专题09 相似三角形的判定条件-2022-2023学年九年级数学上册同步知识点学习目标+对点训练(北师大版)

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相似三角形的判定条件 用两角判定三角形相似用两边夹角判定三角形相似用三边判定三角形相似目标1：用两角判定三角形相似定理：有两角对应相等的两个三角形相似.如图，是平行四边形的对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，图中相似三角形有　　A．6对 B．5对 C．4对 D．3对【分析】由四边形是平行四边形，得，，从而得到，，，，则，可得答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，，，相似三角形共有6对，故选：．已知：如图，，．求证：．【分析】由，可证得，又由，，，即可证得，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得．【解答】证明：，，，，又，，．如图，在中，，于点，点是边上一点，连接交于点，交边于点．求证：．【分析】充分利用图中的垂直条件寻求角之间的关系．由，得；由，得．两对角对应相等判定三角形相似．【解答】证明：，．　　　，．　　　，．　，．　　　　．　　　　　 目标2：用两边夹角判定三角形相似定理：两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似.如图，若点为的边上一点，下列条件不能判定的是　　A． B． C． D．【分析】欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可．【解答】解：、，因为，所以，不符合题意；、，因为，所以，不符合题意；、，因为，所以，不符合题意；、，因为，而和的夹角为，所以不能判定，符合题意．故选：．如图，为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是　　A． B． C． D．【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．【解答】解：，，又，，故选不合题意，，，，故选不合题意，，，，故选不合题意，故选：．如图，在中，，．在图中的三角形中，两两相似的三角形对数为　　A．2 B．3 C．4 D．5【分析】由垂线的定义得出，由，，得出，同理：，即可得出；【解答】解：，，又，，同理：，，故选：．如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间是　　A．或 B． C． D．或【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．【解答】解：如果两点同时运动，设运动秒时，以点、、为顶点的三角形与相似，则，，，①当与对应时，有，，，；②当与对应时，有，，，，当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，故选：．如图，在中，点在边上，点、点在边上，且，．（1）求证：；（2）如且，，．求证：．【分析】（1）先由平行线分线段成比例定理得，再证，即可得出结论；（2）先证，从而可证．【解答】证明：（1），，，，；（2），，，，，，，，，，又，．如图，、为的高，求证：．【分析】由条件可证明，则可得到，且，即可证明．【解答】证明：，，，且，，，即又，．如图，四边形的对角线与相交于点，求证：．【分析】由，，可证得，然后由相似三角形的对应边成比例，可得，又由，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证得：．【解答】证明：，，，，，又，． 目标3：用三边判定三角形相似定理：三边对应成比例的两个三角形相似.已知的三边长分别为1，，，的三边长分别，，，则与　　A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判定是否相似【分析】求出三组对应边的比，看看是否相等即可作出判断．【解答】解：因为，所以与一定相似．故选：．9．下列格点三角形中，与已知格点相似的是　　A． B． C． D．【分析】设小正方形的边长是1，先求出的三边长，再分别求出每个选项中三角形的三边的长度，求出对应的边的比值，看看是否相等，再根据相似三角形的判定定理判定即可．【解答】解：设小正方形的边长是1，由勾股定理得：，，，．三角形的三边的长度分别为：，2，4，，，，，所以与格点相似，故本选项符合题意；．三角形的三边的长度分别为：2，，，，，，，所以与格点不相似，故本选项不符合题意；．三角形的三边的长度分别为：，，3，，，，，所以与格点不相似，故本选项不符合题意；．三角形的三边的长度分别为：，，，，，，，所以与格点不相似，故本选项不符合题意；故选：．已知如图，则下列4个三角形中，与相似的是　　A． B． C． D．【分析】由题意知是等腰三角形，底角是，则顶角是，看各个选项是否符合相似的条件．【解答】解：由图可知，，，，，、三角形各角的度数都是，、三角形各角的度数分别为，，，、三角形各角的度数分别为，，，、三角形各角的度数分别为，，，只有选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，故选：．如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与相似的是　　A． B． C． D．【分析】根据勾股定理求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：由勾股定理得：，，，，、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意；、三边之比：，图中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意；、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似，符合题意；、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意．故选：．在中，，，在边上，且，在边上取一点，使以，，为顶点的三角形与相似，则等于 　3或　．【分析】由相似三角形对应边成比例可得出或，代入求值即可．【解答】解：或，或，，，，或，解得：或．故答案为：3或．如图，在中，，，为上一点，且，在边上取一点，使以，，为顶点的三角形与相似，则　4或　．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：或，或，，，，，或，解得：或．故答案为：4或．