【备战2023高考】数学考点全复习——第69讲《随机事件的概率、古典概型、条件概率》精选题（新高考专用）

第69讲 随机事件的概率、古典概型、条件概率

【基础知识回顾】 

1、基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2、由于是一个必然事件，再加上，故，这个公式很有用，常可使概率的计算得到简化．当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化去求其对立事件的概率

3、事件的分类（☆☆☆）

4、事件的关系与运算（☆☆☆）

5、古典概型

   具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

   (1)所有的基本事件             ；

   (2)每个基本事件的发生都是             ．

6、如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝．

7、古典概型的概率公式

   P(A)＝．

8、相互独立事件

(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝             ，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与               ，与     ，与也都相互独立.

2.条件概率

(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称             为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型，P(B|A)＝             ；

②概率的乘法公式：P(AB)＝             .

1、掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（   ）

A．                 B．             C．            D．．

2、2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观，那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为(      )

A.        B.         C.        D.

3、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(        )

A.         B.         C.        D.

4、已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|)＝0.2，则P(A)＝(　　)

A.   B.    C.0.33     D.0.1

考向一　随机事件的概率与频率

例1、某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；

(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；

(3)求续保人本年度平均保费的估计值．

变式1、某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

变式2、某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．

(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；

(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；

(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？

方法总结：　(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率．

(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，所以有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．

考向二  古典概型的概率问题

例2 (1)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)

A.   B.    C.     D.

(2)10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________.

变式1、 (1)(2022·济南质检)在一个不透明的容器中有6个小球，其中有4个黄球，2个红球，它们除颜色外完全相同，如果一次随机取出2个球，那么至少有1个红球的概率为(　　)

A.   B.    C.     D.

(2)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)

A.   B.    C.     D.

方法总结：古典概型的概率求解步骤

(1)求出所有基本事件的个数n.

(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.

(3)代入公式P(A)＝求解．

考向三  条件概率

例3、 (1)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　)

A.   B.    C.     D.

(2)对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是(　　)

A.   B.    C.     D.

变式、(1)某射击选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是，已知该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是(　　)

A.   B.    C.     D.

(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________.

方法总结：求条件概率的常用方法

(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝

考向四  古典概型与统计的综合

例4、从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)．由图中数据可知体重的平均值为________ kg；若要从体重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________．

变式1、在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1，2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

(1)求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；

(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68，75)中的概率．

变式2、某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：m)及体重指标(单位：kg/m2)如下表所示：

(1)从该小组身高低于1.80 m的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78 m以下的概率；

(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70 m以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．

方法总结：解决此类题目步骤是：①根据题目要求求出数据；②列出所有基本事件，计算基本事件总数；③找出所求事件包含的基本事件个数；④根据古典概型公式求解；⑤明确规范表述结论．

1、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8

2、（2018年高考全国Ⅱ卷理数）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A．  B．

C．  D．

2、(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(　　)

A.　　　　　　　　　 B.

C.   D.

3、(多选)(2019·山东烟台期中)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是(　　)

A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为

B．四人去了同一餐厅就餐的概率为

C．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为

D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为

4、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．

5、现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求

(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；

(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；

(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.