2023届江西省名校联考新高三7月第一次摸底考试-数学（理）word版含答案

  江西省2023届新高三第一次摸底考试

数学理科

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知a，，i为虚数单位，则“复数是虚数但不是纯虚数”是“”（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 函数在上的值域为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若函数在上存在零点，则（    ）

A. 或 B. 或 C.  D.

5. 设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若x，y满足不等式组，则下列目标函数中在点处取得最小值为（    ）

A.  B.

C  D.

7. 从1，2，…，6这六个数字中随机抽取2个不同的数字，记事件“恰好抽取的是2，4”，“恰好抽取的是4，5”，“抽取的数字里含有4”．则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 1750年，欧拉在给哥德巴赫一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则（    ）

A. 50 B. 52 C. 60 D. 62

9. 已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（    ）

A.  B.  C. 2 D.

10. 某数学爱好者以函数图象组合如图“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，若a，，c依次成等比数列，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知数列的前n项和为，且满足，，则（    ）

A. 0 B.  C. l D.

12. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 若展开式中第4项的二项式系数和系数分别为p，q，则________．

14. 已知圆台的上、下底面半径分别为，若该圆台的表面积为，母线长为2，且，则________．

15. 在中，，，，若，则与夹角的大小为________．

16. 在中，，则________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 已知数列和的项均为正整数，前n项和分别为，且．

（1）求和的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

18. 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，D为上靠近A的三等分点．

（1）若，求证：平面平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

19. 某学校举行“百科知识”竞赛，分两轮进行，第一轮需要从给定5道题中选3道进行回答，答对一道得3分，答错一道扣1分，第二轮需要回答3道问题，答对一道得5分，答错不得分．选手甲在第一轮的5道题中只能答对其中2道，第二轮的3道题中答对任意一道的概率均为．假设选手甲两轮比赛的答题结果是相互独立的．

（1）求选手甲两轮比赛的得分相等的概率；

（2）记选手甲两轮比赛的得分分别为X和Y，试比较X，Y的数学期望的大小．

20. 已知抛物线，，是C上两个不同的点．

（1）求证：直线与C相切；

（2）若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．

21. 已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心为，半径为2．

（1）求l和C的极坐标方程；

（2）若l与C相交于，两点，求的值．

【选修4-5：不等式选讲】

23. 已知函数，不等式的解集为．

（1）求实数m的值；

（2）若正实数a，b满足，，证明：．