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河北省唐山市丰南区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）
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这是一份河北省唐山市丰南区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案），共25页。
2021-2022学年河北省唐山市丰南区九年级第一学期期中数学试卷
一、精心选一选（本大题共16小题。1-6题，每题2分；7-16题，每题3分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．一元二次方程3x2＝3﹣2x的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2和﹣3 B．3和﹣2 C．﹣3和2 D．3和2
2．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
4．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
7．已知代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列四个结论中正确的有（ ）
①abc＜0；
②b2＞4ac；
③2a+b＝0；
④9a+3b+c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
10．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
11．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x+1）＝1980
12．嘉琪在距离地面2m高的房顶把一圆球以初速度v0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：s＝v0t﹣gt2（其中g是常数，通常取10m/s2）．若v0＝10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面（ ）
A．2m B．5m C．7m D．10m
13．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．2
14．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度．若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x+m，则m的值是（ ）
A．﹣5或﹣13 B．﹣1或19 C．5或13 D．4或14
15．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
16．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A．2 B．6 C．5 D．
二、细心填一填（本大题共3小题，17题3分，18、19题每空2分，共11分）把答案直接写在题中的横线上.
17．将方程（3﹣2x）（x+2）＝5化为一般形式为 ．
18．若抛物线y＝2x2﹣mx+n向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝2x2﹣4x+1，则m＝ ，n＝ ．
19．第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A2关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A3的坐标是 ，点A2021的坐标是 ．
三、专心解一解（本题满分67分）请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、解答过程.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值．
21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点．
（1）如果A点的坐标为（0，﹣3），∠ABC＝45°，3OC＝OA，求这个二次函数的函数表达式．
（2）点P在（1）中的抛物线上，且S△BCP＝S△ABC，求P点坐标．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连
接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求线段DE的长度．
23．某超市服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施并规定：单件获利不超过50%．经市场调查发现：如果每件服装降价0.5元，那么平均每天就可多售出1件．设每件服装降价x元．
（1）用含x的代数式表示降价后平均每天销售的数量；
（2）要想平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件的售价应为多少？
24．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．
（1）求∠OFE1的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部，外部，还是边上？证明你的判断．
25．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
参考答案
一、精心选一选（本大题共16小题。1-6题，每题2分；7-16题，每题3分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．一元二次方程3x2＝3﹣2x的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2和﹣3 B．3和﹣2 C．﹣3和2 D．3和2
【分析】要确定一元二次方程的一次项系数、常数项，首先把方程化为一般式，然后再找出答案．
解：一元二次方程3x2＝3﹣2x变为一般形式为：一元二次方程3x2+2x﹣3＝0，
一次项系数是2，常数项是﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【分析】根据二次函数的性质，可以判断出a、b、c的大小关系，本题得以解决．
解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，
∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，
∴a＞c＞b，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义，确定常数项，根据常数项为0求出a的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，
∴a2﹣4＝0且a﹣2≠0．
解得a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程方程的定义，本题易错，易关注常数项为0而忽略了二次项系数不能为0．
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确；
图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2﹣3无解，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
7．已知代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
【分析】由已知代数式的值求出x2﹣x的值，代入原式计算即可求出值．
解：由题意得：3x2﹣4x+6＝9，即x2﹣x＝1，
则原式＝1+6＝7，
故选：D．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列四个结论中正确的有（ ）
①abc＜0；
②b2＞4ac；
③2a+b＝0；
④9a+3b+c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①③，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由x＝﹣1时y＜0及抛物线的对称性可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，③正确．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确．
∵x＝﹣1时，y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
9．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．
解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，
∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，
根据题意得：x（x﹣2）＝120，
解得：x＝12或x＝﹣10（舍去），
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
10．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x+1）＝1980
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．
解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
【点评】本题类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别．
12．嘉琪在距离地面2m高的房顶把一圆球以初速度v0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：s＝v0t﹣gt2（其中g是常数，通常取10m/s2）．若v0＝10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面（ ）
A．2m B．5m C．7m D．10m
【分析】把g＝10，v0＝10代入s＝v0t﹣gt2求出解析式，并找出s的最大值，另外不要忘记抛球时本身就距离地面2米．
解：把g＝10，v0＝10代入s＝v0t﹣gt2得：
s＝﹣5t2+10t＝﹣5（t﹣1）2+5，
它是开口向下的一条抛物线，
所以最大值为5，此时离地面5+2＝7m．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是把g＝10，v0＝10代入s＝v0t﹣gt2求出解析式．
13．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．2
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，
∴AD＝DC＝6，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
14．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度．若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x+m，则m的值是（ ）
A．﹣5或﹣13 B．﹣1或19 C．5或13 D．4或14
【分析】把已知抛物线解析式化成顶点式，得到顶点为（3，m﹣9），根据题意得到m﹣9＝±4，解方程即可求得．
解：∵y＝x2﹣6x+m＝（x﹣3）2+m﹣9，
∴此抛物线开口向上，顶点为（3，m﹣9），
由题意可知，m﹣9＝±4，
∴m＝13或5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，轴对称轴的性质，解答本题的关键是表示出抛物线的顶点坐标．
15．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
【分析】先利用一次函数的性质得k＞0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝﹣4kb，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：根据图象可得k＞0，b＜0，
所以kb＜0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＝4﹣4kb﹣4＝﹣4kb，
所以Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
16．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A．2 B．6 C．5 D．
【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．
解：如图，过点H作HM⊥BC于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
二、细心填一填（本大题共3小题，17题3分，18、19题每空2分，共11分）把答案直接写在题中的横线上.
17．将方程（3﹣2x）（x+2）＝5化为一般形式为 2x2+x﹣1＝0 ．
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则把左边展开，然后再合并同类项即可．
解：（3﹣2x）（x+2）＝5，
3x+6﹣2x2﹣4x﹣5＝0，
﹣2x2﹣x+1＝0，
2x2+x﹣1＝0，
故答案为：2x2+x﹣1＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
18．若抛物线y＝2x2﹣mx+n向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝2x2﹣4x+1，则m＝ 16 ，n＝ 29 ．
【分析】逆向思考：先利用配方法得到抛物线y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），再把点（1，﹣1）反向平移得到对应点的坐标为（3，﹣4），然后根据顶点式写出抛物线解析式，变形为一般式后易得m与n的值．
解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，抛物线y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），
把点（1，﹣1）向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到对应点的坐标为（4，﹣3），
所以原抛物线解析式为y＝2（x﹣4）2﹣3＝2x2﹣16x+29，
所以m＝16，n＝29．
故答案为：16，29．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A2关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A3的坐标是 （3，﹣2） ，点A2021的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：由题意，A1（﹣2，3），A2（﹣2，﹣3），A3（3，﹣2），
4次应该循环，2021÷4＝505…1，
∴点A2021的坐标与A1相同，
∴点A2021的坐标（﹣2，3），
故答案为：（3，﹣2），（﹣2，3）．
【点评】本题考查旋转变换，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、专心解一解（本题满分67分）请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、解答过程.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；
（2））将x＝1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝1代入一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0得：
12﹣（2k+1）+k2﹣2＝0，
解得k＝2+2或2﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出Δ＝b2﹣4ac的值；（2）代入x＝1得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．
21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点．
（1）如果A点的坐标为（0，﹣3），∠ABC＝45°，3OC＝OA，求这个二次函数的函数表达式．
（2）点P在（1）中的抛物线上，且S△BCP＝S△ABC，求P点坐标．
【分析】（1）求出点B、C的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）由S△BCP＝S△ABC，得到|yP|＝|yC|，即可求解．
解：（1）由A点的坐标知，AO＝3，
∵∠ABC＝45°，3OC＝OA，
∴BO＝3，CO＝1，
故点B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
∵A点的坐标为（0，﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵S△BCP＝S△ABC，
∴|yP|＝|yC|，即yP＝±4，
即y＝x2+2x﹣3＝±4，
解得：x＝﹣1±2或﹣1，
故点P的坐标为（﹣1+2，4）或（﹣1﹣2，4）或（﹣1，﹣4）．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数表达式、图形面积的求法等，其中（2）要注意分类求解．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连
接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求线段DE的长度．
【分析】（1）先根据旋转的性质，由线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE位置得到CD＝CE，∠DCE＝90°，加上∠BCA＝90°，于是可得∠ACD＝∠BCE，然后根据SAS即可得到△ACD≌△BCE；
（2）先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB＝6，由BA＝3AD得到AD＝2，BD＝4，再证明∠DBE＝90°，BE＝2，然后在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出DE的长度．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝6．
∵AB＝3AD，
∴AD＝2，BD＝4．
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝2，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2，
∴DE＝＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
23．某超市服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施并规定：单件获利不超过50%．经市场调查发现：如果每件服装降价0.5元，那么平均每天就可多售出1件．设每件服装降价x元．
（1）用含x的代数式表示降价后平均每天销售的数量；
（2）要想平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件的售价应为多少？
【分析】（1）利用降价后平均每天的销售量＝20+1×，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天销售的数量；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合单件获利不超过50%，即可确定x的值，再将其代入90﹣x中，即可求出每件的售价．
解：（1）当每件服装降价x元时，每件服装的销售利润为（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出20+1×＝（20+2x）件．
（2）依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，×100%＝×100%＝60%＞50%，不符合题意，舍去；
当x＝20时，×100%＝×100%＝40%＜50%，符合题意，
∴90﹣x＝90﹣20＝70．
答：每件的售价应为70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天销售的数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．
（1）求∠OFE1的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部，外部，还是边上？证明你的判断．
【分析】（1）根据OFE1＝∠B+∠1，易得∠OFE1的度数；
（2）在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长；
（3）设BC（或延长线）交D2E2于点P，Rt△PCE2是等腰直角三角形，就可以求出CB的长，判断B在△D2CE2内．
解：（1）如图所示，∠3＝15°，∠E1＝90°，
∴∠1＝∠2＝75°，
又∵∠B＝45°，
∴∠OFE1＝∠B+∠1＝45°+75°＝120°；
（2）∵∠OFE1＝120°，
∴∠D1FO＝60°，
∵∠CD1E1＝30°，
∴∠4＝90°，
又∵AC＝BC，∠A＝45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA＝OB＝AB＝3cm，
∵∠ACB＝90°，
∴CO＝AB＝×6＝3cm，
又∵CD1＝7cm，
∴OD1＝CD1﹣OC＝7﹣3＝4cm，
在Rt△AD1O中，cm；
（3）点B在△D2CE2内部，
理由如下：设BC（或延长线）交D2E2于点P
则∠PCE2＝15°+30°＝45°，
在Rt△PCE2中，CP＝CE2＝，
∵，即CB＜CP，
∴点B在△D2CE2内部．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，正确认识旋转角，理解旋转的概念是解题的关键．
25．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）
【分析】（1）依题意设抛物线顶点式，将点A坐标代入可得抛物线的表达式．
（2）令y＝0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，依题意可知CD＝EF，从而得方程﹣（x﹣6）2+4＝2解得x的值即可知道CD、BD．
解：（1）根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
将点A（0，1）代入，得：36a+4＝1，
解得：a＝﹣，
∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）令y＝0，得：﹣（x﹣6）2+4＝0，
解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地点C距守门员13米；
（3）如图，足球第二次弹出后的距离为CD，
根据题意知CD＝EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴﹣（x﹣6）2+4＝2，
解得：x1＝6﹣2，x2＝6+2，
∴CD＝x2﹣x1＝4≈10，
∴BD＝13﹣6+10＝17米，
答：运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑17米．
【点评】本题主要考查二次函数应用问题，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
【分析】（1）将y＝mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2＝MB2时；②DM2+MB2＝BD2时，讨论即可求得m的值．
解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，
解得，
故C1：y＝x2﹣x﹣．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，
设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），
PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，
S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，
×（）2﹣﹣＝﹣，
P（，﹣）；
（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，
顶点M坐标（1，﹣4m），
当x＝0时，y＝﹣3m，
∴D（0，﹣3m），B（3，0），
∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，
MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，
BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．
①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，
解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；
②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，
解得m＝﹣（m＝舍去）．
综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
2021-2022学年河北省唐山市丰南区九年级第一学期期中数学试卷
一、精心选一选（本大题共16小题。1-6题，每题2分；7-16题，每题3分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．一元二次方程3x2＝3﹣2x的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2和﹣3 B．3和﹣2 C．﹣3和2 D．3和2
2．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
4．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
7．已知代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列四个结论中正确的有（ ）
①abc＜0；
②b2＞4ac；
③2a+b＝0；
④9a+3b+c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
10．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
11．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x+1）＝1980
12．嘉琪在距离地面2m高的房顶把一圆球以初速度v0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：s＝v0t﹣gt2（其中g是常数，通常取10m/s2）．若v0＝10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面（ ）
A．2m B．5m C．7m D．10m
13．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．2
14．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度．若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x+m，则m的值是（ ）
A．﹣5或﹣13 B．﹣1或19 C．5或13 D．4或14
15．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
16．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A．2 B．6 C．5 D．
二、细心填一填（本大题共3小题，17题3分，18、19题每空2分，共11分）把答案直接写在题中的横线上.
17．将方程（3﹣2x）（x+2）＝5化为一般形式为 ．
18．若抛物线y＝2x2﹣mx+n向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝2x2﹣4x+1，则m＝ ，n＝ ．
19．第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A2关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A3的坐标是 ，点A2021的坐标是 ．
三、专心解一解（本题满分67分）请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、解答过程.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值．
21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点．
（1）如果A点的坐标为（0，﹣3），∠ABC＝45°，3OC＝OA，求这个二次函数的函数表达式．
（2）点P在（1）中的抛物线上，且S△BCP＝S△ABC，求P点坐标．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连
接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求线段DE的长度．
23．某超市服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施并规定：单件获利不超过50%．经市场调查发现：如果每件服装降价0.5元，那么平均每天就可多售出1件．设每件服装降价x元．
（1）用含x的代数式表示降价后平均每天销售的数量；
（2）要想平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件的售价应为多少？
24．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．
（1）求∠OFE1的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部，外部，还是边上？证明你的判断．
25．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
参考答案
一、精心选一选（本大题共16小题。1-6题，每题2分；7-16题，每题3分，共42分）每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选选项的字母代号写在题中的括号内.
1．一元二次方程3x2＝3﹣2x的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2和﹣3 B．3和﹣2 C．﹣3和2 D．3和2
【分析】要确定一元二次方程的一次项系数、常数项，首先把方程化为一般式，然后再找出答案．
解：一元二次方程3x2＝3﹣2x变为一般形式为：一元二次方程3x2+2x﹣3＝0，
一次项系数是2，常数项是﹣3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
3．已知点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b
【分析】根据二次函数的性质，可以判断出a、b、c的大小关系，本题得以解决．
解：∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，a），B（2，b），C（4，c）是抛物线y＝x2﹣4x的三点，
∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣2＝0，4﹣2＝2，
∴a＞c＞b，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．0
【分析】根据一元二次方程的定义，确定常数项，根据常数项为0求出a的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+4x+a2﹣4＝0的常数项为0，
∴a2﹣4＝0且a﹣2≠0．
解得a＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程方程的定义，本题易错，易关注常数项为0而忽略了二次项系数不能为0．
5．对于二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时，y随x的增大而增大
B．当x＝2时，y有最大值﹣3
C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣3）
D．图象与x轴有两个交点
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2﹣3，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项A错误；
当x＝2时，该函数取得最大值，最大值是﹣3，故选项B正确；
图象的顶点坐标为（2，﹣3），故选项C错误；
当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2﹣3无解，故选项D错误；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（ ）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．
7．已知代数式3x2﹣4x+6的值为9，则x2﹣x+6的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
【分析】由已知代数式的值求出x2﹣x的值，代入原式计算即可求出值．
解：由题意得：3x2﹣4x+6＝9，即x2﹣x＝1，
则原式＝1+6＝7，
故选：D．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列四个结论中正确的有（ ）
①abc＜0；
②b2＞4ac；
③2a+b＝0；
④9a+3b+c＞0．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①③，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由x＝﹣1时y＜0及抛物线的对称性可判断④．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴2a+b＝0，③正确．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，②正确．
∵x＝﹣1时，y＜0，抛物线对称轴为直线x＝1，
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，④错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
9．一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，菜地就变成正方形，则原菜地的长是（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】根据“如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公式列出方程即可．
解：∵长减少2m，菜地就变成正方形，
∴设原菜地的长为x米，则宽为（x﹣2）米，
根据题意得：x（x﹣2）＝120，
解得：x＝12或x＝﹣10（舍去），
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
10．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣4或x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A．x（x﹣1）＝1980 B．x（x﹣1）＝1980
C．x（x+1）＝1980 D．x（x+1）＝1980
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发x﹣1条消息，则发消息共有x（x﹣1）条．
解：设有x个好友，依题意，
x（x﹣1）＝1980，
故选：B．
【点评】本题类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别．
12．嘉琪在距离地面2m高的房顶把一圆球以初速度v0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：s＝v0t﹣gt2（其中g是常数，通常取10m/s2）．若v0＝10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面（ ）
A．2m B．5m C．7m D．10m
【分析】把g＝10，v0＝10代入s＝v0t﹣gt2求出解析式，并找出s的最大值，另外不要忘记抛球时本身就距离地面2米．
解：把g＝10，v0＝10代入s＝v0t﹣gt2得：
s＝﹣5t2+10t＝﹣5（t﹣1）2+5，
它是开口向下的一条抛物线，
所以最大值为5，此时离地面5+2＝7m．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是把g＝10，v0＝10代入s＝v0t﹣gt2求出解析式．
13．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF位置．若四边形AECF的面积为36，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．4 B．2 C．6 D．2
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，
∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于36，
∴AD＝DC＝6，
∵DE＝2，
∴Rt△ADE中，AE＝＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
14．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距8个单位长度．若其中一条抛物线的函数表达式为y＝x2﹣6x+m，则m的值是（ ）
A．﹣5或﹣13 B．﹣1或19 C．5或13 D．4或14
【分析】把已知抛物线解析式化成顶点式，得到顶点为（3，m﹣9），根据题意得到m﹣9＝±4，解方程即可求得．
解：∵y＝x2﹣6x+m＝（x﹣3）2+m﹣9，
∴此抛物线开口向上，顶点为（3，m﹣9），
由题意可知，m﹣9＝±4，
∴m＝13或5．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，轴对称轴的性质，解答本题的关键是表示出抛物线的顶点坐标．
15．已知一次函数y＝kx+b的大致图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个相等的实数根 D．有一个根是0
【分析】先利用一次函数的性质得k＞0，b＜0，再计算判别式的值得到Δ＝﹣4kb，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：根据图象可得k＞0，b＜0，
所以kb＜0，
因为Δ＝（﹣2）2﹣4（kb+1）＝4﹣4kb﹣4＝﹣4kb，
所以Δ＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
16．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为（ ）
A．2 B．6 C．5 D．
【分析】首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．
解：如图，过点H作HM⊥BC于点M，
∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，
∴CM＝BC﹣BM＝8﹣3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
二、细心填一填（本大题共3小题，17题3分，18、19题每空2分，共11分）把答案直接写在题中的横线上.
17．将方程（3﹣2x）（x+2）＝5化为一般形式为 2x2+x﹣1＝0 ．
【分析】利用多项式乘以多项式计算法则把左边展开，然后再合并同类项即可．
解：（3﹣2x）（x+2）＝5，
3x+6﹣2x2﹣4x﹣5＝0，
﹣2x2﹣x+1＝0，
2x2+x﹣1＝0，
故答案为：2x2+x﹣1＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
18．若抛物线y＝2x2﹣mx+n向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到抛物线y＝2x2﹣4x+1，则m＝ 16 ，n＝ 29 ．
【分析】逆向思考：先利用配方法得到抛物线y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），再把点（1，﹣1）反向平移得到对应点的坐标为（3，﹣4），然后根据顶点式写出抛物线解析式，变形为一般式后易得m与n的值．
解：y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，抛物线y＝2x2﹣4x+1的顶点坐标为（1，﹣1），
把点（1，﹣1）向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到对应点的坐标为（4，﹣3），
所以原抛物线解析式为y＝2（x﹣4）2﹣3＝2x2﹣16x+29，
所以m＝16，n＝29．
故答案为：16，29．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
19．第一次：将点A绕原点O逆时针旋转90°得到A1；
第二次：作点A1关于x轴的对称点A2；
第三次：将点A2绕点O逆时针旋转90°得到A3；
第四次：作点A2关于x轴的对称点A4…，
按照这样的规律，点A3的坐标是 （3，﹣2） ，点A2021的坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
解：由题意，A1（﹣2，3），A2（﹣2，﹣3），A3（3，﹣2），
4次应该循环，2021÷4＝505…1，
∴点A2021的坐标与A1相同，
∴点A2021的坐标（﹣2，3），
故答案为：（3，﹣2），（﹣2，3）．
【点评】本题考查旋转变换，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
三、专心解一解（本题满分67分）请认真读题，冷静思考.解答题应写出文字说明、解答过程.
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；
（2））将x＝1代入原方程，得出关于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝1代入一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0得：
12﹣（2k+1）+k2﹣2＝0，
解得k＝2+2或2﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出Δ＝b2﹣4ac的值；（2）代入x＝1得出关于k的一元二次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式来判断实数根的个数是关键．
21．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点．
（1）如果A点的坐标为（0，﹣3），∠ABC＝45°，3OC＝OA，求这个二次函数的函数表达式．
（2）点P在（1）中的抛物线上，且S△BCP＝S△ABC，求P点坐标．
【分析】（1）求出点B、C的坐标，再用待定系数法即可求解；
（2）由S△BCP＝S△ABC，得到|yP|＝|yC|，即可求解．
解：（1）由A点的坐标知，AO＝3，
∵∠ABC＝45°，3OC＝OA，
∴BO＝3，CO＝1，
故点B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
∵A点的坐标为（0，﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵S△BCP＝S△ABC，
∴|yP|＝|yC|，即yP＝±4，
即y＝x2+2x﹣3＝±4，
解得：x＝﹣1±2或﹣1，
故点P的坐标为（﹣1+2，4）或（﹣1﹣2，4）或（﹣1，﹣4）．
【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数表达式、图形面积的求法等，其中（2）要注意分类求解．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D在AB上，且BA＝3AD，连
接CD，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，连接BE，DE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求线段DE的长度．
【分析】（1）先根据旋转的性质，由线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE位置得到CD＝CE，∠DCE＝90°，加上∠BCA＝90°，于是可得∠ACD＝∠BCE，然后根据SAS即可得到△ACD≌△BCE；
（2）先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB＝6，由BA＝3AD得到AD＝2，BD＝4，再证明∠DBE＝90°，BE＝2，然后在Rt△BDE中利用勾股定理即可求出DE的长度．
【解答】（1）证明：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°至CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB﹣∠BCD＝∠DCE﹣∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE．
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝6．
∵AB＝3AD，
∴AD＝2，BD＝4．
由（1）可知△ACD≌△BCE，
∴∠CBE＝∠A＝45°，BE＝AD＝2，
∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°．
在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，
∴DE2＝BE2+BD2，
∴DE＝＝2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．
23．某超市服装柜在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件，现商场决定采取适当的降价措施并规定：单件获利不超过50%．经市场调查发现：如果每件服装降价0.5元，那么平均每天就可多售出1件．设每件服装降价x元．
（1）用含x的代数式表示降价后平均每天销售的数量；
（2）要想平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件的售价应为多少？
【分析】（1）利用降价后平均每天的销售量＝20+1×，即可用含x的代数式表示出降价后平均每天销售的数量；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合单件获利不超过50%，即可确定x的值，再将其代入90﹣x中，即可求出每件的售价．
解：（1）当每件服装降价x元时，每件服装的销售利润为（90﹣x﹣50）元，平均每天可售出20+1×＝（20+2x）件．
（2）依题意得：（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
当x＝10时，×100%＝×100%＝60%＞50%，不符合题意，舍去；
当x＝20时，×100%＝×100%＝40%＜50%，符合题意，
∴90﹣x＝90﹣20＝70．
答：每件的售价应为70元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天销售的数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝6cm，DC＝7cm把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．
（1）求∠OFE1的度数；
（2）求线段AD1的长；
（3）若把三角形D1CE1绕着点C顺时针再旋转30°得△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部，外部，还是边上？证明你的判断．
【分析】（1）根据OFE1＝∠B+∠1，易得∠OFE1的度数；
（2）在Rt△AD1O中根据勾股定理就可以求得AD1的长；
（3）设BC（或延长线）交D2E2于点P，Rt△PCE2是等腰直角三角形，就可以求出CB的长，判断B在△D2CE2内．
解：（1）如图所示，∠3＝15°，∠E1＝90°，
∴∠1＝∠2＝75°，
又∵∠B＝45°，
∴∠OFE1＝∠B+∠1＝45°+75°＝120°；
（2）∵∠OFE1＝120°，
∴∠D1FO＝60°，
∵∠CD1E1＝30°，
∴∠4＝90°，
又∵AC＝BC，∠A＝45°
即△ABC是等腰直角三角形．
∴OA＝OB＝AB＝3cm，
∵∠ACB＝90°，
∴CO＝AB＝×6＝3cm，
又∵CD1＝7cm，
∴OD1＝CD1﹣OC＝7﹣3＝4cm，
在Rt△AD1O中，cm；
（3）点B在△D2CE2内部，
理由如下：设BC（或延长线）交D2E2于点P
则∠PCE2＝15°+30°＝45°，
在Rt△PCE2中，CP＝CE2＝，
∵，即CB＜CP，
∴点B在△D2CE2内部．
【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，正确认识旋转角，理解旋转的概念是解题的关键．
25．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据试验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．
（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．
（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取4＝7）
（3）运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取2＝5）
【分析】（1）依题意设抛物线顶点式，将点A坐标代入可得抛物线的表达式．
（2）令y＝0可求出x的两个值，再按实际情况筛选．
（3）如图可得第二次足球弹出后的距离为CD，依题意可知CD＝EF，从而得方程﹣（x﹣6）2+4＝2解得x的值即可知道CD、BD．
解：（1）根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y＝a（x﹣6）2+4，
将点A（0，1）代入，得：36a+4＝1，
解得：a＝﹣，
∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣6）2+4；
（2）令y＝0，得：﹣（x﹣6）2+4＝0，
解得：x1＝4+6≈13，x2＝﹣4+6＜0（舍去），
∴足球第一次落地点C距守门员13米；
（3）如图，足球第二次弹出后的距离为CD，
根据题意知CD＝EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），
∴﹣（x﹣6）2+4＝2，
解得：x1＝6﹣2，x2＝6+2，
∴CD＝x2﹣x1＝4≈10，
∴BD＝13﹣6+10＝17米，
答：运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑17米．
【点评】本题主要考查二次函数应用问题，解题的关键是要有建模思想，将题目中的语句转化为数学语言，这样才能较好的领会题意并运用自己的知识解决问题．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
【分析】（1）将y＝mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2＝MB2时；②DM2+MB2＝BD2时，讨论即可求得m的值．
解：（1）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）设C1：y＝ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，
解得，
故C1：y＝x2﹣x﹣．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y＝x﹣，
设P（x，x2﹣x﹣），则Q（x，x﹣），
PQ＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣x2+x，
S△PBC＝S△PCQ+S△PBQ＝PQ•OB＝×（﹣x2+x）×3＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，S△PBC有最大值，Smax＝，
×（）2﹣﹣＝﹣，
P（，﹣）；
（3）y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m，
顶点M坐标（1，﹣4m），
当x＝0时，y＝﹣3m，
∴D（0，﹣3m），B（3，0），
∴DM2＝（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2＝m2+1，
MB2＝（3﹣1）2+（0+4m）2＝16m2+4，
BD2＝（3﹣0）2+（0+3m）2＝9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2＝MB2或DM2+MB2＝BD2．
①DM2+BD2＝MB2时有：m2+1+9m2+9＝16m2+4，
解得m＝﹣1（∵m＜0，∴m＝1舍去）；
②DM2+MB2＝BD2时有：m2+1+16m2+4＝9m2+9，
解得m＝﹣（m＝舍去）．
综上，m＝﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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