【备战2023高考】数学考点全复习——第57讲《直线与圆的位置关系》精选题（新高考专用）

第57讲  直线与圆的位置关系

【基础知识回顾】 

1、 直线与圆的位置关系

(1)三种位置关系：相交、相切、相离．

 (2)圆的切线方程的常用结论

①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为            ；

②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为            2；

③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为            .

1、圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=（    ）

（A）−           （B）−              （C）               （D）2

2、直线与圆相切，则的值是

A．－2或12     B．2或－12         C．－2或－12       D．2或12

3、直线x－y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是(　　)

A．           B．           C．           D．

4、过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为(　　)

A．3x＋4y－4＝0

B．4x－3y＋4＝0

C．x＝2或4x－3y＋4＝0

D．y＝4或3x＋4y－4＝0

5、若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.

考向一　直线与圆的位置关系

例1、直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)

A．相交、相切或相离

B．相交或相切

C．相交

D．相切

变式1、(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)

A．相交  B．相切 

C．相离  D．不确定

(2)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么(　　)

A．m∥l，且l与圆相交  B．m⊥l，且l与圆相切

C．m∥l，且l与圆相离  D．m⊥l，且l与圆相离

变式2、(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个命题正确的有(　　)

A.直线l恒过定点(3，1)

B.直线l与圆C相切

C.直线l与圆C恒相交

D.直线l与圆C相离

方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用d与r的关系．

(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．

考向二  圆的弦长问题

 例2、(1)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　)

A．6   B．2 

C．12   D．16

(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为(　　)

A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0

B．3x＋4y－12＝0或x＝0

C．4x－3y＋9＝0或x＝0

D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0

 变式1、(1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　)

A.圆M的圆心为(4，－3)

B.圆M被x轴截得的弦长为8

C.过原点的最短弦长为8

D.圆M被y轴截得的弦长为6

(2)(2020·天津卷)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若|AB|＝6，则r的值为__________.

变式2、（1）在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1－＝0被圆x2＋y2－6x－2y＋1＝0截得的弦长为________．

（2）当直线l：ax－y＋2－a＝0被圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9截得的弦长最短时，实数a的值为________．

（3）若直线l：ax－y＋2－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝9相交于A，B两点，且∠ACB＝90°，则实数a的值为________．

方法总结：弦长的两种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.

考向三   圆的切线问题

例3　(2022·贵阳模拟)已知直线l：x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－6x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－1，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

变式1、(1)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为________.

变式2、若一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.

变式3、已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1) 求过点P的圆C的切线方程；

(2) 求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．

方法总结：求圆的切线方程应注意的问题

求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．

1、（2020·新课标Ⅱ文理5）若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 （   ）

A．             B．             C．             D．

2、【2020年新课标1卷理科】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（       ）

A． B． C． D．

3、【2020年新课标1卷文科】已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（       ）

A．1 B．2

C．3 D．4

4、【2018年新课标3卷理科】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B． C． D．

5、【2021年新高考1卷】已知点在圆上，点、，则（       ）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

6、【2021年新高考2卷】已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（       ）

A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离

C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切

7、【2022年全国甲卷】若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．

8、【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．