江苏省苏州市姑苏区市区直属学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 （含答案）

这是一份江苏省苏州市姑苏区市区直属学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 （含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市姑苏区市区直属学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．“疫情防控，我们在一起”：每个人都是疫情防控的重要一环．下面是人民日报发布的疫情防控宣传图，上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列实数是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．
3．一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示数0.000043正确的是（　　）
A．4.3×105 B．0.43×10﹣4 C．4.3×10﹣5 D．43×10﹣4
4．估计的值在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
5．已知点P在第二象限，且P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点的坐标为（　　）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝9，b＝40，c＝41
7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
8．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B．+2 C．﹣2 D．2
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝9，则CE的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（　　）

A．87° B．88° C．89° D．90°
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．25的算术平方根是 　 　．
12．若点P（a+1，2a+3）在平面直角坐标系的x轴上，则a的值为　 　．
13．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为　 　．
14．已知|m+5|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是　 　．
15．在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝　 　时，△ABC为等腰三角形．
16．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为 　 　．

17．在一个长3.5米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长0.5米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 　 　米．

18．如图，△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 　 　．

三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）﹣（π﹣3）0+（）﹣1．
（2）﹣|1﹣|．
20．解下列方程：
（1）9x2＝25；
（2）2（x﹣1）3﹣54＝0．
21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6），B（﹣1，2），C（﹣5，4）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．并写出点A1的坐标 　 　．
（2）在第（1）题的变换下，若点M（m，n）是线段AC上的任意一点，那么点M的对应点M1的坐标为 　 　．
（3）在y轴上找一点P，使PA＝PB，则P点坐标为 　 　．

22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）连接DC，若CD＝CE，试说明：AD平分∠BAC．

23．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？

24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．

25．在平面直角坐标系中，点A（a﹣4，4），点B（a+1，4），点C（﹣3，0）
（1）若OA＝OB，求点A的坐标．
（2）当点A到x轴、y轴的距离相等时，在y轴上存在点D，使AD⊥AC，求点D的坐标．

26．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OACB是长方形；已知点C（3，5），点D在y轴上，且OD＝1．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC→CB的方向运动，当点P运动到与点B重合时停止运动，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）如图①，当t＝6时，△OPD的面积为 　 　；
（2）如图②，当点P在线段AC上运动时，△BDP能否成为等腰三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
（3）如图③，当点P在BC上时，将△BOP沿OP翻折至△B'OP，PB'、OB'与AC分别交于点E、F，且CE＝B'E，求此时点P的坐标．

27．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，则∠ABC＝　 　°；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝AB，∠A＝60°，∠D＝150°，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．




参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．“疫情防控，我们在一起”：每个人都是疫情防控的重要一环．下面是人民日报发布的疫情防控宣传图，上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．下列实数是无理数的是（　　）
A．0 B． C． D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
解：A、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D、是无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
3．一种病毒的长度约为0.000043mm，用科学记数法表示数0.000043正确的是（　　）
A．4.3×105 B．0.43×10﹣4 C．4.3×10﹣5 D．43×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000043＝4.3×10﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．估计的值在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【分析】根据特殊有理数找出与10最接近的完全平方数，从而求出即可．
解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估计无理数的大小，根据已知得出与10最接近的完全平方数是解决问题的关键．
5．已知点P在第二象限，且P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则P点的坐标为（　　）
A．（3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（4，﹣3） D．（﹣4，3）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求解即可．
解：∵点P在平面直角坐标系中的第二象限内，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，
∴点P的横坐标为﹣4，纵坐标为3，
∴点P的坐标为（﹣4，3）．
故选：D．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝b，∠C＝45°
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a＝9，b＝40，c＝41
【分析】根据所给的数据和三角形内角和定理，勾股定理的逆定理分别对每一项进行分析，即可得出答案．
解：A、由题意知，a2+b2＝c2＝25，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、由题意知，∠A＝∠B＝（180°﹣45°）÷2＝62.5°，则△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、由题意知∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、由题意知，a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
7．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．
8．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A． B．+2 C．﹣2 D．2
【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数．
解：由题意可得，
AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝．
∴点D表示数为﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝9，则CE的长为（　　）

A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB＝∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．
解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴AD＝BD＝9，
在Rt△ACB中，E是AD中点，
∴CE＝AD＝4.5，
故选：D．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B＝62°，AB+BD＝CD，则∠BAC的度数为（　　）

A．87° B．88° C．89° D．90°
【分析】延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，则DE＝CD，从而可求得∠C＝∠E，再根据外角的性质即可求得∠B的度数．
解：延长DB至E，使BE＝AB，连接AE，
∴∠E＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠E+∠BAE＝2∠E＝62°，
∴∠E＝31°，
∵AB+BD＝CD，
∴BE+BD＝CD，
即DE＝CD，
∵AD⊥BC，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∴∠C＝∠E＝31°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝87°，
故选：A．

【点评】此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形内角和定理等知识点的综合运用．作出辅助线是正确解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
11．25的算术平方根是 　5　．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．
解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5．
故答案为：5．
【点评】易错点：算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．规律总结：弄清概念是解决本题的关键．
12．若点P（a+1，2a+3）在平面直角坐标系的x轴上，则a的值为　﹣1.5　．
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列出方程求解得到a的值，即可得解．
解：∵点P（a+1，2a+3）在平面直角坐标系的x轴上，
∴2a+3＝0，
解得a＝﹣1.5．
故答案为：﹣1.5．
【点评】本题考查了x轴上点的坐标特点，正确得出a的值是解题的关键．
13．已知△ABC的三边长分别为6、8、10，则最长边上的中线长为　5　．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质计算即可．
解：∵62+82＝100，
102＝100，
∴62+82＝102，
∴这个三角形是直角三角形，
∴最长边上的中线长为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
14．已知|m+5|+＝0，点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是　（﹣5，﹣2）　．
【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值，再利用关于x轴对称点的性质得出答案．
解：∵|m+5|+＝0，
∴m+5＝0，n﹣2＝0，
解得：m＝﹣5，n＝2，
∴点P（m，n）关于x轴的对称点的坐标是（﹣5，﹣2）．
故答案为：（﹣5，﹣2）．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及关于x轴对称点的性质，正确得出m，n的值是解题关键．
15．在△ABC中，∠A＝70°，当∠B＝　55°、70°、40°　时，△ABC为等腰三角形．
【分析】运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理求出∠B的值，即可解决问题．
解：若∠A为顶角，且∠A＝70°，
则∠B＝∠C＝
＝55°；
若∠A为底角，且∠B为底角，
则∠B＝∠A＝70°；
若∠A为底角，且∠B为顶角，
则∠A＝∠C＝70°，
∠B＝180°﹣140°＝40°，
故答案为55°、70°、40°．
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是运用分类讨论的数学思想，借助三角形的内角和定理来逐一判断、解析．
16．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分别以AB，AC，BC为边向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如图所示作长方形HFPQ，延长BC交PQ于G．则长方形CDPG的面积为 　12　．

【分析】如图，过点A作AA'⊥BC于A'，先根据面积法可得AA'的长，证明△AA'C≌△CGK（AAS），可得CG＝AA'＝，最后根据长方形的面积公式可计算其答案．
解：如图，过点A作AA'⊥BC于A'，

∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝5，
∵S△ABC＝AB•AC＝BC•AA'，
∴＝，
∴AA'＝，
∵四边形ACKL是正方形，
∴AC＝CK，∠ACK＝90°，
∴∠ACA'+∠KCG＝∠ACA'+∠CAA'＝90°，
∴∠KCG＝∠CAA'，
在△AA'C和△CGK中，
，
∴△AA'C≌△CGK（AAS），
∴CG＝AA'＝，
∴长方形CDPG的面积＝CD•CG＝5×＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形全等的性质和判定，正确作辅助线构建三角形全等是本题的关键．
17．在一个长3.5米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽AD，木块的主视图是边长0.5米的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 　　米．

【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
解：由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个等边三角形的边长，
∴长为3.5+0.5＝4（m）；宽为1m．
于是最短路径为：＝（m）．
故答案为：．

【点评】本题主要考查平面展开﹣最短路径问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力．
18．如图，△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 　10　．

【分析】根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，设CE＝x，则AE＝DE＝16﹣x，然后再由勾股定理可得答案．
解：由题意可知，A、D两点关于射线BM对称，
∴C△CDE＝CD+DE+CE，
∵CD为定值，
要使△CDE周长最小，即DE+CE最小，
∴AC与射线BM的交点，即为使△CDE周长最小的点E，
∵AB＝12，AC＝16，BC＝20．且122+162＝202，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠BAC＝∠BDE＝∠CDE＝90°，
∵AB＝BD＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝8，
设CE＝x，则AE＝DE＝16﹣x，
Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，
即x2＝（16﹣x）2+82，
∴x＝10，
∴CE＝10．
故答案为：10．
【点评】此题考查的是翻折变换、勾股定理的逆定理及轴对称性质，掌握其性质是解决此题关键．
三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
（1）﹣（π﹣3）0+（）﹣1．
（2）﹣|1﹣|．
【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式以及立方根、绝对值的性质分别化简得出答案．
解：（1）﹣（π﹣3）0+（）﹣1
＝2﹣1+3
＝4；

（2）﹣|1﹣|
＝3﹣4﹣（﹣1）
＝3﹣4﹣+1
＝﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．解下列方程：
（1）9x2＝25；
（2）2（x﹣1）3﹣54＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义进行计算即可；
（2）根据等式的性质以及立方根的定义进行计算即可．
解：（1）两边都除以9得，
x2＝，
由平方根的定义可知，x＝＝，
即x＝；
（2）移项得，2（x﹣1）3＝54，
两边都除以2得，（x﹣1）3＝27，
根据立方根的定义得，x﹣1＝3，
解得x＝4．
【点评】本题考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定义是正确解答的前提．
21．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6），B（﹣1，2），C（﹣5，4）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．并写出点A1的坐标 　（3，6）　．
（2）在第（1）题的变换下，若点M（m，n）是线段AC上的任意一点，那么点M的对应点M1的坐标为 　（﹣m，n）　．
（3）在y轴上找一点P，使PA＝PB，则P点坐标为 　（0，5）　．

【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征求解；
（3）作AB的垂直平分线交y轴于P点，从而得到P点坐标．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（3，6）；

（2）点M（m，n）关于y轴的对称点M1的坐标为（﹣m，n）；
故答案为：（﹣m，n）；
（3）P点坐标为（0，5）；
故答案为（0，5）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了线段垂直平分线的性质．
22．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE．
（1）求证：BD＝CE；
（2）连接DC，若CD＝CE，试说明：AD平分∠BAC．

【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，推导出∠BAD＝∠CAE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE；
（2）由全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABD≌△ACD，得∠BAD＝∠CAD，则AD平分∠BAC．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）解：连接CD，
∵CD＝CE，BD＝CE，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABD≌△ACE及△ABD≌△ACD是解题的关键．
23．位于沈阳的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？

【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB＝15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD＝6，再根据AD＝AB﹣BD的出结果．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8m，AC＝17m，
∴AB＝＝＝15（m），
∵工作人员以0.35米/秒的速度拉绳子，经过20秒后游船移动到点D的位置，
∴CD＝17﹣0.35×20＝10（m），
∴BD＝＝＝6（m），
∴AD＝AB﹣BD＝9（m）．
答：此时游船移动的距离AD的长是9m．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
24．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．
（1）判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．

【分析】（1）先证明△ABD是等边三角形，可得∠ABD＝∠ADB＝60°，由平行线的性质可得∠CED＝∠ADB＝∠DFE＝60°，可得结论；
（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求AE＝CE＝8，即可求解．
解：（1）△DEF是等边三角形，
理由如下：∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，
∵CE∥AB，
∴∠CED＝∠A＝60°，∠DFE＝∠ABD＝60°，
∴∠CED＝∠ADB＝∠DFE，
∴△DEF是等边三角形；
（2）连接AC交BD于点O，

∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC是BD的垂直平分线，
即AC⊥BD，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE＝∠CAD＝30°，
∴AE＝CE＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝12﹣8＝4，
∵△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝4，
∴CF＝CE﹣EF＝8﹣4＝4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，证明AE＝CE是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，点A（a﹣4，4），点B（a+1，4），点C（﹣3，0）
（1）若OA＝OB，求点A的坐标．
（2）当点A到x轴、y轴的距离相等时，在y轴上存在点D，使AD⊥AC，求点D的坐标．

【分析】（1）由题意得出方程a+1＝4﹣a，求出a的值可得出答案；
（2）由题意求出a＝0或a＝8．当a＝0时，A（﹣4，4），如图，过点A作AE⊥y轴于点E，AF⊥x轴于点F，则四边形AFOE为正方形，证明△AED≌△AFC（ASA），由全等三角形的性质得出FC＝ED＝1，求出D（0，5）；当a＝8时，A（4，4），同理可求出D（0，11）．
解：（1）∵点A（a﹣4，4），点B（a+1，4），OA＝OB，
∴A，B在y轴的异侧，AB∥x轴，
∴a+1＝4﹣a，
∴a＝，
∴A（﹣，4）；
（2）∵点A到x轴、y轴的距离相等时，
∴|a﹣4|＝4，
∴a＝0或a＝8．
当a＝0时，A（﹣4，4），
如图，过点A作AE⊥y轴于点E，AF⊥x轴于点F，则四边形AFOE为正方形，

∴∠EAF＝90°，∠DAC＝90°，
∴∠DAE＝∠CAF，
又∵AF＝AE＝4，
∴△AED≌△AFC（ASA），
∴FC＝ED＝1，
∴OD＝5，
∴D（0，5），
当a＝8时，A（4，4），如图，

同理可得△AED≌△AFC，
∴DE＝CF＝7，
∴OD＝11
∴D（0，11），
综合以上可得点D的坐标为（0，5）或（0，11）．
【点评】本是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
26．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OACB是长方形；已知点C（3，5），点D在y轴上，且OD＝1．动点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿线段AC→CB的方向运动，当点P运动到与点B重合时停止运动，设点P运动的时间为t（秒）．
（1）如图①，当t＝6时，△OPD的面积为 　1　；
（2）如图②，当点P在线段AC上运动时，△BDP能否成为等腰三角形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
（3）如图③，当点P在BC上时，将△BOP沿OP翻折至△B'OP，PB'、OB'与AC分别交于点E、F，且CE＝B'E，求此时点P的坐标．

【分析】（1）由△OPD的面积＝×OD•BP，即可求解；
（2）分BD＝BP、BP＝DP、DB＝DP三种情况，分别求解即可；
（3）设BP＝x＝PB′，则PC＝6﹣x，证明△PCE≌△FB′E（AAS），得到PC＝FB′＝3﹣x，求出AF＝AC﹣CF＝5﹣x，则OF＝OB′﹣FB′＝5﹣（3﹣x）＝x+2，在Rt△AOF中，利用FO2＝AF2+OA2，即可求解．
解：（1）∵点C（3，5），
∴BC＝3，OB＝AC＝5，
当t＝6时，1×6＝6，
则PC＝6﹣5＝1，则BP＝BC﹣PC＝3﹣1＝2，
则△OPD的面积＝×OD•BP＝×1×2＝1，
故答案为：1；
（2）能，理由如下：
若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图，

①当BD＝BP1＝OB﹣OD＝5﹣1＝4，
在Rt△BCP1中，BP1＝4，BC＝3，
根据勾股定理得：CP1＝＝，
∴AP1＝5﹣，即P1（3，5﹣）；
②当BP2＝DP2时，此时P2（3，3）；
③当DB＝DP3＝4时，
在Rt△DEP3中，DE＝3，
根据勾股定理得：P3E＝＝，
∴AP3＝AE+EP3＝+1，
即P3（3，+1），
综上所述，满足题意的P坐标为（3，3）或（3，+1）或（3，5﹣）；
（3）设BP＝x＝PB′，
则PC＝3﹣x，
在△PCE和△FB′E中，
，
∴△PCE≌△FB′E（ASA），
∴PC＝FB′＝3﹣x，
设CE＝B'E＝a，
∴PE＝EF＝PB′﹣B′E＝x﹣a，
则CF＝CE+EF＝a+x﹣a＝x，
则AF＝AC﹣CF＝5﹣x，
则OF＝OB′﹣FB′＝5﹣（3﹣x）＝x+2，
在Rt△AOF中，FO2＝AF2+OA2，
∴（x+2）2＝32+（5﹣x）2，
解得x＝，
故点P的坐标为（，5）．
【点评】此题属于四边形综合题，考查了坐标与图形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，注意分类求解，避免遗漏．
27．新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”．
（1）如图1，四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，若∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，则∠ABC＝　45　°；
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝AB，∠A＝60°，∠D＝150°，试说明四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）若在“等腰四边形”ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝90°，且BD为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出∠ADC的度数．


【分析】（1）由“等腰四边形”的定义及题中所给的条件，可得AB＝AD，CB＝CD，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求出∠ADC的度数；
（2）连接BD，先证明△ABD是等边三角形，则∠ADB＝60°，可得∠BDC＝90°，再根据勾股定理证明CD＝BD，由此证得四边形ABCD是“等腰四边形”；
（3）分三种情况，一是AB＝AD，则△ABD≌△CBD，可求得∠ADC＝90°；二是AB＝DB，则△BCD是等边三角形，先得到∠BDC＝60°，再求出∠BDA的度数，则可求得∠ADC的度数；三是AD＝BD，作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，先证明△DCF是等边三角形，再求出∠ADC的度数．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD是“等腰四边形”，BD为“界线”，
∴AB＝AD，CB＝CD，
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝150°，
∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°﹣120°）＝30°，
∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣150°）＝15°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝30°+15°＝45°，
故答案为：45．
（2）如图2，连接BD，
∵AB＝AD，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，AB＝BD，
∵∠ADC＝150°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝150°﹣60°＝90°，
∵BC＝AB，
∴BC＝BD，
∴CD＝＝＝BD，
∴AB＝AD，CD＝BD，
∴四边形ABCD是“等腰四边形”．
（3）如图3，AB＝AD，
根据题意得AB＝BC＝CD，∠ABC＝90°，
∵CB＝CD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∠CDB＝∠CBD＝45°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝45°+45°＝90°；
如图4，AB＝DB，
∵AB＝BC＝CD，
∴DB＝BC＝CD，
∴∠CBD＝∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BDA＝∠BAD＝×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠BDC+∠BDA＝60°+75°＝135°；
如图5，AD＝BD，设AB＝BC＝CD＝m，
作DE⊥AB于点E，作点C关于直线DE的对称点F，连接CF交DE于点G，连接DF，
∴AE＝BE＝AB＝m，DE垂直平分CF，
∴FD＝CD＝m，
∵∠BED＝∠EBC＝90°，
∴∠BED+∠EBC＝180°，
∴BC∥ED，
∵BE⊥ED，CG⊥ED，
∴CG＝BE＝m，
∴FG＝CG＝m，
∴CF＝CG+FG＝m+m＝m，
∴FD＝CD＝CF，
∴∠CDF＝60°，
∴∠EDC＝∠CDF＝30°，
∵∠BDE＝∠CBD，∠CDB＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠CDB＝∠EDC＝15°，
∴∠ADE＝∠BDE＝15°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠BDE+∠CDB＝15°+15°+15°＝45°，
综上所述，∠ADC的度数为90°或135°或45°．



【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，解第（3）题时应进行分类讨论，以免丢解．