【备战2023高考】数学考点全复习——第60讲《椭圆的几何性质》精选题（新高考专用）

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第60讲 椭圆的几何性质

【基础知识回顾】
1、 椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
图形


性质

范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b
焦距
＝2c
离心率
e＝，　　e∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
(1)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
(2)＋＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

1、若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：B
【解析】：由题意得a＝2b，a2＝4b2＝4(a2－c2)，∴ ＝．
2、已知椭圆＋＝1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】：设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，＝＝，解得PF2＝6．又PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1＝4，故P到它的左焦点距离为4．
3、经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】∵ 垂直于椭圆长轴的弦所在直线为x＝±c，由
得y2＝，∴ |y|＝，故弦长为．
4、若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　依题意可知，c＝b，
又a＝＝c，
∴椭圆的离心率e＝＝.
5、(2021·重庆诊断)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　)
A.长轴长为 B.焦距为
C.短轴长为 D.离心率为
【答案】：　D
【解析】　把椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝，
则长轴长2a＝1，焦距2c＝，短轴长2b＝，离心率e＝＝，故选D.

考向一　 椭圆的离心率的值
例1(1)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　如图，作PB⊥x轴于点B.
由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，
由∠F1F2P＝120°，
可得|PB|＝，|BF2|＝1，
故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，
tan∠PAB＝＝＝，
解得a＝4，所以e＝＝.
(2)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________.
【答案】　
【解析】由题意知F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝，因为过F2且与x轴垂直的直线为x＝c，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A，B.
因为AB平行于y轴，且|F1O|＝|OF2|，所以|F1D|＝|DB|，即D为线段F1B的中点，所以点D的坐标为，又AD⊥F1B，所以kAD·kF1B＝－1，即×＝－1，整理得b2＝2ac，所以(a2－c2)＝2ac，又e＝，0＜e＜1，所以e2＋2e－＝0，解得e＝(e＝－舍去).
变式1、(1)(2022·湛江模拟)已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为的直线方程为y＝x－b，即x－y－b＝0，
F(c,0)，由点到直线距离公式，
得c＝，
即c2＝－bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，
则2c－b＝0，b＝2c.
又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，
解得＝.
(2)(2022·济南质检)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为(　　)
A.－1 B.
C. D.＋1
【答案】　A
【解析】不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，

∵△PF1F2为直角三角形，
∴PF1⊥F1F2，
又|PF1|＝|F1F2|＝2c，
∴|PF2|＝2c，
∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，
∴椭圆E的离心率e＝＝－1.
变式2、焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C　
【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.
变式3、 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是________．

【答案】　
【解析】因为F(c,0)，B2(0，b)，B1(0，－b)，A(a,0)，所以＝(c，－b)，＝(a，b)．因为FB2⊥AB1，所以ac－b2＝0，即c2＋ac－a2＝0，故e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)．
方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出a与c的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等式关系。
考向二 椭圆离心率的范围
例2、 (1)已知F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　B
【解析】若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，

可得c≥b，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又eb>0)，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得∠APB＝120°，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　如图，

当P在上顶点时，∠APB最大，
此时∠APB≥120°，
则∠APO≥60°，
所以tan∠APO≥tan 60°＝，
即≥，a2≥3b2，a2≥3(a2－c2)，
所以2a2≤3c2，
则≥，
所以椭圆的离心率的取值范围是.
变式1、过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　A
【解析】　由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.
又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0＜e＜1，所以0＜e≤.
变式2、已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆上存在点P，使＝，则该椭圆的离心率的取值范围为________．
【答案】 (－1，1)
【解析】 由题意知点P不在x轴上，在△PF1F2中，
由正弦定理得＝，所以由＝，
可得＝，即＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|．
由椭圆定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以e|PF2|＋|PF2|＝2a，解得|PF2|＝．
由于a－c