【备战2023高考】数学考点全复习——第61讲《双曲线的标准方程与性质》精选题（新高考专用）

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第61讲 双曲线的标准方程与性质

【基础知识回顾】
一、 双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M＝2a}，＝2c，其中a，c为常数，且a>0，c>0.
(1)当a＜c时，点P的轨迹是双曲线；
(2)当a＝c时，点P的轨迹是两条射线；
(3)当a＞c时，点P不存在．
二 、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a＞0，b＞0)
－＝1(a＞0，b＞0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝　　，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长

一、 常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径．
2、与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.

1、若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D．2
【答案】　A
【解析】　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b＝2a，
又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
2、设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)
A．1 B．17
C．1或17 D．以上均不对
【答案】　B
【解析】　根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8⇒|PF2|等于1或17.又|PF2|≥c－a＝2，
故|PF2|＝17.
3、已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：C
【解析】：由题意得(1＋k)(1－k)>0，∴ (k－1)(k＋1)<0，∴ －1 4、已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】：A
【解析】：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，
∴ |AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴ |AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴ △ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26．
5、 中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】：D
【解析】：∵ ＝，∴ ＝＝，∴ ＝，∴ ＝，∴ ＝．又双曲线的焦点在y轴上，∴ 双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴ 所求双曲线的渐近线方程为y＝±x．

考向一　双曲线的定义
例1　(1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
【答案】B
【解析】如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，

所以|MF2|＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，
所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||
＝|MF2|＝2<|F1F2|，
所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(2)(2022·滨州质检)－＝4表示的曲线方程为(　　)
A.－＝1(x≤－2)
B.－＝1(x≥2)
C.－＝1(y≤－2)
D.－＝1(y≥2)
【答案】　C
【解析】　的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)到点F2(0，－3)的距离，则－＝4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，－3)的距离的差为4，且4＜|F1F2|，所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，且该双曲线的实半轴长a＝2，半焦距c＝3，所以b2＝c2－a2＝5，则－＝4表示的曲线方程为－＝1(y≤－2).
变式、已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________.
【答案】　x2－＝1(x≤－1)
【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).
方法总结：(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立为|PF1|·|PF2|的关系．
(3)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．
考向二 双曲线的标准方程
例2　(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为____．
(2)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点(－3，2)的双曲线的标准方程为___．
【答案】（1） －＝1 （2）－＝1
【解析】　(1)由题意得a＝b，＝1，∴c＝4，∴a＝b＝2，∴所求双曲线的方程为－＝1.
(2)(方法1)由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，由题意，得
解得a2＝，b2＝4.
∴双曲线的方程为－＝1.
(方法2)设所求双曲线方程－＝λ(λ≠0)，将点(－3，2)代入得λ＝，∴双曲线方程为－＝1.

变式1、　根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；
(3)经过两点P(－3,2)和Q(－6，－7)．
【解析】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，e＝＝，所以b＝6，c＝10，a＝8.所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)因为双曲线经过点M(0,12)，所以M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25.所以双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
变式2、与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2，1)的双曲线标准方程是________.
【答案】　－y2＝1
【解析】　法一　椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0).
设双曲线标准方程为
－＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线过点P(2，1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，
解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1.
法二　设所求双曲线标准方程为＋＝1(1<λ<4)，
将点P(2，1)的坐标代入可得＋＝1，
解得λ＝2(λ＝－2舍去)，
所以所求双曲线标准方程为－y2＝1.
变式3、.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，且其右焦点为(5，0)，则双曲线C的标准方程为________.
【答案】　－＝1
【解析】　由题意得＝，c2＝a2＋b2＝25，所以a＝4，b＝3，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法总结:求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
考向三 双曲线的渐近线
例3(1)(2022·杭州模拟)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|＋|PF2|＝4a，且∠F1PF2＝60°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A.x±y＝0 B.2x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
【答案】C
【解析】∵F1，F2是双曲线的左、右焦点，
点P在双曲线右支上，
∴由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
又知|PF1|＋|PF2|＝4a，
∴|PF1|＝3a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理的推论可得
cos 60°＝，
即＝，∴3a2＝10a2－4c2，
即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
即x±2y＝0.
(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A.± B.± C.±1 D.±
【答案】　C
【解析】不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，，又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)，所以＝，＝，因为A1B⊥A2C，所以·＝0，
即(c＋a) (c－a)－·＝0，
即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，
故＝1，即＝1，又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的斜率为±1.
变式1、(2022·济南模拟)已知双曲线－＝1(m>0)的渐近线方程为x±y＝0，则m等于(　　)
A. B.－1
C. D．2
【答案】　A
【解析】由渐近线方程y＝±x＝±x，
所以＝，则＝，
即＝，m＝.
变式2、已知F为双曲线M：x2－＝1(b>0)的左焦点，圆Q：(x－3)2＋y2＝6与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，则下列说法正确的是(　　)
A．点F到渐近线的距离为
B．双曲线M的渐近线方程为x±2y＝0
C．双曲线M的虚轴长为2
D．双曲线M的离心率为
【答案】　D
【解析】因为圆Q与双曲线M的渐近线有且仅有2个不同的公共点，
所以圆Q与渐近线bx±y＝0相切，
则有＝，
解得b＝，
则双曲线M的方程为x2－＝1，
所以a＝1，b＝，c＝，
其渐近线方程为x±y＝0，故B选项错误；
左焦点F(－，0)到渐近线的距离为＝，故A选项错误；
双曲线M的虚轴长为2b＝2，故C选项错误；
双曲线M的离心率为e＝＝＝，故D选项正确．
方法总结：解有关直线与双曲线的位置关系的方法
(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．
(2)与中点有关的问题常用点差法．
(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．
考向四 双曲线的离心率
例4、已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线E的左支上，且∠F1AF2＝120°，|AF2|＝2|AF1|，则双曲线E的离心率为(　　)
A. B.
C. D．7
【答案】　C
【解析】点A在双曲线E的左支上，左、右焦点分别为F1，F2，
设|AF1|＝m，
由|AF2|＝2|AF1|知|AF2|＝2m，
由双曲线定义得
|AF2|－|AF1|＝2m－m＝m＝2a，
在△AF1F2中，
|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，
由余弦定理知，
|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1||AF2|cos 120°
＝4a2＋16a2＋8a2＝28a2，
∴|F1F2|＝2a，
又|F1F2|＝2c，
∴2a＝2c，e＝＝.
(2)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于，则双曲线离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率大于，
所以>，
即3a>2b，也即3a2>4b2，
所以3a2>4(c2－a2)，
所以7a2>4c2，
所以e<，
又因为双曲线的离心率e>1，
所以1 双曲线离心率的取值范围是.
变式1、设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.
【答案】　A
【解析】设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c＝，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝.在Rt△OPM中，|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得＋＝a2，故＝，即e＝.
变式2、　已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则双曲线的离心率e的最大值为________．
【答案】
【解析】 设∠F1PF2＝θ，由得由余弦定理得cos θ＝＝－e2.因为θ∈(0，π]，所以cos θ∈[－1，1)，即－1≤－e2<1.又e>1，所以1 方法总结：求双曲线离心率或其取值范围的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解.

　1、【2021年甲卷文科】点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
2、【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（       ）
A．52 B．32 C．132 D．172
【答案】C
【解析】：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，
所以OG⊥NF1，因为cos∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，
所以OG=a，OF1=c，GF1=b，设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，
由cos∠F1NF2=35，即cosα=35，则sinα=45，sinβ=ac，cosβ=bc，
在△F2F1N中，sin∠F1F2N=sinπ-α-β=sinα+β
=sinαcosβ+cosαsinβ=45×bc+35×ac=3a+4b5c，
由正弦定理得2csinα=NF2sinβ=NF1sin∠F1F2N=5c2，
所以NF1=5c2sin∠F1F2N=5c2×3a+4b5c=3a+4b2，NF2=5c2sinβ=5c2×ac=5a2
又NF1-NF2=3a+4b2-5a2=4b-2a2=2a，
所以2b=3a，即ba=32，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132

故选：C
3、（2020年高考天津）设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
4、（2020年高考全国Ⅲ卷理数）.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A．
5、（2020年高考全国Ⅱ卷理数）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
【解析】，
双曲线的渐近线方程是，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限，
联立，解得，
故，
联立，解得，
故，
，
面积为：，
双曲线，
其焦距为，
当且仅当取等号，
的焦距的最小值：.
故选：B．
6、(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】C　
【解析】因为直线AB经过双曲线的右焦点且垂直于x轴，所以不妨取A(c，)，B，取双曲线的一条渐近线为直线bx－ay＝0，由点到直线的距离公式可得d1＝＝，d2＝＝，因为d1＋d2＝6，所以＋＝6，所以2b＝6，得b＝3.因为双曲线的离心率为2，所以＝2，所以＝4，即＝4，解得a2＝3，所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
7、（2019年全国Ⅱ卷）设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．