河南省周口市第十九初级中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)

这是一份河南省周口市第十九初级中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省周口市第十九初级中学2021-2022学年九年级上学期
期中考试数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中不是二次函数的有（　　）
A．y＝x（x﹣1） B．y＝﹣1
C．y＝﹣x2 D．y＝（x+4）2﹣x2
2．（3分）将一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
3．（3分）如图所示，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2 或﹣2 D．
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3
6．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，∠ABD＝69°，则∠C等于（　　）

A．29° B．21° C．31° D．62°
8．（3分）如图，圆O的直径CD＝20cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）

A．cm B．8cm C．16cm D．4cm
9．（3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝6，BC＝10，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，则△ADE的面积是（　　）

A．18 B．12 C．30 D．40
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④a+b+c＝0．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　 　．
12．（3分）抛物线y＝a（x+1）（x﹣4）（a≠0）的对称轴是 　 　．
13．（3分）已知x能使得有意义，则点P（x﹣3，x+2）关于原点的对称点P′在第 　 　象限．
14．（3分）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为　 　．

15．（3分）如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为　 　．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（3﹣x）；
（2）2x2﹣3x+1＝0
17．（9分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1；
（2）再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2；
（3）A1的坐标为 　 　，B1的坐标为 　 　，点C2的坐标为 　 　．

18．（9分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
①求证：方程必有两个不相等的实数根；
②若此方程的一个根是3，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
19．（9分）2014年，周口市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为3240元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2017年仍然下调相同的百分率，刘老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金12万元，可以在银行贷款18万元，刘老师的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
20．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．

21．（10分）某商店经营儿童益智玩具，此时成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时，月销售利润y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月利润是多少？
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0），B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

23．（11分）一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ACB的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝6．
（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 　 　，周长为 　 　．
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 　 　，周长为 　 　．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你求出此时重叠部分的面积，并说明理由？
（4）在图3的情况下，若AD＝2，求出重叠部分图形的周长．


河南省周口市第十九初级中学2021-2022学年九年级上学期
期中考试数学试题
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列函数中不是二次函数的有（　　）
A．y＝x（x﹣1） B．y＝﹣1
C．y＝﹣x2 D．y＝（x+4）2﹣x2
【分析】依据二次函数的定义回答即可．
【解答】解：A、整理得y＝x2﹣x，是二次函数，与要求不符；
B、y＝﹣1是二次函数，与要求不符；
C、y＝﹣x2是二次函数，与要求不符；
D、整理得：y＝8x+16是一次函数，与要求相符．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（3分）将一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【分析】配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x＝2，
∴x2﹣2x+1＝2+1，
∴（x﹣1）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．（3分）如图所示，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
选项C不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．2 或﹣2 D．
【分析】把x＝0代入一元二次方程得a2﹣4＝0，再解关于a的方程，然后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0得a2﹣4＝0，
解得a1＝2，a2＝﹣2，
∵a﹣2≠0，
∴a＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+1）2﹣13 B．y＝（x﹣5）2﹣3
C．y＝（x﹣5）2﹣13 D．y＝（x+1）2﹣3
【分析】先把一般式配成顶点式得到抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），再利用点平移的规律得到把点（2，﹣8）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），然后利用顶点式写出平移后的抛物线的函数表达式．
【解答】解：因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，
所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（3分）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【分析】把x＝﹣4、﹣3、2分别代入y＝x2+4x﹣5，计算出对应的函数值，然后比较大小即可．
【解答】解：∵A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，
∴y1＝（﹣4）2+4×（﹣4）﹣5＝﹣5；
y2＝（﹣3）2+4×（﹣3）﹣5＝﹣8；
y3＝22+4×2﹣5＝7，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
7．（3分）如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，∠ABD＝69°，则∠C等于（　　）

A．29° B．21° C．31° D．62°
【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得角A的度数，然后再求得∠ABD的度数即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝69°，
∴∠A＝21°，
∴∠C＝21°，
故选：B．
【点评】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是熟知圆周角定理的知识，难度不大．
8．（3分）如图，圆O的直径CD＝20cm，AB是圆O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（　　）

A．cm B．8cm C．16cm D．4cm
【分析】由于⊙O的直径CD＝20cm，则⊙O的半径为10cm，又已知OM：OC＝3：5，则可以求出OM＝6，OC＝10，连接OA，根据勾股定理和垂径定理可求得AB的长度．
【解答】解：连接OA，

∵⊙O的直径CD＝20cm，
∴⊙O的半径为10cm，
∴OA＝OC＝10cm，
又∵OM：OC＝3：5，
∴OM＝6cm，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM中，AM＝＝8（cm），
∴AB＝2AM＝2×8＝16（cm）．
故选：C．

【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
9．（3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝6，BC＝10，将腰DC绕点D逆时针方向旋转90°至DE，则△ADE的面积是（　　）

A．18 B．12 C．30 D．40
【分析】作DG⊥BC于点G，作EF⊥AD交AD的延长线于点F，可证明四边形ABGD是矩形，得DG∥AB，BG＝AD＝6，则∠FDG＝∠BAD＝90°，CG＝BC﹣BG＝4，由旋转得∠EDC＝90°，DE＝DC，即可证明△DEF≌△DCG，得EF＝CG＝4，即可求得S△ADE＝×6×4＝12，于是得到问题的答案．
【解答】解：作DG⊥BC于点G，EF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠BGD＝∠CGD＝∠F＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝180°﹣∠B＝90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴DG∥AB，BG＝AD＝6，
∴∠FDG＝∠BAD＝90°，CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4，
由旋转得∠EDC＝90°，DE＝DC，
∴∠EDF＝∠CDG＝90°﹣∠CDF，
在△DEF和△DCG中，
，
∴△DEF≌△DCG（AAS），
∴EF＝CG＝4，
∴S△ADE＝AD•EF＝×6×4＝12，
故选：B．

【点评】此题重点考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1．给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b＝0；③3a+c＝0；④a+b+c＝0．
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；
由图象可知：对称轴x＝＝﹣1，
∴2a＝b，2a+b＝4a，
∵a≠0，
∴2a+b≠0，②错误；
∵图象过点A（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，2a＝b，
∴9a﹣6a+c＝0，c＝﹣3a，③正确；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x＝1时y＝0，
∴a+b+c＝0，④正确．
故选：C．
【点评】考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是掌握二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝　1　．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：由（m+1）x|m|+1+6mx﹣2＝0是关于x的一元二次方程，得
，
解得m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
12．（3分）抛物线y＝a（x+1）（x﹣4）（a≠0）的对称轴是 　x＝　．
【分析】已知抛物线解析式为交点式，可求抛物线与x轴的两交点坐标，两交点的横坐标的平均数就是对称轴．
【解答】解：由抛物线y＝a（x+1）（x﹣4）（a≠0）可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（4，0），
∴对称轴是直线x＝＝．
故答案为：x＝．
【点评】本题考查了二次函数的性质，利用交点式求得对称轴的方法是解题的关键．
13．（3分）已知x能使得有意义，则点P（x﹣3，x+2）关于原点的对称点P′在第 　四　象限．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而结合关于原点对称点的性质、各象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵x能使得有意义，
∴x+1≥0，且2﹣x≥0，
解得：﹣1≤x≤2，
∴x﹣3＜0，x+2＞0，
故P点在第二象限，
则点P（x﹣3，x+2）关于原点的对称点P′（3﹣x，﹣x﹣2），在第四象限．
故答案为：四．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件、关于原点对称点的性质，正确掌握关于原点对称点的性质是解题关键．
14．（3分）如图，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．设道路宽是x，则列方程为　（20﹣x）（32﹣x）＝540　．

【分析】本题中我们可以根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．
【解答】解：原图经过平移转化为图1．

设道路宽为x米，（1分）
根据题意，得（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故答案为：（20﹣x）（32﹣x）＝540
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程．
15．（3分）如图，A（，1），B（1，）．将△AOB绕点O旋转150°得到△A′OB′，则此时点A的对应点A′的坐标为　（﹣1，﹣）或（﹣2，0）　．

【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据点A的坐标求直角△AOC三边的长，再分两种情况讨论：逆时针旋转150°或顺时针旋转150°，根据旋转角得特殊角，由30°角的直角三角形的性质可以依次求出A′的坐标．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，
∵A（，1），
∴OC＝，AC＝1，
由勾股定理得：OA＝2，
tan∠AOC＝＝，
∴∠AOC＝30°，
分两种情况：
①将△AOB绕点O逆时针旋转150°得到△A′OB′，如图1，
此时OA在x轴上，则A′的坐标为（﹣2，0），
②将△AOB绕点O顺时针旋转150°得到△A′OB′，如图2，
过A′作A′D⊥x轴于D，
∵∠AOC＝30°，∠AOA′＝150°，
∴∠A′OC＝150°﹣30°＝120°，
∴∠A′OD＝60°，
在Rt△A′OD中，∠DA′O＝30°，A′O＝2，
∴OD＝1，A′D＝，
∴A′的坐标为（﹣1，﹣），
则点A的对应点A′的坐标为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣）；
故答案为：（﹣2，0）或（﹣1，﹣）．


【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据旋转角的度数判断出点A′的位置，注意构建直角三角形，同时还要分情况讨论求解．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（8分）解下列方程：
（1）2（x﹣3）＝3x（3﹣x）；
（2）2x2﹣3x+1＝0
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵2（x﹣3）＝3x（3﹣x），
2（x﹣3）＝﹣3x（x﹣3），
∴2（x﹣3）+3x（x﹣3）＝0，
则（x﹣3）（3x+2）＝0，
∴x﹣3＝0或3x+2＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣；

（2）∵2x2﹣3x+1＝0，
∴（x﹣1）（2x﹣1）＝0，
则x﹣1＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝1，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
17．（9分）正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：
（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1；
（2）再作出△AB1C1关于原点O成中心对称的△A1B2C2；
（3）A1的坐标为 　（1，0）　，B1的坐标为 　（﹣3，﹣1）　，点C2的坐标为 　（2，3）　．

【分析】（1）根据旋转的性质即可得到结论；
（2）根据中心对称图形的性质即可得到结论；
（3）根据图形写出各点的坐标即可．
【解答】解：（1）如图所示△AB1C1即为所求；
（2）如图所示△A1B2C2即为所求．

（3）A1的坐标为（1，0），B1的坐标为（﹣3，﹣1），点C2的坐标为（2，3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18．（9分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．
①求证：方程必有两个不相等的实数根；
②若此方程的一个根是3，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
【分析】（1）根据关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；再根据三角形的周长公式进行计算．
【解答】①证明：∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，
∴Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝m2﹣4m+8＝（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2+4＞0恒成立，
∴Δ＞0，
∴方程必有两个不相等的实数根；
②解：∵关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的一个根是3，
∴把x＝3代入原方程得：9﹣3（m+2）+（2m﹣1）＝0，
∴解得m＝2，
∴原方程为：x2﹣4x+3＝0，
∴原方程的两个根分别为3，1，
又∵3和1是直角三角形的边，
∴当1为直角三角形的斜边长时，构不成直角三角形，
∴当3为直角三角形的斜边长时，即a2+1＝9，
∴a＝2，
所以三角形的周长为：1+3+2＝4+2，
∴当1和3都为直角三角形的直角边时，有c2＝1+9＝10，
∴c＝，
所以三角形的周长为：1+3+＝4+，
∴综上可知，以1和3为边长的直角三角形的周长为：4+或4+2．
【点评】本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义，解答本题的关键是利用因式分解法求出方程的两根，解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．
19．（9分）2014年，周口市某楼盘以每平方米4000元的均价对外销售．因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为3240元．
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2017年仍然下调相同的百分率，刘老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金12万元，可以在银行贷款18万元，刘老师的愿望能否实现？（房价每平方米按照均价计算）
【分析】（1）设平均每年下调的百分率为x，根据2016年的均价＝2014年的均价×（1﹣平均每年下调的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）利用总房价＝均价×购房面积，可求出购买一套100平方米的住房所需费用，将其与刘老师持有现金及银行贷款之和比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设平均每年下调的百分率为x，
依题意得：4000（1﹣x）2＝3240，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：平均每年下调的百分率为10%．
（2）3240×（1﹣10%）×100
＝3240×90%×100
＝291600（元），
∵12+18＝30（万元），30万元＞291600元，
∴刘老师的愿望能实现．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．

【分析】（1）由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得＝，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB＝OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB＝90°，继而可证得BC＝OD．
【解答】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴＝，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠0DB＝30°，
∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝30°+30°＝60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠OEA﹣∠AOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BC＝AB，
∵OD＝AB，
∴BC＝OD．
【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（10分）某商店经营儿童益智玩具，此时成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时，月销售利润y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时，可使月销售利润最大？最大月利润是多少？
【分析】（1）根据利润＝数量×每件的利润，求出关系式即可；
（2）当y＝2520时代入（1）的解析式可以求出结论；
（3）根据（1）中解析式，由函数的性质求最值．
【解答】解：（1）依题意得：
y＝（30﹣20+x）（230﹣10x）
＝﹣10x2+130x+2300，
∵每件首饰售价不能高于40元，
∴0≤x≤10．
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣10x2+130x+2300，x的取值范围为0≤x≤10；
（2）当y＝2520时，
﹣10x2+130x+2300＝2520，
∴x2﹣13x+22＝0，
∴x1＝2，x2＝11，
∵0≤x≤10，
∴x＝2，
∴当x＝2时，30+x＝32．
答：每件玩具的售价定为32元时月销售利润恰好为2520元；
（3）由（1）知，y＝﹣10x2+130x+2300＝﹣10（x﹣）2+2722.5，
∵﹣10＜0，0≤x≤10．
∴当x＝时，y最大，最大值为2722.5，
此时30+x＝30+6.5＝36.5，
答：每件玩具的售价定为36.5元时，可使月销售利润最大，最大月利润是2722.5元．
【点评】本题考查了二次函数的运用，求出二次函数的解析式是解答本题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+mx+n经过点A（3，0），B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）确定PM＝yP﹣yM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，再由△ABM的面积＝S△PMA+S△PMB，即可求解；
（3）由PM＝OB，得到PM＝|﹣t2+3t|＝3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线AB的表达式为y＝x﹣3，
设点P的横坐标为t，则点P（t，t﹣3），点M（t，t2﹣2t﹣3），
则PM＝yP﹣yM＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，
∵﹣1＜0，故PM有最大值，
当t＝时，PM有最大值为﹣（）2+3×＝，
则△ABM的面积＝S△PMA+S△PMB＝×PM×OA＝×＝；

（3）存在，理由：
当以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，此时PM＝OB，
即PM＝|﹣t2+3t|＝3，解得t＝；
则点P的横坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：先利用待定系数法求函数的解析式，然后根据解析式表示点的坐标，再利用坐标表示线段的长，利用二次函数的性质求线段的最大值．同时考查了平行四边形的判定定理以及一元二次方程的解法．
23．（11分）一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ACB的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝6．
（1）如图1，两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 　6　，周长为 　6+6　．
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 　9　，周长为 　12　．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1和图2的图形，如图3，请你求出此时重叠部分的面积，并说明理由？
（4）在图3的情况下，若AD＝2，求出重叠部分图形的周长．

【分析】（1）根据AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM＝MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长；
（2）易得重叠部分是正方形，即可求解；
（3）过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E．求得Rt△MHD≌Rt△MEG，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积．
（4）先过点M作ME⊥BC于点E，MH⊥AC于点H，根据∠DMH＝∠EMH，MH＝ME，得出Rt△DHM≌Rt△EMG，从而得出HD＝GE，CE＝AD，进而求解．
【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝6，
∵M是AB的中点，
∴AM＝3，
∵∠ACM＝45°，
∴AM＝MC，
∴重叠部分的面积是×（3）2＝9，
∴周长为：AM+MC+AC＝2AM+AM＝6+×3＝6+6；
故答案为：6，6+6；

（2）∵叠部分是正方形，
∴边长为×6＝3，面积为3×3＝9，
周长为3×4＝12．
故答案为：9，12．

（3）面积是9，理由：
过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC＝BC＝6，
∴MH＝BC，ME＝AC，
∴MH＝ME，
又∵∠NMK＝∠HME＝90°，
∴∠NMH+∠HMK＝90°，∠EMG+∠HMK＝90°，
∴∠HMD＝∠EMG，
在△MHD和△MEG中，
，
∴△MHD≌△MEG（ASA），
∴阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，
∵正方形CEMH的面积是ME•MH＝3×3＝9；
∴阴影部分的面积是9；

（4）如图所示：

过点M作ME⊥BC于点E，MH⊥AC于点H，
∴四边形MECH是矩形，
∴MH＝CE，
∵∠A＝45°，
∴∠AMH＝45°，
∴AH＝MH，
∴AH＝CE，
在Rt△DHM和Rt△GEM中，
，
∴Rt△DHM≌Rt△GEM（ASA）．
∴GE＝DH，
∴AH﹣DH＝CE﹣GE，
∴CG＝AD，
∵AD＝2，
∴DH＝3﹣2＝1．
∴DM＝＝＝MG，
∴四边形DMGC的周长为：CG+CD+DM+MG＝AD+CD+2DM＝6+2．
【点评】此题为三角形综合题，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．