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山东省东营市垦利区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制） (含答案)
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这是一份山东省东营市垦利区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制） (含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省东营市垦利区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝ D．直线x＝2
3．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
4．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
10．如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设y＝0），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（11-14题，每题3分；15-18题，每题4分；共28分）
11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 ．
12．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m才能停下来．
13．长方体的主视图、俯视图如图，则其左视图面积为 ．
14．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为4，则反比例函数的解析式为 ．
15．一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为 ．
16．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，当销售单价为 元时，该文具每天的销售利润最大．
17．如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为 m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的结论是 ．
三、解答题（共62分）
19．（1）2﹣1+（2﹣π）0﹣tan60°﹣cos60°；
（2）sin245°﹣+（﹣2022）0+6tan30°．
20．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
21．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 ．
22．某公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于20元．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值．
23．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
24．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
【分析】利用二次函数的对称轴，顶点坐标，开口方向，最值以及增减性逐一分析得出答案即可．
解：二次函数y＝2x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），有最小值为0，当x＞0，y随着x的增大而增大，当x＜0，y随着x的增大而减小；
y＝﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），有最大值为0，当x＞0，y随着x的增大而减小，当x＜0，y随着x的增大而增大；
二次函数y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），有最小值为0，当x＞0，y随着x的增大而增大，当x＜0，y随着x的增大而减小；
具有的一个共同性质是：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
故选：B．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数y＝ax2的性质是解决问题的关键．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝ D．直线x＝2
【分析】由于x＝1和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，
∴对称轴为直线x＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称性，掌握对称轴的求解方法是解题的关键．
3．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
【分析】根据太阳光下从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2），
∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
4．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，
抛物线y＝（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是直线x＝﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．
7．若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
【分析】分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解：分为两种情况：
①当函数是二次函数时，
∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0且m≠0，
解得：m＝±2，
②当函数是一次函数时，m＝0，
此时函数解析式是y＝2x+1，和x轴只有一个交点，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．
解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；
∴双曲线的图象在第二、四象限；
由于抛物线开口向上，所以a＞0；
对称轴x＝＞0，所以b＜0；
抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；
∴直线y＝bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答．
9．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．
解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
10．如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设y＝0），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点D的运动可知，当点D运动到点C时，用时1s，由此可排除D选项；当点D在AC上，即0≤x≤1时，由点D的运动可知，AD＝2x，AD＝x，DE＝x，所以y＝•AE•DE＝x•x＝x2，由此可排除A和B选项，当点D在BC上，即1≤x≤2时，经过验证，C选项正确．
解：根据题意可知，当点D运动到点C时，2x＝2，即x＝1时，△ADE的面积发生变化，由此可排除D选项；
①当点D在AC上，即0≤x≤1时，如图，
由点D的运动可知，AD＝2x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝x，DE＝x，
∴y＝•AE•DE＝x•x＝x2，
由此可排除A，B；
②当点D在BC上，即1≤x≤2时，如图，
由点D的运动可知，AC+CD＝2x，
∴BD＝4﹣2x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝2﹣x，AE＝x，
∴DE＝（2﹣x），
∴y＝•AE•DE＝x•（2﹣x）＝﹣x2+x．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（11-14题，每题3分；15-18题，每题4分；共28分）
11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 105° ．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
12．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 20 m才能停下来．
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
解：依题意：该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣2）2+20，
当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．
故惯性汽车要滑行20米．
【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．
13．长方体的主视图、俯视图如图，则其左视图面积为 3 ．
【分析】根据主视图可得到长方体的长和高，俯视图可得到长方体的宽，左视图表现长方体的宽和高，让宽×高即为左视图的面积．
解：由主视图可得长方体的高为1，长为4，
由俯视图可得宽为3，
则左视图的面积为3×1＝3；
故答案为：3．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，根据其他视图得到几何体的长和高是解决本题的关键．
14．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为4，则反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
解：由于A是图象上任意一点，则S△AOM＝|k|＝4，
∵反比例函数的图象在二、四象限，k＜0，
∴k＝﹣8．
所以这个反比例函数的解析式是y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为 7 ．
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可．
解：由俯视图易得最底层有4个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，由主视图第三层最少有1个正方体，
那么最少有4+2+1＝7个立方体．
故答案为：7．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数．
16．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大．
【分析】设该文具定价为x元，每天的利润为y元，根据每天利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，用函数的性质求最值．
解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，y最大，最大值为2250，
故答案为：35．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
17．如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为 8.7 m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）
【分析】先根据CD的长以及坡角求出落在斜坡上的影长在地面上的实际长度，即可知AB的总影长，然后根据1 m杆的影子长为2 m，求解电线杆的高度．
解：作DE⊥BC于E．则电线杆的高度分3部分进行求解．
BC对应的电线杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2＝5；
在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE＝2．
根据勾股定理，得CE＝2；
因为DE⊥BC，则DE对应的电线杆高度和DE相等，CE对应的电线杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，
是2÷2＝．
故电线杆的高度是5+2+≈8.7．
【点评】注意：影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据同一时刻物高与影长成比例进行计算．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的结论是 ①②④⑤ ．
【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对③进行判断；根据抛物线在直线y＝3上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据图象即可对⑤进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故③错误；
∵（0，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（2，3），
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
∵x＝﹣2时，y＜0，x＝2时，y＞0，
∴在抛物线上的两点（﹣2，y1），（2，y2），有y1＜0＜y2，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（共62分）
19．（1）2﹣1+（2﹣π）0﹣tan60°﹣cos60°；
（2）sin245°﹣+（﹣2022）0+6tan30°．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：（1）2﹣1+（2﹣π）0﹣tan60°﹣cos60°
＝+1﹣×﹣
＝+1﹣1﹣
＝0；
（2）sin245°﹣+（﹣2022）0+6tan30°
＝（）2﹣3+×1+6×
＝﹣3++2
＝1﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，
∴∠ODE＝2∠C＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．
【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
21．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 ﹣3＜x＜0或x＞2 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 （3，0）或（﹣5，0） ．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式．
（2）通过观察图象交点求解．
（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．
解：（1）将（2，3）代入得3＝，
解得k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
∴﹣2n＝6，
解得n＝﹣3，
所以点B坐标为（﹣3，﹣2），
把（﹣3，﹣2），（2，3）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1．
（2）由图象可得当﹣3＜x＜0或x＞2时式．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞2．
（3）设点P坐标为（m，0），一次函数与x轴交点为E，
把y＝0代入y＝x+1得0＝x+1，
解得x＝﹣1，
∴点E坐标为（﹣1，0）．
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×3PE+×2PE＝PE，
∴PE＝10，即|m+1|＝10，
解得m＝3或m＝﹣5．
∴点P坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
故答案为：（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系．
22．某公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于20元．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值．
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，再用待定系数法求函数解析式；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b．代（12，2000），（20，400），
得，
解得，
∴y与x之间的函数解析式y＝﹣200x+4400（12≤x≤20）；
②当20＜x≤24时，y＝400．
综上，y与x之间的函数解析式为y＝；
（2）根据题意：W＝（x﹣12）y
＝（x﹣12）（﹣200x+4400）
＝﹣200（x﹣17）2+5000，
当x＝17时，W的最大值为5000，
答：这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值是5000元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
【分析】（1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围．
（2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值．
解：（1）由题意得：
x2+20x，
自变量x的取值范围是0＜x≤18；
∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+20x（0＜x≤18）；
（2）y＝﹣x2+20x
＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，0＜x≤18，
∴当x＝18时，y有最大值，最大值为192，
即当x＝18时，满足条件的绿化带面积最大．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
24．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
【分析】过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
解：由题意得：∠DOC＝45°，∠BOD＝15°，OB＝80km，
∴∠BOC＝30°，OB＝80km，
如图，作BG⊥OC于G，
∴BG＝OB＝40km，
∵40＜50，
∴会受到影响，
如图：BE＝BF＝50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，
∵BG＝40km，
∴EG＝＝30km，
∴EF＝2EG＝60km，
∵风速为40km/h，
∴60÷40＝1.5（小时），
∴影响时间约为1.5小时．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果；
（2）作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′，得D′坐标为（5，4），连结ND′交直线x＝3于点M，此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，即NM+MD最小，利用待定系数法求出直线NM的函数关系式，进而求出求出m的值；
（3）如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），表示出PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，又S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）•3，化为顶点式即可求出S△APC的最大值．
解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，
解得，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得
，
解得，
∴直线AC为y＝x+1；
（2）如图1，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′
得D′坐标为（5，4），
连结ND′交直线x＝3于点M，
此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，
即NM+MD最小，
设直线ND′的关系式为：y＝ax+b，
把点N（0，3）和D′（5，4）代入得，
得a＝，b＝3，
∴直线NM的函数关系式为：y＝x+3，
当x＝3时，y＝，
∴m＝；
（3）如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴△APC面积的最大值为．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键．
2022-2023学年山东省东营市垦利区九年级第一学期期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝ D．直线x＝2
3．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
4．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
10．如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设y＝0），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（11-14题，每题3分；15-18题，每题4分；共28分）
11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 ．
12．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m才能停下来．
13．长方体的主视图、俯视图如图，则其左视图面积为 ．
14．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为4，则反比例函数的解析式为 ．
15．一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为 ．
16．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，当销售单价为 元时，该文具每天的销售利润最大．
17．如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为 m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的结论是 ．
三、解答题（共62分）
19．（1）2﹣1+（2﹣π）0﹣tan60°﹣cos60°；
（2）sin245°﹣+（﹣2022）0+6tan30°．
20．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
21．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 ．
22．某公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于20元．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值．
23．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
24．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴
C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
【分析】利用二次函数的对称轴，顶点坐标，开口方向，最值以及增减性逐一分析得出答案即可．
解：二次函数y＝2x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），有最小值为0，当x＞0，y随着x的增大而增大，当x＜0，y随着x的增大而减小；
y＝﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），有最大值为0，当x＞0，y随着x的增大而减小，当x＜0，y随着x的增大而增大；
二次函数y＝x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），有最小值为0，当x＞0，y随着x的增大而增大，当x＜0，y随着x的增大而减小；
具有的一个共同性质是：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
故选：B．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数y＝ax2的性质是解决问题的关键．
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
y
5
1
﹣1
﹣1
1
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝ D．直线x＝2
【分析】由于x＝1和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．
解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1，
∴对称轴为直线x＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称性，掌握对称轴的求解方法是解题的关键．
3．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．（3）（1）（4）（2） B．（3）（2）（1）（4）
C．（3）（4）（1）（2） D．（2）（4）（1）（3）
【分析】根据太阳光下从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
解：西为（3），西北为（4），东北为（1），东为（2），
∴将它们按时间先后顺序排列为（3）（4）（1）（2）．
故选：C．
【点评】本题考查了平行投影的特点和规律．在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚物体影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
4．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
5．抛物线y＝（x+2）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解：抛物线y＝x2向左平移2个单位可得到抛物线y＝（x+2）2，
抛物线y＝（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y＝（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
6．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．
解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是直线x＝﹣1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断．
7．若函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（ ）
A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2
【分析】分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．
解：分为两种情况：
①当函数是二次函数时，
∵函数y＝mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，
∴△＝（m+2）2﹣4m（m+1）＝0且m≠0，
解得：m＝±2，
②当函数是一次函数时，m＝0，
此时函数解析式是y＝2x+1，和x轴只有一个交点，
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．
8．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题需要根据抛物线的位置，反馈数据的信息，即a+b+c，b，b2﹣4ac的符号，从而确定反比例函数、一次函数的图象位置．
解：由抛物线的图象可知，横坐标为1的点，即（1，a+b+c）在第四象限，因此a+b+c＜0；
∴双曲线的图象在第二、四象限；
由于抛物线开口向上，所以a＞0；
对称轴x＝＞0，所以b＜0；
抛物线与x轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0；
∴直线y＝bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与各系数的关系，同学们要细心解答．
9．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠AOB，根据垂径定理求出AD＝BD，根据等腰三角形性质得出∠BOC＝∠AOB，代入求出即可．
解：∵∠A＝50°，OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵点C是的中点，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，等腰三角形的性质的应用，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么其余两对也相等．
10．如图，在等边△ABC中，AB＝2，点D从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B运动，过点D作AB的垂线，垂足为点E．设点D的运动时间为x秒，△ADE的面积为y（当A，D，E三点共线时，不妨设y＝0），则能够反映y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据点D的运动可知，当点D运动到点C时，用时1s，由此可排除D选项；当点D在AC上，即0≤x≤1时，由点D的运动可知，AD＝2x，AD＝x，DE＝x，所以y＝•AE•DE＝x•x＝x2，由此可排除A和B选项，当点D在BC上，即1≤x≤2时，经过验证，C选项正确．
解：根据题意可知，当点D运动到点C时，2x＝2，即x＝1时，△ADE的面积发生变化，由此可排除D选项；
①当点D在AC上，即0≤x≤1时，如图，
由点D的运动可知，AD＝2x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝x，DE＝x，
∴y＝•AE•DE＝x•x＝x2，
由此可排除A，B；
②当点D在BC上，即1≤x≤2时，如图，
由点D的运动可知，AC+CD＝2x，
∴BD＝4﹣2x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BE＝2﹣x，AE＝x，
∴DE＝（2﹣x），
∴y＝•AE•DE＝x•（2﹣x）＝﹣x2+x．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（11-14题，每题3分；15-18题，每题4分；共28分）
11．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 105° ．
【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数．
解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，
∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，
即sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．
故答案为：105°．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质．
12．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 20 m才能停下来．
【分析】由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答．
解：依题意：该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣2）2+20，
当t＝2时，汽车停下来，滑行了20m．
故惯性汽车要滑行20米．
【点评】本题涉及二次函数的实际应用，难度中等．
13．长方体的主视图、俯视图如图，则其左视图面积为 3 ．
【分析】根据主视图可得到长方体的长和高，俯视图可得到长方体的宽，左视图表现长方体的宽和高，让宽×高即为左视图的面积．
解：由主视图可得长方体的高为1，长为4，
由俯视图可得宽为3，
则左视图的面积为3×1＝3；
故答案为：3．
【点评】此题考查了由三视图判断几何体，根据其他视图得到几何体的长和高是解决本题的关键．
14．如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM的面积为4，则反比例函数的解析式为 y＝﹣ ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
解：由于A是图象上任意一点，则S△AOM＝|k|＝4，
∵反比例函数的图象在二、四象限，k＜0，
∴k＝﹣8．
所以这个反比例函数的解析式是y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
15．一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为 7 ．
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可．
解：由俯视图易得最底层有4个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，由主视图第三层最少有1个正方体，
那么最少有4+2+1＝7个立方体．
故答案为：7．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体．俯视图小正方形的个数即为最底层的小正方体的个数，主视图第二层和第三层小正方形的个数即为其余层数小正方体的最少个数．
16．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，当销售单价为 35 元时，该文具每天的销售利润最大．
【分析】设该文具定价为x元，每天的利润为y元，根据每天利润＝单件利润×销售量列出函数解析式，用函数的性质求最值．
解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，
根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
＝（x﹣20）（﹣10x+500）
＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝35时，y最大，最大值为2250，
故答案为：35．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
17．如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为 8.7 m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）
【分析】先根据CD的长以及坡角求出落在斜坡上的影长在地面上的实际长度，即可知AB的总影长，然后根据1 m杆的影子长为2 m，求解电线杆的高度．
解：作DE⊥BC于E．则电线杆的高度分3部分进行求解．
BC对应的电线杆的高度：根据同一时刻物高与影长成比例，得10÷2＝5；
在Rt△CDE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得DE＝2．
根据勾股定理，得CE＝2；
因为DE⊥BC，则DE对应的电线杆高度和DE相等，CE对应的电线杆高度同样根据：同一时刻物高与影长成比例，
是2÷2＝．
故电线杆的高度是5+2+≈8.7．
【点评】注意：影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据同一时刻物高与影长成比例进行计算．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；②3a+c＝0；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；
⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．
其中结论正确的结论是 ①②④⑤ ．
【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对③进行判断；根据抛物线在直线y＝3上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据图象即可对⑤进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故③错误；
∵（0，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（2，3），
∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
∵x＝﹣2时，y＜0，x＝2时，y＞0，
∴在抛物线上的两点（﹣2，y1），（2，y2），有y1＜0＜y2，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题（共62分）
19．（1）2﹣1+（2﹣π）0﹣tan60°﹣cos60°；
（2）sin245°﹣+（﹣2022）0+6tan30°．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
解：（1）2﹣1+（2﹣π）0﹣tan60°﹣cos60°
＝+1﹣×﹣
＝+1﹣1﹣
＝0；
（2）sin245°﹣+（﹣2022）0+6tan30°
＝（）2﹣3+×1+6×
＝﹣3++2
＝1﹣．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，试求∠EOB的度数．
【分析】利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
解：∵CD＝OA＝OD，∠C＝23°，
∴∠ODE＝2∠C＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠EOB＝∠C+∠E＝46°+23°＝69°．
【点评】本题考查了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键．
21．如图，已知反比例函数的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（2，3）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）不等式的解集是 ﹣3＜x＜0或x＞2 ；
（3）若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是10，请直接写出点P的坐标是 （3，0）或（﹣5，0） ．
【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式求出k，从而求出点B坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式．
（2）通过观察图象交点求解．
（3）设点P坐标为（m，0），通过三角形PAB的面积为10及三角形面积公式求解．
解：（1）将（2，3）代入得3＝，
解得k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝．
∴﹣2n＝6，
解得n＝﹣3，
所以点B坐标为（﹣3，﹣2），
把（﹣3，﹣2），（2，3）代入y＝ax+b得：
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1．
（2）由图象可得当﹣3＜x＜0或x＞2时式．
故答案为：﹣3＜x＜0或x＞2．
（3）设点P坐标为（m，0），一次函数与x轴交点为E，
把y＝0代入y＝x+1得0＝x+1，
解得x＝﹣1，
∴点E坐标为（﹣1，0）．
∴S△PAB＝S△PAE+S△PBE＝×3PE+×2PE＝PE，
∴PE＝10，即|m+1|＝10，
解得m＝3或m＝﹣5．
∴点P坐标为（3，0）或（﹣5，0）．
故答案为：（3，0）或（﹣5，0）．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系．
22．某公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于20元．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值．
【分析】（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b，再用待定系数法求函数解析式；
（2）根据总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b．代（12，2000），（20，400），
得，
解得，
∴y与x之间的函数解析式y＝﹣200x+4400（12≤x≤20）；
②当20＜x≤24时，y＝400．
综上，y与x之间的函数解析式为y＝；
（2）根据题意：W＝（x﹣12）y
＝（x﹣12）（﹣200x+4400）
＝﹣200（x﹣17）2+5000，
当x＝17时，W的最大值为5000，
答：这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值是5000元．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
23．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
【分析】（1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围．
（2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值．
解：（1）由题意得：
x2+20x，
自变量x的取值范围是0＜x≤18；
∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+20x（0＜x≤18）；
（2）y＝﹣x2+20x
＝﹣（x﹣20）2+200，
∵﹣＜0，0＜x≤18，
∴当x＝18时，y有最大值，最大值为192，
即当x＝18时，满足条件的绿化带面积最大．
【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
24．如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由．
【分析】过点B作BG⊥OC于点G，可求得BG的长，由离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，即可知会受到影响，然后由勾股定理求得受影响的范围长，即可求得影响的时间．
解：由题意得：∠DOC＝45°，∠BOD＝15°，OB＝80km，
∴∠BOC＝30°，OB＝80km，
如图，作BG⊥OC于G，
∴BG＝OB＝40km，
∵40＜50，
∴会受到影响，
如图：BE＝BF＝50km，由题意知，台风从E点开始影响B城市到F点影响结束，
∵BG＝40km，
∴EG＝＝30km，
∴EF＝2EG＝60km，
∵风速为40km/h，
∴60÷40＝1.5（小时），
∴影响时间约为1.5小时．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得结果；
（2）作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′，得D′坐标为（5，4），连结ND′交直线x＝3于点M，此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，即NM+MD最小，利用待定系数法求出直线NM的函数关系式，进而求出求出m的值；
（3）如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），表示出PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）＝﹣x2+x+2，又S△APC＝S△APQ+S△CPQ＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）•3，化为顶点式即可求出S△APC的最大值．
解：（1）由抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得
，
解得，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3；
设直线为y＝kx+n过点A（﹣1，0）及C（2，3），得
，
解得，
∴直线AC为y＝x+1；
（2）如图1，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），
作直线x＝3，作点D关于直线x＝3的对称点D′
得D′坐标为（5，4），
连结ND′交直线x＝3于点M，
此时N、M、D′三点共线时，NM+MD′最小，
即NM+MD最小，
设直线ND′的关系式为：y＝ax+b，
把点N（0，3）和D′（5，4）代入得，
得a＝，b＝3，
∴直线NM的函数关系式为：y＝x+3，
当x＝3时，y＝，
∴m＝；
（3）如图2，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），
∴PQ＝（﹣x2+2x+3）﹣（x+1）
＝﹣x2+x+2
又∵S△APC＝S△APQ+S△CPQ
＝PQ•AG＝（﹣x2+x+2）×3＝﹣（x﹣）2+，
∴△APC面积的最大值为．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关系式求最值，利用对称知识求最值，正确地作出辅助线是解题的关键．
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