专题10 相似三角形的判定定理的证明-2022-2023学年九年级数学上册同步知识点学习目标+对点训练(北师大版)

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相似三角形的判定定理的证明 A型与X型反A型与子母型射影型“8”字型一线三等角目标1：A型与X型如图，在矩形中，点是的中点，连接交于点，若，则的长度是　　A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据矩形和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：在矩形中，，，，，是的中点，，，，，，故选：．点在平行四边形的边上，、的延长线交于点，若，则四边形与的面积之比是　　A． B． C． D．【分析】由，得，．根据，，，，可得，，从而得到，即可求解．【解答】解：，，．在平行四边形中，，，，，，，．．故选：．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上一点，且，连结，分别交，于点、，连结，则下列结论正确的有　　个．①；②由点、、、构成的四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证明四边形是平行四边形，证出、是等边三角形，得出，得出四边形是菱形，②正确；④证是的中位线，得，，则，再由，则，④正确；③连接，由等边三角形的性质和角平分线的性质得到三边的距离相等，则，则，③正确；即可得出结论．【解答】解：四边形是菱形，，，，，，，，，在和中，，，，是的中位线，，故①正确；，，四边形是平行四边形，，、是等边三角形，，，平行四边形是菱形，故②正确；，，是的中位线，，，，，，故④正确；连接，如图：是等边三角形，平分，平分，到三边的距离相等，，，故③正确；正确的是①②③④，故选：．如图，的对角线，交于点，平分交于点，交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的个数有　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由四边形是平行四边形，得到，，根据角平分线的定义得到推出是等边三角形，证得，求出，故①正确；由，得到，故②正确，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到，于是得到；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得；故④正确．【解答】解：四边形是平行四边形，，，平分交于点，是等边三角形，，，，，故①正确；，，故②正确，在中，，，，，，，，故③正确；，，，，，，故④正确．综上所述，正确的有①②③④．故选：．如图，已知，与相交于点．（1）如果，，，求的长；（2）如果，，求的长．【分析】（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得，则；（2）根据平行线分线段成比例知，结合已知条件求得；同理由推知与间的数量关系，从而求得．【解答】解：（1），，．，，则，又，，则，，即，，，即的长是8；（2），．又，，．，，又，，，即的长是10.5． 目标2：反A型与子母型如图，在等边三角形中，，，相交于点．（1）求证；（2）求证．【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，然后利用证明，即可解答；（2）利用（1）的结论可得，，从而可得，然后利用两角相等的两个三角形相似证明，再利用相似三角形的性质即可解答．【解答】证明：（1）是等边三角形，，，在和中，，；（2），，，，，，，，．如图，点、分别在的边及其延长线上，且，．（1）求证：；（2）若，且，求的值．【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；（2）由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．【解答】（1）证明：，，即，设，由，，，又，，，即，．（2）解：作于点，设，，，又，，，又，，由勾股定理得，，又，，，，，的值为1或2．如图，在锐角中，点是边上一点，，于点，与交于点．（1）求证：；（2）若，求的值．【分析】（1）根据题意利用同角的余角相等，得出，又因为，所以，再根据三角形内角和定理容易求解；（2）由（1）问的角度关系，可求证，可得线段比例关系，进而求证，求得，通过等量代换可求解．【解答】（1）证明：，，即，，，，，；（2）如图，过点作交于点，由（1）知，则，，则，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．解法二：过点作于．，，，，，，．如图，在中，于，于．（1）求证：；（2）连接，求证：．【分析】（1）证明，即可解决问题；（2）结合（1）证明，即可解决问题．【解答】（1）证明：，，，，，，；（2）证明：，，，． 目标3：射影型已知，如图，在中，是斜边上的中线，交于点，交的延长线于点．（1）吗？为什么？（2）你能推出结论吗？请试一试．【分析】（1）根据题意，得，，则，易证；（2）由中，是斜边上的中线，得，则，又，所以，又是公共角，所以，即可得出；【解答】证明：（1），，，，，；（2）为的中线，，，又，，又是公共角，，，即．如图，在中，，垂足为点，点为边上一点，，点为边上一点，，连接交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，，求的长．【分析】（1）首先证明，，再根据，，可得结论．（2）证明可得结论．（3）设交于，连接，．证明四边形是平行四边形，推出，，想办法求出即可解决问题．【解答】（1）证明：，，，，，，，，，即．（2）证明：，，，，，，．（3）解：设交于，连接，．垂直平分线段，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，． 目标4：“8”字型如图1，在中，点为中点，点在上，、交于点，．（1）写出与相等的角：　　；（2）若，求的值；（3）如图2，若，，，求（用含的式子表示）．【分析】（1）通过三角形内角和为．等量代换即可得．（2）过点作交于，证，可得，根据相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出结果．（3），点为中点，得，在直角三角形中，由勾股定理可得结果．【解答】解：（1）．．，即，故答案为；（2）过点作交于，如图1，，在和中，，，，，，又，，又，，，即，设，，则，，解得，，；解法二：延长到，使得，连接．则，，，，，，，，，，（负值已经舍弃）．（3），点为中点，，，由（2）知，得，．如图，在中，点、分别在边、上，与相交于点，，平分，平分．（1）求证：；（2）求证：．【分析】（1）由“”可证，可得，，由角平分线的性质和平行线的性质可得，可得结论；（2）由“”可证，可证，通过证明，可得，可得结论．【解答】证明：（1）如图，过点作，与交于点，连接，，，平分，，在和中，，，，，又四边形是平行四边形，，，平分，，，；（2）如图，平分，，在和中，，，，又在中，，又由（1）知四边形是平行四边形，，，又，，，，又，． 目标5：一线三等角如图，等边三角形中，为边上的一点，为边上的一点．且，，，则的边长为　　A．12 B．14 C．15 D．16【分析】根据三角形的外角性质得到．根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．【解答】解：，，，．，，，，设，，解得：，的边长为16，故选：．如图，在边长为8的正方形中，点是对角线上一点，连接并延长交于点，过点作交于点，连接；若，则的长为　　A．10 B． C． D．【分析】过点作，交于点，交于点，利用正方形的性质可证明，得，从而得出的长，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：如图，过点作，交于点，交于点，在边长为8的正方形中，点是对角线上一点，，又，，，，，，，，即，在与中，，，，，，，，正方形边长为8，，，，，故选：．如图，为正方形对角线上一动点，，，在上．结论：①；②；③；④若，，则．其中正确结论的个数是　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据是等腰直角三角形，判断①正确；根据正方形的性质和三角形内角和定理，可判断②正确；根据两个角相等，证明，可判断③正确；利用勾股定理得出的长，再根据等腰直角三角形的性质可判断④正确．【解答】解：，，，是等腰直角三角形，，①正确；四边形是正方形，，，，，，，，②正确；四边形是正方形，，，，，，，；③正确；四边形是正方形，，，，，是等腰直角三角形，，④正确，正确结论个数为4，故选：．已知：如图．是等边三角形，点、分别在边、上，（1）求证：；（2）如果，，，求的长．【分析】（1）是等边三角形，得到，，推出，得到；（2）由，得到，然后代入数值求得结果．【解答】解：（1）是等边三角形，，，，，；（2）由（1）证得，，设，则，，或，经检验，或是原分式方程的解，或． 目标6：手拉手模型如图1，在中，，点为边上的动点，交于点．问题发现：（1）如图2，当时，计算的值及与所在直线相交所成的锐角．类比探究：（2）当时，把绕点逆时针旋转到如图3的位置时，请求出的值以及与所在直线相交所成的锐角．【分析】（1）根据，，得，根据，即可得结论；（2）延长交于点，交的延长线于点，结合（1）证明，可得，进而可得结论．【解答】解：（1），，，，，；（2）延长交于点，交的延长线于点，由（1）可知：，，，，，，，，，．以点为直角顶点作和，使得．（1）如图1，连接、，求证：；（2）如图2，点，分别是，的中点，连接，若，求的值．【分析】（1）先证明，从而，进一步命题得证；（2）连接，，由（1）可知，进而证明，，进而证明，进一步求得结果．【解答】（1）证明：，，，，即，，，即，；（2）解：如图，连接，，由（1）可知，，又点，分别是，的中点，，，，，，，，又，，，在中，，，，．