【备战2023高考】数学考点全复习——第58讲《圆与圆的位置关系》精选题（新高考专用）

第58讲  圆与圆的位置关系

【基础知识回顾】 

 圆与圆的位置关系

设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，

圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).

常用结论

1．圆的切线方程常用结论

(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.

(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.

2．圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．

(2)两个圆系方程

①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；

②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．

1、若圆与圆外切，则

A．    B．     C．    D．

2、圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

3、圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为(        )

A. 2  B. 2  C. 3  D. 2

4、(2022·海口模拟)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则下列选项错误的是(　　)

A．圆O1和圆O2有两条公切线

B．直线AB的方程为x－y＋1＝0

C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|>|AB|

D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋

5、（河北省石家庄二中2019届期末）已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝________.

考向一　圆与圆的位置关系

例1、已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.

(1)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

变式1、(1)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．

(2)两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．

(3)已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，若由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．

变式2、分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．

变式3、(2022·来宾、玉林、梧州模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为(　　)

A．(3，＋∞)   B．(2，＋∞)

C.   D．(3,4)

方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．

(2)求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．

考向二 圆与圆的综合问题

例2、已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为________．

变式1、　已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相内切， 则 a2＋b2的最小值为__________．

变式2、圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为______________，公共弦长为________．

变式3、已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：

(1)m取何值时两圆外切？

(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

变式4、（1）已知点M与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离之比为，求点M的轨迹方程.

(2)在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.

方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的关系，然后转化为函数的思想进行解决

1、.(山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　 　)

A．内切   B．相交

C．外切   D．相离

2、若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是(　　)

A．3  B．4

C．2  D．8

3、若圆与圆外切，则

A．    B．     C．    D．

4、【山东文数】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是（    ）

（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离

5、【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．