【备战2023高考】数学考点全复习——第65讲《排列与组合》精选题（新高考专用）

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第65讲 排列与组合

【基础知识回顾】
知识梳理
1. 分类加法计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__种不同的方法．
2. 分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__m1×m2×…×mn__种不同的方法．
3. 排列与排列数
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个排列__．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的__排列数__，用符号__A__表示．
(3)排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
____(n，m∈N*，并且m≤n)
A＝__n·(n－1)·(n－2)·…·3·2·1__＝n！，规定0！＝__1__．
4. 组合与组合数
(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__一个组合__．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的__组合数__，用符号__C__表示．
(3)组合数公式：
C＝＝＝
____(n，m∈N*，并且m≤n)．
(4)组合数的性质：
性质1：C＝__C__．
性质2：C＝__C＋C__．
性质3：mC＝__n·C__．

1.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A.8 B.24 C.48 D.120
【答案】　C
【解析】　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种.
2.不等式A<6×A的解集为(　　)
A.{2，8} B.{2，6} C.{7，12} D.{8}
【答案】　D
【解析】　<6×，
∴x2－19x＋84<0，解得7 又∵x≤8，x－2≥0，
∴7 3.(2020·新高考海南卷)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　)
A.4种 B.5种 C.6种 D.8种
【答案】　C
【解析】　先将3名大学生分成2组有C·C种分法，再分配到2个村有A种分法，则不同的分配方案共有C·C·A＝6种.
4.某班星期三上午要上五节课，若把语文、数学、物理、化学、外语这五门课安排在星期三上午，数学必须比化学先上，则不同的排法有(　　)
A.60种 B.30种 C.120种 D.24种
【答案】　A
【解析】把语文、数学、物理、化学、外语这五门课程任意排列，有A＝120种情况，其中数学排在化学之前和数学排在化学之后的情况数目是相同的，则数学比化学先上的排法有＝60种.
5、（多选题）将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球.则下列说法正确的有（ ）
A. 编号为1号的小球放入编号为偶数的盒子的放法数是360
B. 编号为奇数的小球均放入编号为偶数的盒子的放法数是36
C. 恰有三个盒子的编号与放入的小球编号相同的放法数是40
D. 恰有三个小球的编号比放入的盒子的编号大1的放法数是30
【答案】 ABCD
【解析】：对于选项A，先放编号为1号的小球，有A种方法，再放另外5个小球，有A种方法，所以共有A×A＝360种方法，选项A正确；对于选项B，先放编号为奇数的小球，有A种方法，再放另外3个小球，有A种方法，所以共有A×A＝36种方法，选项B正确；
对于选项C，先在六个盒子中任选3个，放入与其编号相同的小球，有C＝20种放法，用枚举法放剩下的3个小球，共有2种放法，所以不同的放法总数是20×2＝40种；
对于选项D，先在编号为1~5的五个盒子中任选3个，有C＝10种，不妨设选了编号为1,2,3的3个盒子，分别放入标号为2,3,4的3个小球，则编号为4,5,6的盒子放入的小球编号依次可以是1,5,6、6,1,5和6,5,1，共3种，所以不同的放法总数是10×3＝30种．

考向一　 两个计数原理的应用
例1、（1）从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.
【答案】　12
【解析】　分三类：一类是乘汽车，有8种方法；一类是乘火车，有2种方法；一类是乘飞机，有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12种方法.
（2）.如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫作“好数”，那么在由1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个(用数字作答).
【答案】　12
【解析】组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4，4种情况.当有三个1时：2111，3111，4111，1211，1311，1411，1121，1131，1141，有9个；当有三个2，三个3或三个4时：2221，3331，4441，有3个，根据分类加法计数原理可知，共有12个结果.
（3）满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________.
【答案】　13
【解析】　当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；
当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.
若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；
若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；
若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.
由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.
变式1、(1)已知一个三位数从0，1，2，3，4中任意选取．如果三位数的中数字不允许重复使用，那么能得到多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？
(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1，5，9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有多少种？
1
2
3
4
5
6
7
8
9

【解析】(1)若不重复，三位数先考虑百位情况，共4种选择，十位除去百位已选一个数，也是4种不同选择，个位共3种不同选择，故总共能得到4×4×3＝48个不同的三位数．
若重复，三位数先考虑百位，共4种不同选择，十位共5种不同选择，个位共5种不同选择，故共有4×5×5＝100个不同的三位数．
(2)把区域分为三部分，第一部分1，5，9，有3种涂法；
第二部分4，7，8，当5，7同色时，4，8各有2种涂法，共4种涂法，当5，7异色时，7有2种涂法，4，8均只有1种涂法，故第二部分共4＋2＝6种涂法；第三部分与第二部分一样，共6种涂法．由分步乘法计数原理，可得涂法共有3×6×6＝108(种)

变式2、满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为____.
【答案】13
【解析】　当a＝0时，关于x的方程为2x＋b＝0，此时有序数对(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均满足要求；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此时满足要求的有序数对为(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)综上，满足要求的有序数对共有13个．
方法总结：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
(3)弄清分步、分类的标准是什么．
(4)利用两个计数原理求解．
考向二 　排列的应用
例2、 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，女生必须站在一起；
(4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.
【解析】　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种).
(5)法一　(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种).
法二　(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种).
(6)法一　(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A种，其余人全排列，只有A种不同排法，共有A＋AAA＝3 720(种).
法二　(间接法)7名学生全排列，只有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3 720(种).
(7)由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有＝840(种).
变式1、有4个男生，3个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？
(1)7个人排成一列，4个男生必须连排在一起；
(2)7个人排成一列，3个女生中任何两个均不能排在一起；
(3)7个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定；
(4)7个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻．

【解析】　(1)不妨先将4个男生看作一个整体，连同三个女生共4个元素进行排列，有A种排法，然后将4个男生全排列，有A种排法，根据分步乘法计数原理有AA＝576(种)不同的排法．
(2)先排男生，有A种排法，再在他们之间和左右两端共5个空档中插入3个女生，有A种排法，故共有AA＝1 440(种)
(3)先不考虑三人的顺序，任意排列有A种，其中每A种有且只有1种符合甲、乙、丙三人顺序一定，∴共有＝840(种)另解：七个位置中，先将除甲乙丙外的4人排好，然后按一定顺序排入三个空位中，排法唯一，故有A＝840种排法．
(4)先将男生和女生看作两个整体，男生、女生分别全排列，有AAA种排法，再考虑男甲与女乙相邻，有AAA种，故有AAA－AAA＝264(种)
变式2、 (1)从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为(　　)
A.6 B.8 C.12 D.16
【答案】　C
【解析】　的值的个数即为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数，A＝4×3＝12.
(2)用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有(　　)
A.96个 B.78个 C.72个 D.64个
【答案】　B
【解析】　根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2，3，4，5这4个数字中的一个，
当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；
当万位数是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，
因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求
方法总结：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
考向三 组合的应用
例3、某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取
3种．
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

【解析】(1)从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种．
(2) 从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种．∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．
(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC＝2 100种．
∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．
(4) 选取2件假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555 种．∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．
(5)选取3件的总数有C，因此共有选取方式
C－C＝6 545－455＝6 090种．∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
变式1、 (1)(2022·安徽省五校联盟质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上任选3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)
A.15 B.30 C.35 D.42
【答案】B
【解析】　甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C－CC＝30(种).
(2)(多选)(2022·沈阳模拟)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门.学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A.若任意选科，选法总数为C
B.若化学必选，选法总数为CC
C.若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D.若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
【答案】BD
【解析】　若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1，D正确.
方法总结：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
考向四 排列与组合问题的综合应用
例4、(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
【答案】　(1)60　(2)24
【解析】(1)2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A×A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.
(2)根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．
变式1、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本.
【解析】(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种方法，故共有CCC＝60种.
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360种.
(3)无序均匀分组问题.共有＝15种.
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种.
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有＝15种.
(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种.
方法总结：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．
(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．

1、【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（       ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，
故选：B
2、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（       ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
3、【2020年新高考1卷（山东卷）】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（       ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
4、【2020年新高考2卷（海南卷）】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（       ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
5、【2020年新课标2卷理科】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.
【答案】
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种
故答案为：.
6、【2018年新课标1卷理科】从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
【答案】
【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，
故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.