浙江省宁波市鄞州区七校联考2022-2023学年八年级上学期期中检测数学试题(含答案)

这是一份浙江省宁波市鄞州区七校联考2022-2023学年八年级上学期期中检测数学试题(含答案)，共24页。试卷主要包含了下列图形中，轴对称图形有，下列命题中，是真命题的是，已知等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年浙江省宁波市鄞州区七校联考八年级第一学期期中数学试卷
一.精心选一选：（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，轴对称图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若a＜b，b＜2a，则a与2a的大小关系是（　　）
A．a＜2a B．a＞2a
C．a＝2a D．与a的取值有关
3．已知三角形的两边长分别为3，4，则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．成轴对称的两个图形是全等图形
B．面积相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高线相交于三角形内一点
D．内错角相等
5．不等式3+x＞3x﹣5的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
7．已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　）

A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
8．如图，在△ABC中，BD＝CD，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若AB＝5，则DE的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
9．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影等于（　　）cm2．

A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于O，若OB＝2，则B点到AQ的距离等于（　　）

A．1 B．2 C． D．
二.细心填一填：（每小题3分，共24分）
11．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝125°，∠A＝75°，则∠B＝　 　度．

12．已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝80°，则△ABC的顶角度数是 　 　．
13．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　 　．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是　 　．

15．如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D．若∠A＝40°，则∠DBC＝　 　．

16．下列条件：①∠C＝∠A﹣∠B；②∠A：∠B：∠C＝5：2：3；③a＝c，b＝c；④a：b：c＝1：2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 　 　个．
17．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是　 　．
18．如图：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线．（1）则CD＝　 　；
（2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动，　 　秒钟后△EAD是直角三角形．

三.用心做一做（共46分）
19．解下列不等式（组），并把（1）的解集在数轴上表示出来．
（1）7x≥5x+2；
（2）解不等式组：．
20．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．

（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为的直角三角形；
（3）请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE．
21．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝140°，求∠D的度数．

22．双十一前，妈妈购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，已知购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元．
（1）求双十一前购买一个甲种、一个乙种物品各需多少元？
（2）双十一期间，甲种物品售价比上一次购买时减价2元，乙种物品按上一次购买时售价的8折出售，如果妈妈此时再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，求至多需要购买多少个甲种物品？
23．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．

（1）①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．则EF，BE，CF之间有何数量关系．直接写出结论．

24．如图，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，D在同一直线上，连接AD，BD．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）探求AD与BE的数量和位置关系；
（3）若AC＝，EC＝，求线段AD的长．



参考答案
一.精心选一选：（每小题3分，共30分）
1．下列图形中，轴对称图形有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：左起第三、第四两个图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
第一、第二两个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．若a＜b，b＜2a，则a与2a的大小关系是（　　）
A．a＜2a B．a＞2a
C．a＝2a D．与a的取值有关
【分析】直接根据实数比较大小的法则进行解答即可．
解：∵a＜b，b＜2a，
∴a＜b＜2a，
∴a＜2a．
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知有理数大小比较的法则是解题的关键．
3．已知三角形的两边长分别为3，4，则第三边长的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形三边关系确定出第三条边长的范围，表示在数轴上即可．
解：已知三角形的两边长分别为3，4，则第三边长的取值范围为4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，
表示在数轴上为：

故选：B．
【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及三角形三边关系，求出第三边的范围是解本题的关键．
4．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．成轴对称的两个图形是全等图形
B．面积相等的两个三角形全等
C．三角形的三条高线相交于三角形内一点
D．内错角相等
【分析】根据轴对称性质对A进行判断；
根据三角形全等的判定方法对B进行判断；
根据三角形垂心的定义对C进行判断；
根据平行线的性质对D进行判断．
解：A、成轴对称的两个图形是全等图形，所以A选项正确；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，所以B选项错误；
C、三角形的三条高线可能相交于三角形内一点，也可能相交于三角形一边上或三角形外，所以C选项错误；
D、两直线平行，内错角相等，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
5．不等式3+x＞3x﹣5的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
解：3+x＞3x﹣5，
x﹣3x＞﹣5﹣3，
﹣2x＞﹣8，
x＜4，
∴该不等式的正整数解为：3，2，1，共有3个正整数解，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
6．如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）

A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
7．已知：如图，AC＝CD，∠B＝∠E＝90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（　　）

A．∠A与∠D互为余角 B．∠A＝∠2
C．△ABC≌△CED D．∠1＝∠2
【分析】先根据角角边证明△ABC与△CED全等，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．
解：∵AC⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠1+∠A＝90°，
∴∠A＝∠2，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
故B、C选项正确；
∵∠2+∠D＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，
故A选项正确；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∠1+∠2＝90°，
但∠1不一定等于∠2，
故D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，先证明三角形全等是解决本题的突破口，也是难点所在．做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证．
8．如图，在△ABC中，BD＝CD，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若AB＝5，则DE的长为（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．4
【分析】根据等腰三角形的判定得出△ABC是等腰三角形，由等腰三角形ABC的两腰AB＝AC，求得AC＝5，在直角三角形ADC中，利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，求得DE．
解：∵在△ABC中，BD＝CD，AD⊥BC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC，
∴在△ADC是直角三角形中，E是AC的中点．
∴DE＝AC＝2.5，
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质．此题是一道基础题，只要同学们在做题过程中多一份细心，就会多一份收获的．
9．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则S阴影等于（　　）cm2．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】利用点D是BC的中点，可得S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝4cm2，再利用点E是AD的中点，可得S△BED＝S△ABD＝2cm2，S△CED＝S△ACD＝2cm2，从而可得S△BEC＝4cm2，然后利用点F是EC的中点，可得S△BEF＝S△BEC，进行计算即可解答．
解：∵点D是BC的中点，S△ABC＝8cm2，
∴S△ABD＝S△ADC＝S△ABC＝×8＝4（cm2），
∵点E是AD的中点，
∴S△BED＝S△ABD＝×4＝2（cm2），S△CED＝S△ACD＝×4＝2（cm2），
∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4（cm2），
∵点F是EC的中点，
∴S△BEF＝S△BEC＝×4＝2（cm2），
∴S阴影等于2cm2，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
10．如图，在等边△ABC的AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，AQ，BP相交于O，若OB＝2，则B点到AQ的距离等于（　　）

A．1 B．2 C． D．
【分析】作BD⊥AQ于点D，则∠ODB＝90°，先证明△BAP≌△ACQ，得∠ABP＝∠CAQ，再推导出∠BOD＝60°，则∠OBD＝30°，而OB＝2，得OD＝OB＝1，即可根据勾股定理求得BD＝，于是得到问题的答案．
解：作BD⊥AQ于点D，则∠ODB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAP＝∠C＝60°，
在△BAP和△ACQ中，
，
∴△BAP≌△ACQ（SAS），
∵∠ABP＝∠CAQ，
∴∠BOD＝∠BAQ+∠ABP＝∠BAQ+∠CAQ＝∠BAC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∵OB＝2，
∴OD＝OB＝1，
∴BD＝＝＝，
∴点B到AQ的距离等于，
故选：C．

【点评】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，证明△BAP≌△ACQ是解题的关键．
二.细心填一填：（每小题3分，共24分）
11．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝125°，∠A＝75°，则∠B＝　50　度．

【分析】根据三角形的内角与外角之间的关系解答即可．
解：∵∠ACD＝125°，∠ACD+∠ACB＝180°
∴∠ACB＝55°
∵∠A+∠ACB+∠B＝180°（三角形内角和定理）
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB
＝180°﹣75°﹣55°
＝50°．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
12．已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝80°，则△ABC的顶角度数是 　20°或80°　．
【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是80°；
当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×80°＝20°；
综上，△ABC的顶角度数是80°或20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
13．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 　两个角相等三角形是等腰三角形　．
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．
【点评】根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是　20　．

【分析】运用等腰三角形的性质，可得BD＝CD，再求出△ABC的周长．
解：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于点D
∴BD＝CD
∵AB＝6，CD＝4
∴△ABC的周长＝6+4+4+6＝20．
故答案为：20．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中的三线合一是解题的关键．
15．如图，△ABC中AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D．若∠A＝40°，则∠DBC＝　30°　．

【分析】先根据AB＝AC，∠A＝40°求出∠ABC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠A＝∠ABD＝40°即可求出∠DBC的度数．
解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝＝＝70°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．下列条件：①∠C＝∠A﹣∠B；②∠A：∠B：∠C＝5：2：3；③a＝c，b＝c；④a：b：c＝1：2：，则能确定△ABC是直角三角形的条件有 　4　个．
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的定义，勾股定理的逆定理解答即可．
解：①∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形；
②设∠A、∠B、∠C分别为5x、2x、3x，
由三角形内角和定理得，5x+2x+3x＝180°，
解得x＝18°，
则∠A＝5x＝90°，即△ABC为直角三角形；
③∵a＝c，b＝c，
∴a2+b2＝c2，故△ABC是直角三角形；
④∵a：b：c＝1：2：，
∴a2+c2＝b2，故△ABC是直角三角形．
故能确定△ABC是直角三角形的条件有4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
17．不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是　m≤4　．
【分析】首先解不等式﹣x+2＜x﹣6得x＞4，而x＞m，并且不等式组解集为x＞4，由此即可确定m的取值范围．
解：∵﹣x+2＜x﹣6，
解得x＞4，
而x＞m，并且不等式组解集为x＞4，
∴m≤4．
故答案为：m≤4．
【点评】此题主要考查了如何确定不等式组的解集，首先确定已知不等式的解集，然后结合不等式组的解集和另一个不等式的形式就可以确定待定系数m的取值范围．
18．如图：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，BD是∠ABC的角平分线．（1）则CD＝　3cm　；
（2）若点E是线段AB上的一个动点，从点B以每秒1cm的速度向A运动，　6或　秒钟后△EAD是直角三角形．

【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，利用角平分线的性质得CD＝DE，再根据面积法可得答案；
（2）分∠ADE＝90°或∠AED＝90°两种情形，分别画出图形，利用勾股定理可得答案．
解：（1）如图，过点D作DE⊥AB于E，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝，
∵BC∥AC，DE⊥BE，BD是∠ABC的角平分线，
∴CD＝DE，
∵S
∴设CD＝DE＝x，
则（8﹣x）×6＝10x，
解得x＝3，
即CD＝3cm，
故答案为：3cm；
（2）如图，当ED⊥AD时，

则ED∥BC，
∴∠CBD＝∠BDE，
∴∠BDE＝∠EBD，
∴BE＝DE，
设t秒后△EAD是直角三角形，
则BE＝DE＝tcm，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
52+t2＝（10﹣t）2，
解得t＝，
当DE⊥AB时，由（1）得CD＝DE＝3cm，

∵BD＝BD，
∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL），
∴BE＝BC＝6cm，
∴t＝6，
故答案为：6或．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
三.用心做一做（共46分）
19．解下列不等式（组），并把（1）的解集在数轴上表示出来．
（1）7x≥5x+2；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据不等式的性质解答．
（2）分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分．
解：（1）移项，得7x﹣5x≥2，
合并同类项，得2x≥2，
系数化为1，得x≥1，
在数轴上表示为
．
（2）
由①得 x＜3，
由②得 x＞1，
不等式组的解集为 1＜x＜3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），熟悉不等式的性质是解题的关键．
20．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．

（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；
（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为的直角三角形；
（3）请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE．
【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）根据要求作出三角形即可；
（3）根据三角形的高，角平分线的定义画出图形即可．
解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，△ABC即为所求；
（3）如图3中，线段AD，CE即为所求．


【点评】本题考查作图﹣设计作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的高角平分线等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝140°，求∠D的度数．

【分析】先根据三角形全等的判定方法得到△ABC≌△ADC，然后利用全等三角形的对应角相等得到∠D的度数．
解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠D＝140°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．双十一前，妈妈购买了甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，已知购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元．
（1）求双十一前购买一个甲种、一个乙种物品各需多少元？
（2）双十一期间，甲种物品售价比上一次购买时减价2元，乙种物品按上一次购买时售价的8折出售，如果妈妈此时再次购买甲、乙两种物品共35个，总费用不超过225元，求至多需要购买多少个甲种物品？
【分析】（1）设双十一前购买一个甲种物品需x元，一个乙种物品需y元，根据“购买甲种物品15个，乙种物品20个，共花费250元，购买一个甲种物品比购买一个乙种物品多花费5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出双十一前购买一个甲种、一个乙种物品所需的费用；
（2）设需要购买m个甲种物品，则购买（35﹣m）个乙种物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过225元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
解：（1）设双十一前购买一个甲种物品需x元，一个乙种物品需y元，
依题意得：，
解得：．
答：双十一前购买一个甲种物品需10元，一个乙种物品需5元．
（2）设需要购买m个甲种物品，则购买（35﹣m）个乙种物品，
依题意得：（10﹣2）m+5×80%（35﹣m）≤225，
解得：m≤21，
又∵m为正整数，
∴m可以取得的最大值为21．
答：至多需要购买21个甲种物品．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（1）如图1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．

（1）①求证：OE＝BE；②若△ABC的周长是25，BC＝9，试求出△AEF的周长；
（2）如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．则EF，BE，CF之间有何数量关系．直接写出结论．

【分析】（1）①由等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论；
②根据三角形的周长公式即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质即可得出答案．
【解答】（1）①证明：∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE；

②解：同法可证OF＝CF，
∴△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+AF+EB+FC＝AB+AC＝25﹣9＝16；

（2）解：结论：BE﹣EF＝CF．
理由：∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠OBC
∴∠EOB＝∠EBO，
∴OE＝BE，
同法可证OF＝CF，
∴BE﹣EF＝OF＝CF．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．如图，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，D在同一直线上，连接AD，BD．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）探求AD与BE的数量和位置关系；
（3）若AC＝，EC＝，求线段AD的长．

【分析】（1）由△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，得∠ABC＝∠DEC＝∠CDE＝45°，∠ACB＝∠DCE＝90°，进而证△ACD≌△BCE；
（2）由△ACD≌△BCE，即可得到结论；
（3）过点C作CF⊥AD于点F，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝∠CDE＝45°，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CE＝CD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：AD＝BE，AD⊥BE，理由如下：
∵△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC＝45°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
∴AD⊥BD；
（3）解：如图，过点C作CF⊥AD于点F，

由（2）知，∠ADE＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∵CF⊥AD，CE＝CD＝，
∴DF＝CF＝1，
∵AC＝BC＝，
∴AF＝＝3，
∴AD＝AF+DF＝4．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质定理，掌握三角形全等的判定和性质定理是解题的关键．