．26h D．33h
8．已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若，则（       ）
A．0 B．4 C． D．
9．正四面体中，E、F为AB、DC的中点，则异面直线AF与CE所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
10．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．或
11．已知，过点作圆（为参数，且）的两条切线分别切圆于点、，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
12．已知，若，则n的最大值为（       ）
A．9 B．10 C．11 D．12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则______．
14．实数、满足线性约束条件，则的最大值是______．
15．已知在三角形中，角等于，为边上靠近点的三等分点，若，则 ______．
16．已知某几何体的三视图如图所示（图中网格纸上小正方形边长为），则该几何体外接球的表面积为______．


三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答
17．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知数列的前项和为，数列是正项等比数列，且，，，___．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．如图，四棱锥中，底面是矩形，平面，，，点F是棱BC的中点．

(1)证明：；
(2)若PB与平面所成的角为45°，求二面角的大小．
19．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表．
消费金额（千元）






人数
30
50
60
20
30
10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；
②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差．
参考数据：；若随机变量，则，，．
20．已知椭圆的短轴长等于，离心率．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过左焦点F作直线l，与椭圆C交于A，B两点，判断是否为定值．若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由．
21．已知函数.
(1)若是的一个零点，求曲线在处的切线方程；
(2)若当时恒成立，求的最小整数值（参考数据：）
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，圆的极坐标方程.
(1)求圆的极坐标方程；
(2)直线：与圆的异于极点的交点为，与圆的异于极点的交点为，求的最大值.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
(1)画出的图象；

(2)若，求实数t的取值范围.

参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由得：，即；
由，得：，即，，
.
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
先利用复数乘法公式得到，进而得到，从而得解.
【详解】
，因为实部与虚部相等，故，解得：.
故选：C.
3．A
【解析】
【分析】
根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.
【详解】
因为数列为等比数列，且，，若，则，
则是、的等比中项，即；
若是、的等比中项，设的公比为，则，
因为，故，即.
因此，是的充要条件.
故选：A.
4．D
【解析】
【分析】
设点，由已知可得，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于、、的齐次等式，即可求得该双曲线的离心率的值.
【详解】
设点，易知点、，
，，由已知，即，
所以，，，解得.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
利用作差法逐一判断符号即可求解.
【详解】
对于A：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项A错误；
对于B：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项B错误；
对于C：，
因为，所以，，，
所以一定成立，即选项C正确；
对于D：，
因为，所以，，但的正负不确定，
所以不一定成立，即选项D错误.
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
对4个垃圾桶编号，4袋垃圾编号，利用列举法结合古典概率公式计算作答.
【详解】
记“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”的垃圾桶分别为1，2，3，4，
小陈提的“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”分别为a，b，c，d，
每桶投一袋的不同投法有：
(a1，b2，c3，d4)，(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b3，c4，d2)，(a1，b4，c3，d2)，(a1，b4，c2，d3)，
(a2，b1，c3，d4)，(a2，b1，c4，d3)，(a2，b3，c1，d4)，(a2，b3，c4，d1)，(a2，b4，c3，d1)，(a2，b4，c1，d3)，
(a3，b1，c2，d4)，(a3，b1，c4，d2)，(a3，b2，c1，d4)，(a3，b2，c4，d1)，(a3，b4，c1，d2)，(a3，b4，c2，d1)，
(a4，b1，c3，d2)，(a4，b1，c2，d3)，(a4，b2，c3，d1)，(a4，b2，c1，d3)，(a4，b3，c1，d2)，(a4，b3，c2，d1)，共24个，它们等可能，
恰好有两袋垃圾投对的事件A有：
(a1，b2，c4，d3)，(a1，b3，c2，d4)，(a1，b4，c3，d2)，(a2，b1，c3，d4)，(a3，b2，c1，d4)，(a4，b2，c3，d1)，共6个，
所以恰好有两袋垃圾投对的概率为.
故选：D
7．B
【解析】
【分析】
利用函数关系式，结合条件可求出常数k的值，然后结合排放标准即可求出结论．
【详解】
由题意，实验发现废气经过5h的过滤，其中的污染物被消除了40%，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
当时，，
即，
∴,
即该企业生产中产生的废气要达标排放需要经过的过滤时间至少约为16h.
故选：B.
8．B
【解析】
【分析】
设对称中心为，先求二阶导数零点可得，由可解出，最后由，可得，可得结果
【详解】
由题，，故二阶导函数的零点为，即对称中心的横坐标为1，
设对称中心为，则，可解得，
由，故，
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
由异面直线夹角的定义作出异面直线AF与CE的夹角，解三角形求其大小.
【详解】
如图，取的中点，连接，
则，，，，
所以(或其补角)为异面直线AF与CE的夹角，
设，则，
所以，
又，所以，
所以，
又
，
所以，即
所以
即，所以，
所以，
所以异面直线AF与CE所成角的余弦值为.
故选：B.

10．C
【解析】
【分析】
根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由在上单调递增知，，
所以，
故选：C
11．C
【解析】
【分析】
分析可知圆心在直线上运动，设，则，求得，利用弦化切可得出，求出的取值范围，结合双勾函数的单调性可求得的最大值.
【详解】
圆心，半径为，圆心在直线上运动，
设，则，由圆的几何性质可知，
所以，，
当直线与直线垂直时，取最小值，则取最小值，
且，则，则，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为增函数，且，
故函数在上为减函数，
故当时，取得最大值.
故选：C.
12．B
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式依次求，，，即可.
【详解】
因为当时，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，则n的最大值为10，
故选：B.
13．13
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算可知，再由垂直向量的坐标运算，可知，进而求出，利用平面向量模的运算公式，即可求出结果.
【详解】
因为，，所以，，
又，所以，即，解得，
所以，所以.
故答案为：.
14．
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，
平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，
此时取最大值，即.
故答案为：.
15．##
【解析】
【分析】
作，垂足为点，设，计算出三边边长，结合余弦定理和同角三角函数的基本关系可求得结果.
【详解】
作，垂足为点，因为，则，则，

设，则，则，且，
所以，，，
由余弦定理可得，则为锐角，
因此，.
故答案为：.
16．
【解析】
【分析】
由三视图还原原几何体的直观图，可知几何体为三棱锥，以、为邻边作正方形，连接，可知四棱锥为正四棱锥，则三棱锥的外接球球心在线段上，设出球的半径为，根据几何关系可得出关于的等式，解出的值，利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】
由三视图还原原几何体的直观图，可知几何体为三棱锥，
且为等腰直角三角形，，

以、为邻边作正方形，连接，
由图可知点在底面内的射影为正方形的中心，且，
四棱锥为正四棱锥，易知三棱锥的外接球球心在线段上，
设球的半径为，则，且，
所以，，解得，因此，球的表面积为.
故答案为：.
17.(1)，
(2)
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用等差数列、等比数列的通项公式及等差数列的定义求出数列和的基本量，即可得解；
（2）先由（1）求出数列的通项公式，再根据通项公式的结构特征利用错位相减法求和．
(1)
选①．
设数列的公比为，由，得，
则，得．
由知数列为等差数列，
设等差数列的公差为，由，，
得，，，
所以，，
故数列和的通项公式分别为，．
选②．
由知数列为等差数列，
设数列的公差为，数列的公比为，
由，，，
得，，，
，得，，，
故数列和的通项公式分别为，．
选③．
设数列的公比为，
由，得，则．
由知数列为等差数列，设等差数列的公差为，
由，，得，
，，所以，，
故数列和的通项公式分别为，．
(2)
由（1）知，
所以①，
②．
①-②得
，
所以．
18．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理逆定理证得，再利用线面垂直的判定、性质推理作答.
（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.
(1)
因F是矩形ABCD边BC中点，，有，，则，
又平面ABCD，平面ABCD，则，而，平面，
因此平面，平面，所以.
(2)
由（1）知，直线AB，AD，AP两两垂直，
以点A为原点，射线AB，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

因为平面ABCD，则是PB与平面ABCD所成的角，即，有，
则．，
设平面PFC的法向量为，则，令，得，
由（1）知，平面PAF的法向量为，，
则，
显然二面角的平面角为钝角，所以二面角的大小为．
19．(1)分布列见解析，
(2)①0.8；②
【解析】
【分析】
（1）由已知频数统计表，得出频率，从而可得抽取的5人在两个区间的人数，得出的可能值为，计算出概率得分布列，然后由期望公式计算期望；
（2）①由频数分布表得各概率，计算出平均值和标准差，再由正态分布的概率性质求得概率发；②由二项分布的方差公式计算方差．
(1)
由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，设消费金额为的人数为X，则，
所以，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P



；
(2)
①由题意得，
，
所以，
所以．
②由题意及①得，，，所以．
20．(1)
(2)是定值，定值为
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出的方程组，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）当直线斜率不为0时,联立直线与椭圆方程，利用设而不求法求，完成证明，再验证斜率为0是否也为定值即可.
(1)
由椭圆的短轴长等于，离心率．
可得，解得，，，所以椭圆的方程为．
(2)
由椭圆的方程，可得左焦点，
（i）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，
联立方程组，整理得，

设，       所以，，
所以
，
（ⅱ）当直线l的斜率不为0时，此时，
综上所述，．
【点睛】
设而不求法是解决直线与椭圆的综合问题的常用方法，本题需就直线的斜率是否为0，分情况讨论.
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由可求得，利用导数集合意义可求得切线斜率，结合可得切线方程；
（2）将恒成立的不等式转化为，知，利用导数，结合零点存在定理可求得，其中；将代入中可化简得到，令，由二次函数值域的求法及可求得的范围，进而得到结果.
(1)
由题意知：，解得：，，
，则，又，
所求切线方程为：.
(2)
当时，恒成立，则，即；
令，则，
令，则，
在上单调递减，又，，
，使得，则，
则当时，，即；当时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
，
令，，则在上单调递增，；
又，，又，
的最小整数值为.
【点睛】
思路点睛：本题考查导数的几何意义、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的基本思路是通过分离变量的方式，将问题转化为或的形式，由或求得结果.
22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程.
（2）求出，，表示出，即可求出最值.
(1)
解：因为圆的参数方程为（为参数），
所以圆的普通方程为，即，
将，代入，
所以圆的极坐标方程为.
(2)
由，解得，
由，解得，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，最大值为.
23．(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先将绝对值去掉，化为分段函数，画出函数图象；（2）在第一问的基础上，把的图象与的图象画在同一平面直角坐标系中，数形结合求出答案.
(1)
由题得，
则的图象如下：

(2)
在同一坐标系中画出与的图象，如图，

可得，
当点A在的图象上时，代入点，
可得，解得或（舍去），
当点在的图象上时，
可得，解得，
数形结合可得或，
即实数t的取值范围是.