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广西南宁市青秀区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)
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这是一份广西南宁市青秀区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广西南宁市青秀区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ）
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为（ ）
A．S号 B．M号 C．L号 D．XL号
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a4＝a8 D．a5﹣a3＝a2
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
6．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
7．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．一元一次不等式组的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
11．图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
12．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．化简的结果为 ．
14．分式有意义，则x应满足的条件是 ．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ ．
16．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．
17．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 ．
18．如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：23×（﹣+1）﹣9÷+|﹣2|．
20．先化简，再求值：（÷﹣）•，其中a＝2．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上，解答下列问题：
（1）画出△ABC向右平移1个单位，向下平移4个单位得到△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于点O为对称中心的中心对称图形△A2B2C2．
（3）画出△ABC绕着O点逆时针旋转90°的△A3B3C3，并求出点A到点A3走过的路径长．
22．“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
23．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
24．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
25．如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
26．已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ）
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
【分析】根据正数与负数时表示具有相反意义的量直接得出答案．
解：∵收入50元，记作“+50元”．
且收入跟支出意义互为相反．
∴支出20元，记作“﹣20元”．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数的实际意义，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为（ ）
A．S号 B．M号 C．L号 D．XL号
【分析】利用四个型号的数量所占百分比解答即可
解：∵32%＞26%＞24%＞18%，
∴厂家应生产最多的型号为M号．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a4＝a8 D．a5﹣a3＝a2
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
解：A．原式＝a6，故A符合合题意；
B．原式＝a4，故B不符合题意；
C．原式＝a6，故C不符合题意；
D．a5与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查是同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算，本题属于基础题型．
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
解：∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．
解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
8．一元一次不等式组的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解：由x﹣1≥0得，x≥1，
故此不等式组的解集为：1≤x＜2．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝96，把相应数值代入即可求解．
解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
解：由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项A正确，不符合题意；
∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项B正确，不符合题意；
I是△ABC的内心，故选项C正确，不符合题意，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
11．图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B＝90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
解：连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC＝AB＝a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：＝≈，
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．
12．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3时，得到﹣2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0时，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3．
解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，
∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．化简的结果为 2 ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
解：＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．
14．分式有意义，则x应满足的条件是 x≠2 ．
【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．
解：∵分母不等于0，分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ 2 ．
【分析】原式前两项提取3变形后，把已知等式变形代入计算即可求出值．
解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则原式＝3（x2﹣3x）+5
＝﹣3+5
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．
【分析】由折叠性质可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性质有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF＝4，进而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建立勾股定理方程求解即可．
解：在矩形ABCD中，
∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝1，
设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝，即AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．
17．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 10cm ．
【分析】圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝10．
故答案为10cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
18．如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 + ．
【分析】如图，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理分别计算OB，OE，EC'和BE的长，根据线段的和可得结论．
解：如图，连接OB，过点O作OE⊥C'B于E，则∠OEC'＝∠OEB＝90°，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，点A′恰好落在线段BC′上，
∴∠OC'E＝45°，OA＝OC'＝AB＝2，∠A＝90°，
∴OB＝2，OE＝EC'＝，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，
∴BC'＝BE+EC'＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形，解题的关键是：作辅助线，构建等腰直角三角形OEC'和直角三角形OEB．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：23×（﹣+1）﹣9÷+|﹣2|．
【分析】先算乘方和括号内的式子，然后计算乘除法，最后计算加减法即可．
解：23×（﹣+1）﹣9÷+|﹣2|
＝8×﹣9×3+2
＝4﹣27+2
＝﹣21．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．先化简，再求值：（÷﹣）•，其中a＝2．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
解：原式＝[•﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝2时，
原式＝＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上，解答下列问题：
（1）画出△ABC向右平移1个单位，向下平移4个单位得到△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于点O为对称中心的中心对称图形△A2B2C2．
（3）画出△ABC绕着O点逆时针旋转90°的△A3B3C3，并求出点A到点A3走过的路径长．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A3，B3，C3即可，再利用弧长公式求解．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A3B3C3即为所求．
∵OA＝＝2
∴点A到点A3走过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
22．“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 30 ，b＝ 96 ，m＝ 93 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的众数高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝30，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴m＝＝93；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b＝96，
故答案为：30，96，93；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×＝540（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人．
【点评】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
24．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
25．如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；
（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；
（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．
解：在直线y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．
26．已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH＝CH，设DH＝x，则OH＝4﹣x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC＝2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC＝∠DCA＝45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA＝∠E＝45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2＝QF2+CF2，QF2＝2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA＝FC，等量代换可得结论．
【解答】证明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，
∴DB＝DC．
∴DC＝AB．
∴△ABC为直角三角形；
解：②连接OA，OD，如图，
∵AD＝CD，
∴，
∴OD⊥AC且AH＝CH．
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OD＝4．
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AH2＝OA2﹣OH2，
AH2＝AD2﹣DH2，
∴52﹣x2＝42﹣（4﹣x）2．
解得：x＝．
∴DH＝．
由①知：BC⊥AC，
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
∵AH＝CH，
∴BC＝2DH＝．
（2）QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．理由：
延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°．
∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．
∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．
∴QC2＝QF2+CF2．
∵△ADQ与△ADE关于AD对称，
∴∠DQA＝∠E＝45°，
∴∠DQA＝∠DFA＝45°，
∴DQ＝DF．
∴∠QDF＝180°﹣∠DQA﹣∠QFD＝90°．
∴DQ2+DF2＝QF2．
即QF2＝2DQ2．
∵∠QDF＝∠ADC＝90°，
∴∠QDA＝∠CDF．
在△QDA和△FDC中，
，
∴△QDA≌△FDC（AAS）．
∴QA＝FC．
∴QC2＝2QD2+QA2．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
2022-2023学年广西南宁市青秀区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ）
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为（ ）
A．S号 B．M号 C．L号 D．XL号
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a4＝a8 D．a5﹣a3＝a2
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
6．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
7．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
8．一元一次不等式组的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
11．图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
12．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．化简的结果为 ．
14．分式有意义，则x应满足的条件是 ．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ ．
16．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．
17．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 ．
18．如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：23×（﹣+1）﹣9÷+|﹣2|．
20．先化简，再求值：（÷﹣）•，其中a＝2．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上，解答下列问题：
（1）画出△ABC向右平移1个单位，向下平移4个单位得到△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于点O为对称中心的中心对称图形△A2B2C2．
（3）画出△ABC绕着O点逆时针旋转90°的△A3B3C3，并求出点A到点A3走过的路径长．
22．“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
23．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
24．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
25．如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
26．已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作（ ）
A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元
【分析】根据正数与负数时表示具有相反意义的量直接得出答案．
解：∵收入50元，记作“+50元”．
且收入跟支出意义互为相反．
∴支出20元，记作“﹣20元”．
故选：B．
【点评】本题考查了正数和负数的实际意义，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键．
2．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3．如图是某品牌运动服的S号，M号，L号，XL号的销售情况统计图，则厂家应生产最多的型号为（ ）
A．S号 B．M号 C．L号 D．XL号
【分析】利用四个型号的数量所占百分比解答即可
解：∵32%＞26%＞24%＞18%，
∴厂家应生产最多的型号为M号．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形统计图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
4．下列计算正确的是（ ）
A．（a2）3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．a2•a4＝a8 D．a5﹣a3＝a2
【分析】分别根据同底数幂的除法法则，幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
解：A．原式＝a6，故A符合合题意；
B．原式＝a4，故B不符合题意；
C．原式＝a6，故C不符合题意；
D．a5与﹣a3不是同类项，所以不能合并，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查是同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算以及整式的加减运算，本题属于基础题型．
5．如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．130°
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠BAC的度数．
解：∵∠BOC＝130°，点A在上，
∴∠BAC＝∠BOC＝＝65°，
故选：B．
【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解：点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（﹣2，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．将直尺和三角板按如图所示的位置放置．若∠1＝40°，则∠2度数是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】如图，易知三角板的∠A为直角，直尺的两条边平行，则可得∠1的对顶角和∠2的同位角互为余角，即可求解．
解：如图，根据题意可知∠A为直角，直尺的两条边平行，
∴∠2＝∠ACB，
∵∠ACB+∠ABC＝90°，∠ABC＝∠1，
∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查了对顶角，三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是灵活运用定理及性质进行推导．
8．一元一次不等式组的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解：由x﹣1≥0得，x≥1，
故此不等式组的解集为：1≤x＜2．
故选：D．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝96，把相应数值代入即可求解．
解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB，AC于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BD于点I，连接CI，以下说法错误的是（ ）
A．I到AB，AC边的距离相等
B．CI平分∠ACB
C．I是△ABC的内心
D．I到A，B，C三点的距离相等
【分析】根据作图先判断AE平分∠BAC，再由三角形内心的性质解答即可．
解：由作图可知，AE是∠BAC的平分线，
∴I到AB，AC边的距离相等，故选项A正确，不符合题意；
∵BD平分∠ABC，三角形三条角平分线交于一点，
∴CI平分∠ACB，故选项B正确，不符合题意；
I是△ABC的内心，故选项C正确，不符合题意，
∴I到AB，AC，BC的距离相等，不是到A，B，C三点的距离相等，故选项D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查尺规作图，涉及三角形内心的性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和三角形内心的性质．
11．图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B＝90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
解：连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC＝AB＝a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：＝≈，
故选：C．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．
12．新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，在0≤m≤3时，得到﹣2≤n′≤2；当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，在﹣1≤m＜0时，得到﹣2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3．
解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当0≤m≤3时，﹣2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，
∴当﹣1≤m＜0时，﹣2＜n′≤3，
综上，当﹣1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．化简的结果为 2 ．
【分析】根据二次根式的性质进行化简．
解：＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．
14．分式有意义，则x应满足的条件是 x≠2 ．
【分析】利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式求解即可．
解：∵分母不等于0，分式有意义，
∴x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，利用分母不等于0，分式有意义，列出不等式是解题的关键．
15．已知x2﹣3x+1＝0，则3x2﹣9x+5＝ 2 ．
【分析】原式前两项提取3变形后，把已知等式变形代入计算即可求出值．
解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
则原式＝3（x2﹣3x）+5
＝﹣3+5
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．
【分析】由折叠性质可得CF＝BC＝5，BE＝EF，由矩形性质有CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，在Rt△CDF中，由勾股定理得出DF＝4，进而得出AF＝1，最后在直角三角形AEF中，建立勾股定理方程求解即可．
解：在矩形ABCD中，
∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，
由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝4，
∴AF＝AD﹣DF＝1，
设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
解得x＝，即AE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键．
17．用半径为30cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为 10cm ．
【分析】圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长，列方程求解．
解：设圆锥的底面圆半径为rcm，依题意，得
2πr＝，
解得r＝10．
故答案为10cm．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
18．如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是 + ．
【分析】如图，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理分别计算OB，OE，EC'和BE的长，根据线段的和可得结论．
解：如图，连接OB，过点O作OE⊥C'B于E，则∠OEC'＝∠OEB＝90°，
∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，点A′恰好落在线段BC′上，
∴∠OC'E＝45°，OA＝OC'＝AB＝2，∠A＝90°，
∴OB＝2，OE＝EC'＝，
在Rt△OBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝，
∴BC'＝BE+EC'＝+．
故答案为：+．
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形，解题的关键是：作辅助线，构建等腰直角三角形OEC'和直角三角形OEB．
三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．计算：23×（﹣+1）﹣9÷+|﹣2|．
【分析】先算乘方和括号内的式子，然后计算乘除法，最后计算加减法即可．
解：23×（﹣+1）﹣9÷+|﹣2|
＝8×﹣9×3+2
＝4﹣27+2
＝﹣21．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．先化简，再求值：（÷﹣）•，其中a＝2．
【分析】直接利用分式的混合运算法则化简，进而把已知数据代入得出答案．
解：原式＝[•﹣]•
＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝2时，
原式＝＝1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，每个网格单位长度为1，△ABC的位置如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上，解答下列问题：
（1）画出△ABC向右平移1个单位，向下平移4个单位得到△A1B1C1．
（2）画出△ABC关于点O为对称中心的中心对称图形△A2B2C2．
（3）画出△ABC绕着O点逆时针旋转90°的△A3B3C3，并求出点A到点A3走过的路径长．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可；
（3）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A3，B3，C3即可，再利用弧长公式求解．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，△A3B3C3即为所求．
∵OA＝＝2
∴点A到点A3走过的路径长＝＝π．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，旋转变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
22．“防溺水”是校园安全教育工作的重点之一．某校为确保学生安全，开展了“远离溺水•珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x＜85，B.85≤x＜90，C.90≤x＜95，D.95≤x≤100），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：96，84，97，85，96，96，96，84，90，96．
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：92，92，94，94．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
96
m
众数
b
98
方差
28.6
28
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a＝ 30 ，b＝ 96 ，m＝ 93 ；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七、八年级共1200人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到结论；
（2）根据八年级的众数高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
解：（1）a＝（1﹣20%﹣10%﹣）×100＝30，
∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数，
∴m＝＝93；
∵在七年级10名学生的竞赛成绩中96出现的次数最多，
∴b＝96，
故答案为：30，96，93；
（2）八年级学生掌握防溺水安全知识较好，
理由：虽然七、八年级的平均分均为92分，但八年级的众数高于七年级；
（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是：1200×＝540（人），
答：估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥95）的学生人数是540人．
【点评】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据正方形的性质，菱形的判定定理和性质定理解答即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
24．某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与x的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
25．如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．
（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．
【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；
（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；
（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．
解：在直线y＝2x+2中，
当x＝0时，y＝2，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），
把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝AO＝1，
此时点P的坐标为（1，0），
②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，
又∵四边形OPDE为正方形，
∴DP＝OP＝OB＝2，
此时点P的坐标为（2，0），
综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；
（3）如图，
点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，
∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，
由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），
∴CD′′的最小值为1．
【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．
26．已知⊙O为△ACD的外接圆，AD＝CD．
（1）如图1，延长AD至点B，使BD＝AD，连接CB．
①求证：△ABC为直角三角形；
②若⊙O的半径为4，AD＝5，求BC的值；
（2）如图2，若∠ADC＝90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系并给予证明．
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH＝CH，设DH＝x，则OH＝4﹣x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC＝2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC＝∠DCA＝45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA＝∠E＝45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2＝QF2+CF2，QF2＝2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA＝FC，等量代换可得结论．
【解答】证明：（1）①∵AD＝CD，BD＝AD，
∴DB＝DC．
∴DC＝AB．
∴△ABC为直角三角形；
解：②连接OA，OD，如图，
∵AD＝CD，
∴，
∴OD⊥AC且AH＝CH．
∵⊙O的半径为4，
∴OA＝OD＝4．
设DH＝x，则OH＝4﹣x，
∵AH2＝OA2﹣OH2，
AH2＝AD2﹣DH2，
∴52﹣x2＝42﹣（4﹣x）2．
解得：x＝．
∴DH＝．
由①知：BC⊥AC，
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．
∵AH＝CH，
∴BC＝2DH＝．
（2）QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2＝2QD2+QA2．理由：
延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，如图，
∵∠ADC＝90°，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝45°．
∴∠DFA＝∠E＝∠DCA＝45°，∠DFC＝∠DAC＝45°．
∴∠QFC＝∠AFD+∠DFC＝90°．
∴QC2＝QF2+CF2．
∵△ADQ与△ADE关于AD对称，
∴∠DQA＝∠E＝45°，
∴∠DQA＝∠DFA＝45°，
∴DQ＝DF．
∴∠QDF＝180°﹣∠DQA﹣∠QFD＝90°．
∴DQ2+DF2＝QF2．
即QF2＝2DQ2．
∵∠QDF＝∠ADC＝90°，
∴∠QDA＝∠CDF．
在△QDA和△FDC中，
，
∴△QDA≌△FDC（AAS）．
∴QA＝FC．
∴QC2＝2QD2+QA2．
【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
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