山东济宁市任城区济宁学院附中集团2022-2023学年上学期八年级数学期中试卷(含答案)

这是一份山东济宁市任城区济宁学院附中集团2022-2023学年上学期八年级数学期中试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了cm2等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年附中八年级上册期中考试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在a-b2，x+3x，5+xπ，a+ba-b，2+1a中，是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．a2+1＝a（a+1a） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．4m3n＝4m3•n D．m2+5m＝m（m+5）
3．（3分）能使分式|x|-1x2-2x+1的值为零的所有x的值是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝2或x＝1
4．（3分）已知排球队6名场上队员的身高（单位：cm）分别是：181，185，188，190，194，196．现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
5．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
6．（3分）若x是非负整数，则表示2xx+2-x2-4(x+2)2的值的对应点落在如图数轴上的范围是（　　）

A．① B．② C．③ D．①或②
7．（3分）某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（　　）

A．22.5元 B．27.5元 C．30.5元 D．36.5元
8．（3分）已知关于x的分式方程1x=k3x-3的解是正数，则k的取值范围为（　　）
A．k≤3 B．k≤3且k≠0 C．k＜3 D．k＜3且k≠0
9．（3分）已知长方形的周长为14cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2．
A．12 B．14 C．15 D．16
10．（3分）商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．40元/千克 B．50元/千克 C．60元/千克 D．70元/千克
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，则另一组数据：3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的平均数是 　．
12．（3分）若关于x的方程xx-1-m1-x=2有增根，则m的值是　 　．
13．（3分）若1x+1y=2，则2x-xy+2y3x+5xy+3y= 　.
14．（3分）“爱劳动，劳动美”’甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家7km和11km的实践基地参加劳动。若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min到达基地．求甲、乙的速度。设甲的速度为每小时3xkm，依题意可列方程为 ．
15．（3分）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{-1x，1x}=23-x的解为　 　．
三．解答题（共8小题，满分55分）

16．（6分，每题3分）分解因式：(1)ax2﹣ay4
(2)(x+1)(x+2)+14．


17．（6分）（1）计算：aca-b-bca-b
（2）（1-ab）÷a2-2ab+b2b





18．（6分）解分式方程：
（1）3x+2=2x-3；
（2）1x+1+2x-1=4x2-1．






19．（6分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 　 　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　 　．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．






20．（6分）先化简，再求值：(x2-xx2-2x+1+21-x)÷x-2x2-1，再选一个合适的数x代入求值。







21．（7分）阅读下列分解因式的过程：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．




22．（9分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝ 　，b＝　 　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？






23．（9分）“疫情未结束，防疫不放松”。某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
























参考答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在a-b2，x+3x，5+xπ，a+ba-b，2+1a中，是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】分式的定义．菁优网版权所有
【专题】分式；数感．
【分析】根据分式的定义（形如AB这样的式子，其中A与B是整式且B≠0）解决此题．
【解答】解：根据分式的定义，分式有x+3x，a+ba-b，2+1a，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键．
2．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．a2+1＝a（a+1a） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．4m3n＝4m3•n D．m2+5m＝m（m+5）
【考点】因式分解的意义．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【解答】解：A、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、符合因式分解的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
3．（3分）能使分式|x|-1x2-2x+1的值为零的所有x的值是（　　）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝2或x＝1
【考点】分式的值为零的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据题意列方程和不等式求解．
【解答】解：由题意可得|x|﹣1＝0且x2﹣2x+1≠0，
解得x＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零的条件（分子为零且分母不等于零）是解题关键．
4．（3分）已知排球队6名场上队员的身高（单位：cm）分别是：181，185，188，190，194，196．现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，与换人前相比，现在计算结果不受影响的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【考点】标准差；算术平均数；中位数；方差．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；运算能力．
【分析】利用平均数、中位数、方差、标准差一一计算判断即可．
【解答】解：A选项：原来平均数：（181+185+188+190+194+196）÷6＝189，
替换后平均数：（186+185+188+190+193+196）÷6＝190，
平均数变大了；
B选项：原来的：181，185，188，190，194，196，
中位数：（188+190）÷2＝189，
替换后的：185，186，188，190，194，194，
中位数：（188+190）÷2＝189，
中位数不变；
C选项：原来的方差：[（﹣8）2+（﹣4）2+（﹣1）2+12+52+72]÷6＝2423，
替换后的方差：[（﹣4）2+（﹣5）2+（﹣2）2+0+32+62]÷6＝15，
方差变小；
D选项：由C可知标准差也会变小；
故选：B．
【点评】本题考查了平均数、中位数、方差、标准差的定义，解题的关键就是掌握平均数、中位数、方差、标准差的定义．
5．（3分）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】因式分解；应用意识．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式的结果为2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），然后找出对应的汉字即可对各选项进行判断．
【解答】解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
信息中的汉字有：华、我、爱、中．
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
6．（3分）若x是非负整数，则表示2xx+2-x2-4(x+2)2的值的对应点落在如图数轴上的范围是（　　）

A．① B．② C．③ D．①或②
【考点】分式的化简求值；数轴．菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】原式第二项约分后，利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，即可作出判断．
【解答】解：原式=2xx+2-(x+2)(x-2)(x+2)2
=2xx+2-x-2x+2
=2x-(x-2)x+2
=2x-x+2x+2
=x+2x+2
＝1，
则表示2xx+2-x2-4(x+2)2的值的对应点落在如图数轴上的范围是②．
故选：B．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（3分）某商场销售A，B，C，D四种商品，它们的单价依次是10元，20元，30元，50元．某天这四种商品销售数量的百分比如图所示，则这天销售的四种商品的平均单价是（　　）

A．22.5元 B．27.5元 C．30.5元 D．36.5元
【考点】加权平均数．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的四种商品的平均单价．
【解答】解：这天销售的四种商品的平均单价是：
10×10%+20×15%+30×55%+50×20%＝30.5（元），
故选：C．
【点评】本题考查了加权平均数、扇形统计图，解决本题的关键是掌握加权平均数的定义．
8．（3分）已知关于x的分式方程1x=k3x-3的解是正数，则k的取值范围为（　　）
A．k≤3 B．k≤3且k≠0 C．k＜3 D．k＜3且k≠0
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】先表示分式方程的解，再求范围．
【解答】解：两边同时乘以3x（x﹣1）得：3x﹣3＝kx，
∴x=-3k-3，
∵分式方程的解是正数，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
∵3x（x﹣3）≠0，
∴x≠0且x≠1．
∴k≠0．
∴k＜3且k≠0．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键．
9．（3分）已知长方形的周长为14cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（　　）cm2．
A．12 B．14 C．15 D．16
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】整式；运算能力．
【分析】由长方形的周长可以求出x+y＝8①，再利用完全平方公式可以得出x﹣y＝1②，联立①②，解方程组即可得出x，y的值，最后求长方形的面积即可得出结论．
【解答】解：∵长方形的周长为14cm，
∴2（x+y）＝14，
∴x+y＝7①；
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，
∴（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝0，
∴（x﹣y﹣1）2＝0，
∴x﹣y＝1②．
联立①②，得x+y=7x-y=1，
解得：x=4y=3，∴长方形的面积S＝xy=3×4=12（cm2），
故选：A．
【点评】本题考查完全平方公式，解二元一次方程组，考查学生的计算能力，本题的关键是把x﹣y看作一个整体，进行因式分解．
10．（3分）商家常将单价不同的A、B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A、B两种糖的总价与A、B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为（　　）
A．40元/千克 B．50元/千克 C．60元/千克 D．70元/千克
【考点】分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题；一次方程（组）及应用；运算能力．
【分析】设A种糖的单价为x元/千克，则B种糖的单价为（x+40）元/千克，“什锦糖”甲的单价为12（x+x+40）元/千克，“什锦糖”乙的单价为2÷（1x+1x+40）元/千克，根据题意列出方程即可求解．
【解答】解：设A种糖的单价为x元/千克，则B种糖的单价为（x+40）元/千克，
“什锦糖”甲的单价为12（x+x+40）元/千克，
“什锦糖”乙的单价为2÷（1x+1x+40）元/千克，
根据题意，得
12（x+x+40）﹣2÷（1x+1x+40）＝5，
解得x＝60，
经检验x＝60是分式方程的解，也符合题意，
所以A种糖的单价为60元/千克．
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）已知一组数据：x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，则另一组数据：3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的平均数是　4　．
【考点】算术平均数．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；运算能力．
【分析】根据数据：x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，得出数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6，再根据每个数据都减2，即可得出数据：3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的平均数．
【解答】解：∵数据x1，x2，x3，…，xn的平均数是2，
∴数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×2＝6，
∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，…3xn﹣2的平均数是6﹣2＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是算术平均数的求法．一般地设有n个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．
12．（3分）若分式方程xx-1-m1-x=2有增根，则m＝　﹣1　．
【考点】分式方程的增根．菁优网版权所有
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得
x+m＝2（x﹣1），
∵方程有增根，
∴最简公分母x﹣1＝0，即增根是x＝1，
把x＝1代入整式方程，得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（3分）若1x+1y=2，则2x-xy+2y3x+5xy+3y=　311　
【考点】分式的基本性质．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】由1x+1y=2，得x+y＝2xy，整体代入所求的式子化简即可．
【解答】解：由1x+1y=2，得x+y＝2xy
则2x-xy+2y3x+5xy+3y=2(x+y)-xy3(x+y)+5xy=2⋅2xy-xy3⋅2xy+5xy=3xy11xy=311．
故答案为311．
【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．
14．（3分）“爱劳动，劳动美”’甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家7km和11km的实践基地参加劳动。发若甲、乙的速度比是3:4，结果甲比乙提前20min到达目的地．求甲、乙的速度。设甲的速度为每小时3xkm，依题意可列方程为 　114x-73x=2060　．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】由甲、乙两人速度之间的关系可得出已的速度为每小时4xkm，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前20min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲的速度是乙的速度的34倍，且甲的速度为每小时3xkm，
∴乙的速度为每小时4xkm．
依题意得：114x-73x=2060．
故答案为：114x-73x=2060．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
15．（3分）对于两个不相等的有理数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{-1x，1x}=23-x的解为　x＝1或x＝﹣3　．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】新定义；分式方程及应用．
【分析】分类讨论-1x与1x的大小，利用题中的新定义化简，求出解即可．
【解答】解：当-1x＜1x时，方程整理得：1x=23-x，
去分母得：3﹣x＝2x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解；
当-1x＞1x时，方程整理得：-1x=23-x，
去分母到：x﹣3＝2x，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解．
故答案为：x＝1或x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
三．解答题（共8小题，满分55分）
16．（6分）分解因式：ax2﹣ay4
分解因式：(x+1)(x+2)+14．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【专题】计算题；因式分解．
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（x2﹣y4）＝a（x+y2）（x﹣y2）；原式＝x2+3x+94=（x+32）2．
【点评】此题考查了提公因式发与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17．（6分）（1）计算：aca-b-bca-b
（2）（1-ab）÷a2-2ab+b2b
【考点】解分式方程；分式的加减法．菁优网版权所有
【分析】（1）根据分式的加减法则进行计算即可；
（2）方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得出（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式=ac-bca-b
=(a-b)ca-b
＝c；

（2） 原式=（b-ab）·b（a-b）2
=1b-a
【点评】本题考查了解分式方程，分式的加减法则的应用，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
18．（6分）解分式方程：
（1）3x+2=2x-3；
（2）1x+1+2x-1=4x2-1．
【考点】解分式方程．菁优网版权所有
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】（1）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案；
（2）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案．
【解答】解：（1）去分母：2（x+2）＝3(x﹣3)，
解得：x＝13，
经检验：x＝13是原方程的解，
∴原方程的解为x＝13；
（2）去分母：x-1+2（x+1）＝4，
解得：x＝1，
经检验：x＝1是增根，舍去，
∴原方程无解．
【点评】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键．
19．（6分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 　78.5　分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 　44%　．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
【考点】频数（率）分布表；中位数．菁优网版权所有
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于80分的人数除以被测试人数即可；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为78+792=78.5（分），
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为16+650×100%＝44%，
故答案为：78.5，44%；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．
【点评】本题考查了中位数，频数分布表等知识，掌握中位数的定义及其意义是解决问题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：(x2-xx2-2x+1+21-x)÷x-2x2-1，再选一个合适的数x代入求值。
【考点】分式的化简求值；菁优网版权所有
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式的加法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件求出x不能为1，﹣1，2，取x＝3，把x＝3代入化简后的结果，即可求出答案．
【解答】解：(x2-xx2-2x+1+21-x)÷x-2x2-1
＝[x(x-1)(x-1)2-2x-1]÷x-2(x+1)(x-1)
＝（xx-1-2x-1）•(x+1)(x-1)x-2
=x-2x-1•(x+1)(x-1)x-2
＝x+1，
要使分式(x2-xx2-2x+1+21-x)÷x-2x2-1有意义，x﹣1≠0，x+1≠0，x﹣2≠0，
即x不能为1，﹣1，2，
取x＝3，
当x＝3时，原式＝3+1＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解等知识点能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
21．（7分）阅读下列分解因式的过程：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）+（﹣2x+4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．
【考点】因式分解的应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【分析】（1）依据分组分解法，把a2﹣4a﹣b2+4分组成（a2﹣4a+4）+（﹣b2），然后用完全平方公式法因式分解后，再用平方差公式法因式分解．
（2）先把a2﹣ab﹣ac+bc＝0因式分解，得出（a﹣b）（a﹣c）＝0，由此得出a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，从而判断出△ABC是等腰三角形或等边三角形．
【解答】解：（1）a2﹣4a﹣b2+4
＝（a2﹣4a+4）+（﹣b2）
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．
（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，
∴（a2﹣ab）+（﹣ac+bc）＝0，
a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a﹣c）＝0，
∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，a＝b且a＝c，
即a＝b，或a＝c，或a＝b＝c，
∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，通过观察式子特点、分好组是分组法因式分解的关键．
22．（9分）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，学校团委在八、九年级各抽取50名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：

（1）你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明；
（2）请根据图表中的信息，回答下列问题．

众数
中位数
方差
八年级竞赛成绩
7
8
1.88
九年级竞赛成绩
a
8
b
①表中的a＝　8　，b＝　1.56　；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
（3）若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，则哪个年级的获奖率高？

【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差．菁优网版权所有
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】（1）分别求出两个年级的平均数即可；
（2）①分别根据计众数和方差的定义解答即可；
②根据两个年级众数和方差解答即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）由题意得：
八年级成绩的平均数是：（6×7+7×15+8×10+9×7+10×11）÷50＝8（分），
九年级成绩的平均数是：（6×8+7×9+8×14+9×13+10×6）÷50＝8（分），
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
（2）①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数a＝8分；
九年级竞赛成绩的方差为：s2=150×[8×（6﹣8）2+9×（7﹣8）2+14×（8﹣8）2+13×（9﹣8）2+6×（10﹣8）2]＝1.56，
故答案为：8；1.56；
②如果从众数角度看，八年级的众数为7分，九年级的众数为8分，所以应该给九年级颁奖；如果从方差角度看，八年级的方差为1.88，九年级的方差为1.56，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖；
综上所述，应该给九年级颁奖．
（3）八年级的获奖率为：（10+7+11）÷50＝56%，
九年级的获奖率为：（14+13+6）÷50＝66%，
∵66%＞56%，
∴九年级的获奖率高．
【点评】本题主要考查了中位数、众数、方差以及平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键．
23．（9分）“疫情未结束，防疫不放松”。某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
（1）求A，B两种防疫用品每箱的成本；
（2）该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二元一次方程的应用；分式方程的应用．菁优网版权所有
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本，再将其代入（x+500）中即可求出A种防疫用品的成本；
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出该工厂共有6种生产方案；
【解答】解：（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为（x+500）元/箱，
依题意得：6000x+500=4500x，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
∴x+500＝1500+500＝2000．
答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产（50﹣m）箱A种防疫用品，
依题意得：2000(50-m)+1500m≤90000m≤25，
解得：20≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂共有6种生产方案．
【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．

考点卡片
1．数轴
（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）
（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
2．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
3．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
4．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
5．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是AB的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+1x+2是分式，如果形式都不是AB的形式，那就不能算是分式了，如：（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1=1y仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
6．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
8．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
9．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
10．二元一次方程的应用
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
11．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
12．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
13．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
14．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
15．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
16．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
17．一元一次不等式的应用
（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解．
18．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
19．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
20．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
　　（3）将数据分组．
　　（4）列频率分布表．
21．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．　　③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
22．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则x=1n（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
23．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
24．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
25．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
26．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
27．标准差
（1）标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．
公式：s＝s2＝1n[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]
（2）标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标．标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
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