天津市津南区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(含答案)

这是一份天津市津南区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列图形中具有稳定性的是，若x2+ax+9＝，若分式的值是0，则x的值是，正五边形的外角和为，分式方程的解是，下列因式分解正确的是等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市津南区八年级第一学期期中数学试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．（ab）2＝ab2
2．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．锐角三角形
3．若x2+ax+9＝（x+3）2，则a的值为（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
4．若分式的值是0，则x的值是（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
5．正五边形的外角和为（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8
7．分式方程的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝﹣1 D．x＝1
8．正n边形的内角和等于900°，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
10．如图，已知AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，若∠ABC＝34°，∠ACB＝64°，则∠DAE的大小是（　　）

A．5° B．13° C．15° D．20°
11．如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．5
12．根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（　　）
①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）

A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：＝　 　．
14．计算：＝　 　．
15．方程的最简公分母是　 　 　．
16．若（x+3）（x+m）＝x2﹣2x﹣15．则m＝　 　．
17．若a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝　 　．
18．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
三．计算题（本大题共3小题，共22分）
19．分解因式：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（2）16x4﹣1．
20．解方程：﹣＝1．
21．先化简，再求值：
（1）4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
（2），其中a＝2．
四．解答题（本大题共3小题，共24分）
22．列方程解应用题
八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
23．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．

24．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　 　度，∠P＝　 　度．
（2）∠A与∠P的数量关系为　 　，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　 　．



参考答案
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3＝a5 B．a3•a3＝a9 C．（a3）2＝a6 D．（ab）2＝ab2
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，对各选项分析判断后得结论．
解：因为a2与a3不是同类项，所以选项A不正确；
a3•a3＝a6≠a9，所以选项B不正确；
（a3）2＝a3×2＝a6，所以选项C正确；
（ab）2＝a2b2≠ab2，所以选项D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
2．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．锐角三角形
【分析】根据三角形具有稳定性解答．
解：正方形，长方形，平行四边形，锐角三角形中只有锐角三角形具有稳定性．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的稳定性，是基础题，需熟记．
3．若x2+ax+9＝（x+3）2，则a的值为（　　）
A．3 B．±3 C．6 D．±6
【分析】根据题意可知：将（x+3）2展开，再根据对应项系数相等求解．
解：∵x2+ax+9＝（x+3）2，
而（x+3）2＝x2+6x+9；
即x2+ax+9＝x2+6x+9，
∴a＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，利用对应项系数相等求解是解题的关键．
4．若分式的值是0，则x的值是（　　）
A．±1 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】根据分式的值为0的条件得到x2﹣1＝0且x+1≠0，然后解方程和不等式得到满足条件的x的值．
解：根据题意得x2﹣1＝0且x+1≠0，
解得x＝1，
即x的值为1．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
5．正五边形的外角和为（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．
解：任意多边形的外角和都是360°，
故正五边形的外角和的度数为360°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．
6．生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.2×107 B．3.2×108 C．3.2×10﹣7 D．3.2×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00000032＝3.2×10﹣7；
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．分式方程的解是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝﹣1 D．x＝1
【分析】根据解分式方程的步骤求解即可．
解：两边同乘x（x﹣2），
得5x＝3（x﹣2），
解得x＝﹣3，
经检验，x＝﹣3是原方程的根，
故选：B．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
8．正n边形的内角和等于900°，则n的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
解：这个多边形的边数是n，
则：（n﹣2）180°＝900°，
解得n＝7．
故选：C．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
9．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝a（a﹣3）﹣4
C．a2+b2﹣2ab＝（a+b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
【分析】根据提取公因式法，十字相乘法以及公式法进行因式分解．
解：A、原式＝x（x﹣1），故本选项不符合题意．
B、原式＝（a﹣4）（a+1），故本选项不符合题意．
C、原式＝（a﹣b）2，故本选项不符合题意．
D、原式＝（x+y）（x﹣y），故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．也考查了提公因式法与公式法的综合运用．
10．如图，已知AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，若∠ABC＝34°，∠ACB＝64°，则∠DAE的大小是（　　）

A．5° B．13° C．15° D．20°
【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠BAE的度数，再求出∠DAE的度数．
解：∵∠BAC＝180°﹣34°﹣64°＝82°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝41°，
∵∠ABC＝34°，AD是BC边上的高．
∴∠BAD＝90°﹣34°＝56°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝56°﹣41°＝15°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为（　　）

A．10 B．8 C．6 D．5
【分析】依据P是△ABC的重心，即可得到AD是△ABC的中线，进而得出△ADC的面积等于△ABC面积的一半．
解：∵P是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的中线，
∴△ADC的面积等于△ABC面积的一半，
又∵△ABC的面积为20，
∴△ADC的面积为10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点．
12．根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（　　）
①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）

A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④
【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．
解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，
则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；
②如图所示：

阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；
④如图所示：

阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；
③由④知本项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．计算：＝　3　．
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂计算即可．
解：原式＝1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了零指数幂和负整数指数幂，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．
14．计算：＝　2　．
【分析】根据分式加减法则即可求出答案．
解：原式＝＝2
故答案为：2
【点评】本题考查分式的加减法，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
15．方程的最简公分母是　 　2x﹣3　．
【分析】把方程，化为+1＝﹣，即可得出最简公分母是2x﹣3．
解：∵，
∴+1＝﹣，
∴最简公分母是2x﹣3．
故答案为：2x﹣3．
【点评】本题考查了解分式方程，最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键．
16．若（x+3）（x+m）＝x2﹣2x﹣15．则m＝　﹣5　．
【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m的值即可．
解：已知等式整理得：x2+（m+3）x+3m＝x2﹣2x﹣15，
∴3m＝﹣15，即m＝﹣5，
则m的值是﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．若a+b＝5，ab＝3，则a2+b2＝　19　．
【分析】首先把等式a+b＝5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2＝25，然后根据题意即可得解．
解：∵a+b＝5，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19．
故答案为19．
【点评】本题主要考查完全平方公式，解题的关键在于把等式a+b＝5的等号两边分别平方．
18．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为　12　．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
解：分情况讨论：
①当三边是2，2，5时，2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应舍去；
②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．
故填12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
三．计算题（本大题共3小题，共22分）
19．分解因式：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（2）16x4﹣1．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式利用平方差公式分解即可．
解：（1）原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（y﹣3x）2；
（2）原式＝（4x2+1）（4x2﹣1）＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．解方程：﹣＝1．
【分析】观察可得方程最简公分母为：（x+1）（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解：方程两边同乘（x+1）（x﹣1），得
（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
整理得2x﹣2＝0，
解得x＝1．
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，应舍去．
∴原方程无解．
【点评】解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验．
21．先化简，再求值：
（1）4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
（2），其中a＝2．
【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
解：（1）原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9
＝﹣8x+13，
当x＝﹣1时，
原式＝8+13＝21；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
【点评】本题主要考查分式和整式的化简求值，解题的关键是掌握相关的混合运算顺序和运算法则．
四．解答题（本大题共3小题，共24分）
22．列方程解应用题
八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
【分析】设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，根据题意可得，乘坐汽车比骑自行车少用20min，据此列方程求解．
解：设骑车学生的速度为xkm/h，
由题意得，﹣＝，
解得：x＝15．
经检验：x＝15是原方程的解．
答：骑车学生的速度为15km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
23．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠DAC的度数．

【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3＝2∠2，因此∠4＝2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
解：设∠1＝∠2＝x，则∠3＝∠4＝2x．
因为∠BAC＝63°，
所以∠2+∠4＝117°，即x+2x＝117°，
所以x＝39°；
所以∠3＝∠4＝78°，
∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
24．【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）若∠ABC＝80°，∠ACB＝50°．则∠A＝　50　度，∠P＝　115　度．
（2）∠A与∠P的数量关系为　∠P﹣∠A＝90°　，并说明理由．
【应用】如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P．∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q．直接写出∠A与∠Q的数量关系为　∠Q＝90°﹣∠A　．

【分析】【探究】（1）由三角形内角和定理进行计算即可；
（2）由角平分线定义得∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论；
【应用】由角平分线定义可得∠CBQ＝90°﹣∠ABC，∠BCQ＝90°﹣∠ACB，再根据三角形内角和定理，即可得到结论．
【解答】【探究】
解：（1）∵∠ABC＝80°，∠ACB＝50°，
∴∠A＝1880°﹣80°﹣50°＝50°，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACB，
∴∠BCP+∠CBP＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：50，115；
（2）∠P﹣∠A＝90°．理由如下：
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°∠P+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠P+（∠ABC+∠ACB）＝180°，
∴∠P+（180°﹣∠A）＝180°，
∴∠P﹣∠A＝90°；
故答案为：∠P﹣∠A＝90°；
【应用】
解：∠Q＝90°﹣∠A．理由如下：
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，
∴∠CBQ＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，
∠BCQ＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB，
∴△BCQ中，∠Q＝180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）＝180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB），
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A；
故答案为：∠Q＝90°﹣∠A．


【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质的应用等知识，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，能正确进行推理计算是解题的关键．