高考数学一轮复习考点规范练45双曲线含解析新人教版

这是一份高考数学一轮复习考点规范练45双曲线含解析新人教版，共10页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
考点规范练45　双曲线一、基础巩固1.设曲线C是双曲线,则“双曲线C的方程为x2-=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若双曲线C的方程为x2-=1,则渐近线方程为y=±2x;若渐近线方程为y=±2x,则双曲线C的方程为x2-=λ(λ≠0).所以“双曲线C的方程为x2-=1”是“双曲线C的渐近线方程为y=±2x”的充分不必要条件.故选A.2.在平面直角坐标系Oxy中,已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线,垂足为A,若△AFO的面积为1,则双曲线C的方程为(　　)A=1 B-y2=1C=1 D.x2-=1答案:D解析:因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|=b,|OA|=a,所以ab=2.又双曲线C的离心率为,所以,即b2=4a2,解得a2=1,b2=4.所以双曲线C的方程为x2-=1.故选D.3.已知离心率为的双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M为双曲线C的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若=16,则双曲线的实轴长是(　　)A.32 B.16 C.84 D.4答案:B解析:由题意知F2(c,0),不妨令点M在渐近线y=x上,由题意可知|F2M|==b,所以|OM|==a.由=16,可得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,,所以a=8,b=4,c=4,所以双曲线C的实轴长为16.故选B.4.(2021全国Ⅱ,理5)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为双曲线C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则双曲线C的离心率为(　　)A B C D答案:A解析:不妨设|PF2|=1,则|PF1|=3,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=7,所以2c=|F1F2|=,所以c=由双曲线的定义,可知2a=|PF1|-|PF2|=2,所以a=1.所以离心率e=5.已知双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线的离心率为e,若双曲线上存在一点P使=e,则的值为(　　)A.3 B.2 C.-3 D.-2答案:B解析:由题意及正弦定理得=e=2,∴|PF1|=2|PF2|.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2.又|F1F2|=4,由余弦定理可知cos∠PF2F1=,=||·||·cos∠PF2F1=2×4=2.故选B.6.(2021河北唐山二模)已知F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线C右支上一点,且位于x轴上方,B为渐近线上一点,O为坐标原点.若四边形OFAB为菱形,则双曲线C的离心率e=(　　)A.2 B.3 C D+1答案:D解析:依题意,双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点F为(c,0),渐近线方程为y=±x.因为四边形OFAB为菱形,点A在双曲线C的右支上,且在x轴上方,点B在渐近线上,所以点B在渐近线y=-x上,|OB|=|AB|=|OF|=c.如图,设点Bx,-x,x<0,则|OB|==c,解得x=-a,可得点B(-a,b).因为AB∥OF,所以点A的纵坐标为b,代入双曲线C的方程,可得点A(a,b).所以|AB|=a+a=c,所以e=+1.7.(2021新高考Ⅱ,13)若双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程为　　　　　. 答案:y=±x解析:由已知得e==2,即c=2a.又a2+b2=c2=4a2,所以b2=3a2,所以故此双曲线的渐近线方程为y=±x.8.如图,F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与圆x2+y2=a2(a>0)相切,切点为T,且交双曲线的右支于点P,若2,则双曲线C的离心率e=　　　　　. 答案:解析:如图,连接OT,PF2,则OT⊥PF1,过F2作F2Q∥OT,因为2,|OF1|=c,|OT|=a,所以|TF1|=|TQ|=|QP|=b,|QF2|=2a,|PF2|=|PF1|-2a=3b-2a.在Rt△PQF2中,(3b-2a)2=(2a)2+b2,整理得所以e=所以双曲线C的离心率e=9.分别求满足下列条件的方程:(1)焦点在x轴上,长轴长为10,焦距为4的椭圆的标准方程;(2)一个焦点为(-,0),渐近线方程为y=x的双曲线的标准方程.解:(1)因为椭圆的长轴长为10,所以a=5.由椭圆的焦距为4,可得c=2,则b=又焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为=1.(2)双曲线的一个焦点为(-,0),则c=又渐近线方程为y=x,所以又a2+b2=c2,所以a2=1,b2=2.所以双曲线的标准方程为x2-=1.10.已知双曲线C的离心率为,且过点(,0),过双曲线C的右焦点F2,作倾斜角为的直线交双曲线C于A,B两点,O为坐标原点.(1)求双曲线C的标准方程;(2)求△AOB的面积.解:(1)由题意可得,双曲线C的焦点在x轴上,且a=,b2=c2-a2,解得a2=3,b2=6,所以双曲线C的方程为=1.(2)由(1)可得F2(3,0),由题意可知直线方程为y=(x-3).设点A(x1,y1),B(x2,y2),由整理可得x2-18x+33=0,则有x1+x2=18,x1x2=33.可得y1-y2=[(x1-3)-(x2-3)]=(x1-x2),所以S△AOB=|OF2|·|y1-y2|=3=36.故△AOB的面积为36.二、综合应用11.(多选)(2021广东深圳一模)设F1,F2分别是双曲线C:=1的左、右焦点,且|F1F2|=4,则下列结论正确的有(　　)A.m=2B.当n=0时,双曲线C的离心率是2C.点F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D.当n=1时,双曲线C的实轴长是虚轴长的2倍答案:AC解析:对于A,由题意,可知a2=m+n,b2=m-n,所以c2=a2+b2=m+n+m-n=2m.因为2c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2.故A正确.对于B,当n=0时,双曲线C:=1,此时a=b=,c==2,所以离心率e=故B不正确.对于C,由已知得点F1(-2,0),渐近线方程为x±y=0,则点F1到渐近线的距离d=,所以d随着n的增大而减小.故C正确.对于D,当n=1时,a=,b==1,所以双曲线C的实轴长为2,虚轴长为2,此时实轴长不是虚轴长的2倍,故D不正确.12.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左、右顶点分别为M,N,点P在双曲线C的渐近线上,=0,∠MPN=60°,则双曲线C的渐近线方程为(　　)A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x答案:D解析:连接OP(图略),由=0,可得△PF1F2为直角三角形,故|OP|=|F1F2|=c.不妨设点P在渐近线y=x上,且在第一象限,在△OPN中,tan∠PON=,则cos∠PON=又|ON|=a,则|PN|2=|OP|2+|ON|2-2|OP|·|ON|·cos∠PON,解得|PN|=b.由|OP|2-|ON|2=|PN|2知PN⊥ON,即PN⊥MN.故在Rt△PMN中,tan∠MPN=,故故所求渐近线方程为y=±x.13.已知双曲线C1:=1(a>0,b>0),圆C2:x2+y2-2ax+a2=0,若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,则双曲线C1的离心率的取值范围是(　　)A.(1,) B.(,+∞)C.(1,2) D.(2,+∞)答案:A解析:由双曲线C1的方程可得渐近线方程为y=±x,即bx±ay=0,圆C2的标准方程为(x-a)2+y2=a2,圆心C2的坐标为(a,0),半径r=a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点,得a,即c>2b,即c2>4b2.又b2=c2-a2,所以c2>4(c2-a2),即c2<a2,所以e=又e>1,所以双曲线C1的离心率的取值范围为(1,).故选A.14.已知双曲线C的中心在原点,F(-2,0)是一个焦点,过F的直线l与双曲线C交于A,B两点,且AB的中点为N(-3,-1),则双曲线C的方程为　　　　　　　　. 答案:-y2=1解析:因为F(-2,0),N(-3,-1),所以直线AB的斜率k=1.设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),则a2+b2=4,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-6,y1+y2=-2,=k=1.由=1,=1,得=0,即=0,所以a2=3b2.所以a2=3,b2=1.所以双曲线C的方程为-y2=1.15.已知以直线y=±x为渐近线的双曲线D:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若P为双曲线D右支上任意一点,则的取值范围是　　　　　. 答案:(0,]解析:∵双曲线D:=1(a>0,b>0)的渐近线方程是y=±x,,可得b=a,c==2a.∵P为双曲线D右支上一点,∴|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c,∴0<∵c=2a,,的取值范围是(0,].16.设双曲线C:x2-=1(b>0)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若△PQF的周长的最小值为8,则双曲线C的离心率为　　　　　,此时,点P的坐标为　　　　. 答案:　-,1解析:如图,设F'为双曲线C的左焦点,连接PF',QF',则|QF'|=|QF|,|PF|=|PF'|+2,所以△PQF的周长l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PF'|+|QF|+2.因为|PQ|+|PF'|≥|QF'|=,所以△PQF的周长l≥2+2.因为△PQF的周长的最小值为8,所以2+2=8,又b2+1=c2,所以b=2,c=,所以双曲线C的离心率为当△PQF的周长取最小值时,点P在直线QF'上,易知直线QF'的方程为y=x+2,由解得(舍去).故点P的坐标为-,1.17.某届世界人工智能大会举办后,某高校的兴趣小组受大会展示项目的启发,策划开发一款“猫捉老鼠”的游戏.如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过点O的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠沿某一曲线运动,且始终有接收到点A的信号比接收到点B的信号晚秒(注:信号每秒传播v0米).在时刻t0时,测得机器鼠距离点O为4米.(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如图),求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标;(2)假设机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险.如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,是否有“被抓”的风险?解:(1)设机器鼠所在位置为点P,由题意可得,即|PA|-|PB|=8<10,可得P的轨迹为双曲线的右支,且2c=10,2a=8,即有c=5,a=4,b=3,则P的轨迹方程为=1(x≥4),时刻t0时,|OP|=4,即点P(4,0),可得机器鼠所在位置的坐标为(4,0).(2)设与直线l平行的直线l1的方程为y=x+m,将其代入轨迹方程=1(x≥4),可得7x2+32mx+16m2+144=0,当直线l1和轨迹相切时,Δ=(32m)2-28(16m2+144)=0,解得m=-或m=(舍去),则l1的方程为y=x-,切点即为双曲线右支上距离l最近的点,此时l与l1的距离为d=,即机器鼠距离l最小的距离为>1.5,故机器鼠保持目前运动轨迹不变,没有“被抓”的风险.三、探究创新18.已知一族双曲线En:x2-y2=(n∈N*,且n≤1 020),设直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,记△AnBnCn的面积为an,则a1+a2+a3+…+a1 020=　　　　　. 答案:解析:双曲线En:x2-y2=(n∈N*,且n≤1020)的两条渐近线为y=x,y=-x,它们互相垂直.因为直线x=2与双曲线En在第一象限内的交点为An,所以点An的坐标为(2,),又点An在双曲线En的两条渐近线上的射影分别为Bn,Cn,所以不妨令|AnBn|=,|AnCn|=,所以an=|AnBn||AnCn|=,所以a1+a2+a3+…+a1020=+…+