河南省实验文博学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

这是一份河南省实验文博学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，四象限等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省实验文博学校九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共75分）
1．下列图形中，不一定是相似图形的是（　　）
A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形 D．两个圆
2．下列结论错误的是（　　）

A．若∠ABC＝∠ADE，则△ABC∽△ADE
B．若＝，则△ABC∽△ADE
C．若＝，则△ABC∽△ADE
D．若＝＝，则△ABC∽△ADE
3．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M，BE与AC相交于点F，连接AP，下列结论错误的是（　　）

A．△BAE∽△CAD B．MP：MA＝ME：MD
C．∠EAC＝∠APC D．∠CPB＝60°
4．已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．无数
5．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝8，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（　　）

A．或 B．10或
C．或10 D．以上答案都不对
6．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
7．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（　　）

A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm
8．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长度是（　　）

A．5毫米 B．毫米 C．毫米 D．2毫米
9．在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线．测得人与直杆的距离DB为2米，人眼高度CD为1.6米，则教学楼的高度MN为（　　）米．

A．12 B．12.4 C．13.6 D．15.2
10．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是（　　）

A．6 B．8 C．4 D．2
11．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A'B'C'
B．点A、O、A'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．S△ABC：S△A'B'C′＝1：4
12．矩形的正投影不可能是（　　）
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．线段
13．有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度lA＞lC＞lB，则A，B，C的先后顺序是（　　）
A．A、B、C B．A、C、B C．B、A、C D．B、C、A
14．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7
15．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（　　）

A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
16．如图是从三个方向看到的几何体的形状图，则这个几何体的形状是选项中的（　　）

A． B． C． D．
17．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
18．一长方体切去一角后如图所示，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
19．下列函数：①y＝x﹣2②y＝﹣③y＝﹣1④y＝，y是x的反比例函数的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
20．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）
A．y随x增大而增大
B．图象分别在第二、四象限
C．该反比例函数图象与坐标轴无交点
D．图象经过点（2，﹣6）
21．反比例函数y＝（k＜3）图象经过点A（﹣3，a）、B（﹣1，b）、C（2，c），则a、b、c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
22．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，m），B（﹣2，n），则关于x的不等式ax+b＞的解集是（　　）

A．x＞2或﹣1＜x＜0 B．x＞1或﹣2＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．0＜x＜1或x＜﹣2
23．当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝k（x﹣1）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
24．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为1.5的是（　　）
A．
B．
C．
D．
25．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（　　）

A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
二、解答题（共2小题，共25分）
26．如图，一次函数y＝﹣2x+8与函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，2）两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上找一点P，连接AP，BP，使△ABP周长最小，求点P坐标．

27．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．
（1）证明：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围；
（3）若三角形ADE恰为等腰三角形，请直接写出AE的长，不必说明理由．



参考答案
一、选择题（每小题3分，共75分）
1．下列图形中，不一定是相似图形的是（　　）
A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形
C．两个长方形 D．两个圆
【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、两个等边三角形一定相似，不符合题意；
B、两个等腰直角三角形一定相似，不符合题意；
C、两个长方形的对应角相等但对应边的比不一定相等，故不一定相似，符合题意；
D、两个圆一定相似，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了相似图形的定义，牢记相似图形的定义是解答本题的关键，难度不大．
2．下列结论错误的是（　　）

A．若∠ABC＝∠ADE，则△ABC∽△ADE
B．若＝，则△ABC∽△ADE
C．若＝，则△ABC∽△ADE
D．若＝＝，则△ABC∽△ADE
【分析】根据相似三角形的判定方法：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似，结合选项进行判断即可．
解：A、∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，正确，不符合题意；
B、∵∠A＝∠A，，
∴△ABC∽△ADE，正确，不符合题意；
C、由∠A＝∠A，，不能得出△ABC与△ADE相似，错误，符合题意；
D、∵＝，
∴△ABC∽△ADE，正确，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．
3．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，CD与BE、AE分别交于点P、M，BE与AC相交于点F，连接AP，下列结论错误的是（　　）

A．△BAE∽△CAD B．MP：MA＝ME：MD
C．∠EAC＝∠APC D．∠CPB＝60°
【分析】先证明△BAE∽△CAD，△EMP∽△DMA，由相似三角形的性质依次判断可求解．
解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴CA＝AB，AD＝AE，∠AED＝∠ABC＝90°，∠DAE＝∠CAB＝45°，
∴∠DAE+∠EAC＝∠CAB+∠EAC，∠EAC＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵＝，
∴△BAE∽△CAD，故选项A不符合题意；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠AEB＝∠ADC，
∵∠PME＝∠AMD，
∴△EMP∽△DMA，
∴，故选项B不符合题意；
∵∠AEB＝∠ADC，
∴点A，点P，点E，点D四点共圆，
∴∠APD＝∠AED＝90°＝∠EAC，∠EPD＝∠EAD＝45°＝∠BPC，故选项C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．已知AB＝4，CD＝9，BD＝17，AB⊥BD，CD⊥BD，在线段BD上有一点P，使得△PAB和△PCD相似，则满足条件的点P的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．无数
【分析】分两种情况讨论，由三角形的性质可列出等式，可求解．
解：设BP＝x，则PD＝17﹣x，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴当或时，△PAB和△PCD相似，
当时，则，解得：x＝，
当时，则，解得：x＝，
∴BP的值有三个，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
5．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝8，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（　　）

A．或 B．10或
C．或10 D．以上答案都不对
【分析】
解：∵△ABC与△ADE相似，
∴＝或＝，
∵AD＝8，AB＝12，AC＝15，
∴＝或＝，
解得：AE＝10或6.4．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似得到相应的线段的关系是解决本题的关键．
6．如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（　　）

A．①③ B．①④ C．②④ D．①③④
【分析】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．
解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，
而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，
再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．
7．如图，有一块三角形余料ABC，BC＝120mm，高线AD＝90mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P、M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ＝2：1，则PQ的长为（　　）

A．36mm B．40mm C．50mm D．120mm
【分析】利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
解：如图，设AD交PM于点K．
∵PM：PQ＝2：1，
∴可以假设MP＝2kmm，PQ＝kmm．
∵四边形PQNM是矩形，
∴PM∥BC，
∴△APM∽△ABC，
∵AD⊥BC，BC∥PM，
∴AD⊥PN，
∴＝，
∴＝，
解得k＝36，
∴PQ＝36mm．
故选：A．

【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上20份处（DE∥AB），那么小管口径DE的长度是（　　）

A．5毫米 B．毫米 C．毫米 D．2毫米
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可．
解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．
∴CD：CA＝DE：AB．
∴20：60＝DE：10．
∴DE＝．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的应用，关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出小管口径DE的长．
9．在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线．测得人与直杆的距离DB为2米，人眼高度CD为1.6米，则教学楼的高度MN为（　　）米．

A．12 B．12.4 C．13.6 D．15.2
【分析】如图中，过点C作CH⊥MN于点H，交AB于点J．则四边形CDBJ，四边形CDNH都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
解：如图，过点C作CH⊥MN于点H，交AB于点J．则四边形CDBJ，四边形CDNH都是矩形．
∴CD＝BJ＝NH＝1.6米，BD＝CJ＝2米，BN＝JH＝18米，
∵AB＝2.8米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.8﹣1.6＝1.2（米），
∵AJ∥MH，
∴△CAJ∽△CMH，
∴＝，
∴＝，
∴MH＝12（米），
∴MN＝MH+NH＝12+1.6＝13.6（米），
故选：C．

【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积是（　　）

A．6 B．8 C．4 D．2
【分析】由△ADE和△ABC的相似比是1：2及△ADE的面积是2，利用相似三角形的性质可得出S△ABC的值，再利用S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE，即可求出四边形DBCE的面积．
解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是2，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝8，
∴S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝8﹣2＝6．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，牢记“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”是解题的关键．
11．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍得到△A'B'C'．以下说法中错误的是（　　）

A．△ABC∽△A'B'C'
B．点A、O、A'三点在同一条直线上
C．AO：AA'＝1：2
D．S△ABC：S△A'B'C′＝1：4
【分析】根据位似的性质对各选项进行判断．
解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，OA：OA′＝1：2，AB∥A′B′，点A、O、A'三点在同一条直线上，S△ABC：S△A′B′C′＝（）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）．
12．矩形的正投影不可能是（　　）
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．线段
【分析】根据正投影的意义得出答案．
解：用平行光线对矩形从不同的方向，不同的角度正投影，可以得到矩形、正方形、线段，不可能是梯形，
故选：B．
【点评】本题考查平行投影，理解平行投影的意义是正确判断的前提．
13．有阳光的某天下午，小明在不同时刻拍了相同的三张风景照A，B，C，冲选后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度lA＞lC＞lB，则A，B，C的先后顺序是（　　）
A．A、B、C B．A、C、B C．B、A、C D．B、C、A
【分析】直接利用平行投影的性质，结合影子与物体长度关系分析得出答案．
解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大，
∵投影长度lA＞lC＞lB，
∴A，B，C的先后顺序是B、C、A．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行投影，正确掌握平行投影的性质是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（2，2）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的影长CD为（　　）

A．3 B．5 C．6 D．7
【分析】利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，

∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PM＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴CD＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．
15．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（　　）

A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
【分析】小亮由A处径直路灯下，他得影子由长变短，再从路灯下到B处，他的影子则由短变长．
解：晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．
故选：B．
【点评】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影．
16．如图是从三个方向看到的几何体的形状图，则这个几何体的形状是选项中的（　　）

A． B． C． D．
【分析】结合三视图作出判断即可．
解：根据俯视图可以将A、D排除掉，
根据左视图可将B排除，
故选：C．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是能够弄懂三个视图分别是从哪里看到的．
17．某运动会颁奖台如图所示，它的左视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
解：从左边看是一个矩形被分为3部分，上面的分线是实线，下面的分线是虚线．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意能看到的线用实线画，看不到的线用虚线画．
18．一长方体切去一角后如图所示，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
解：从正面，可得如下图形：

故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
19．下列函数：①y＝x﹣2②y＝﹣③y＝﹣1④y＝，y是x的反比例函数的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．
解：①是一次函数，不是反比例函数；
②是反比例函数；
③不是反比例函数；
④不是反比例函数；
共1个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
20．关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（　　）
A．y随x增大而增大
B．图象分别在第二、四象限
C．该反比例函数图象与坐标轴无交点
D．图象经过点（2，﹣6）
【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．
解：A、k＝﹣12＜0，则图象在第二、四象限内，y随x的增大而增大，故不正确，符合题意；
B、k＝﹣12＜0，则图象在第二、四象限内，正确，不合题意；
C、反比例函数的图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意；
D、当x＝2时，y＝﹣6，所以图象经过点（2，﹣6），正确，不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．
21．反比例函数y＝（k＜3）图象经过点A（﹣3，a）、B（﹣1，b）、C（2，c），则a、b、c的大小关系是（　　）
A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
解：∵反比例函数y＝（k＜3）中，k﹣3＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣3＜﹣1＜0，
∴点A（﹣3，a）、B（﹣1，b）在第二象限，
∵函数图象在第二象限内为增函数，
∴0＜a＜b，
∵2＞0，
∴C（2，c）在第四象限，
∴c＜0，
∴a、b、c的大小关系是b＞a＞c，
故选：A．
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题．
22．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数的图象交于点A（1，m），B（﹣2，n），则关于x的不等式ax+b＞的解集是（　　）

A．x＞2或﹣1＜x＜0 B．x＞1或﹣2＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．0＜x＜1或x＜﹣2
【分析】利用数形结合思想，直接得出关于x的不等式ax+b＞的解集．
解：根据图象可知，
关于x的不等式ax+b＞的解集为﹣2＜x＜0或x＞1．
故答案为：B．
【点评】本题考查了用数形结合思想解决函数与不等式解集的方法，综合性比较强．
23．当k＜0时，反比例函数y＝和一次函数y＝k（x﹣1）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】由k＜0、﹣k＞0即可得出一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，对照四个选项即可得出结论．
解：∵反比例函数y＝中k＜0，
∴该双曲线位于第二、四象限．
∵k＜0，
∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象、正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，熟练掌握“k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
24．若图中反比例函数的表达式均为y＝，则阴影面积为1.5的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
解：A选项中，阴影面积为3，故A不符合题意；
B选项中，阴影面积为×3＝1.5，故B符合题意；
C选项中，阴影面积为2××3＝3，故C不符合题意；
D选项中，阴影面积为4××3＝6，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
25．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（　　）

A．27分钟 B．20分钟 C．13分钟 D．7分钟
【分析】首先求得反比例函数的解析式，然后代入反比例函数y＝35求得x后减去7即可求得时间．
解：设反比例函数关系式为：y＝，
将（7，100）代入y＝得k＝700，
∴y＝，
将y＝35代入y＝，解得x＝20；
∴水温从100℃降到35℃所用的时间是20﹣7＝13分钟，
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．
二、解答题（共2小题，共25分）
26．如图，一次函数y＝﹣2x+8与函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，2）两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D．
（1）求k的值；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）在x轴上找一点P，连接AP，BP，使△ABP周长最小，求点P坐标．

【分析】（1）由一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）由一次函数解析式求得与x轴的交点M的坐标，然后根据S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM即可求得；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′与x轴的交点即为所求．
解：（1）∵一次函数y＝﹣2x+8与函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，6），B（n，2）两点，
∴6＝﹣2m+8，2＝﹣2n+8，
解得m＝1，n＝3，
∴点A（1，6），B（3，2），
∴k＝1×6＝6；

（2）设一次函数图象与x轴的交点为M，
在一次函数y＝﹣2x+8中，令y＝0，则求得x＝4，
∴M（4，0），
∴S△AOB＝S△AOM﹣S△BOM＝﹣＝8；

（3）由（1）知A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
则点A关于对称轴的对称点A′的坐标（1，﹣6），
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
将点B、A′坐标代入，得：，
解得：，
则直线BA′的解析式为y＝4x﹣10，
当y＝0时，由4x﹣10＝0得：x＝，
∴点P的坐标为（，0）．

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、三角形面积，轴对称﹣最短路线问题，灵活运用待定系数法求出函数解析式、正确作出点A关于x轴的对称点A′是解题的关键．
27．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．
（1）证明：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其自变量取值范围；
（3）若三角形ADE恰为等腰三角形，请直接写出AE的长，不必说明理由．

【分析】（1）利用有两个角对应相等的两个三角形相似即可判定△ABD∽△DCE；
（2）利用（1）中的△ABD∽△DCE，推知它们的对应边成比例，即，将相关相等的长度代入比例式即可得出关于x、y的函数关系式；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：①当AD＝DE，由△ABD≌△DCE的对应边CD＝AB＝3列出关于x的方程，求得x的值，最后将其代入（2）中的函数关系式求得AE的值；②当AD＝AE时，D与B重合，舍去；③若AE＝DE，在直角三角形中求AE的长度．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，BC＝3，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝45°+∠BAD，
∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝45°+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，
∴BC＝3，
∵BD＝x，AE＝y，
∴DC＝3﹣x，CE＝3﹣y，
∵△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+3（0＜x＜3）．
（3）解：当△ADE为等腰三角形时，
①若AD＝DE，
∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE，
∴CD＝AB＝3，
∴3﹣x＝3，
∴x＝3﹣3，
∴AE＝y＝6﹣3；
②若AD＝AE，
则∠AED＝∠ADE＝45°，
∴∠DAE＝90°，
即D与B重合，
∴不合题意，舍去；
③若AE＝DE，如图，

则∠DAE＝∠ADE＝45°，
∴∠DEA＝90°，
∴DE⊥AC，
∵AB⊥AC，
∴DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝，
综上所述，AE＝6﹣3或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形．根据相似三角形得出的相关线段成比例来求线段的长是解题的关键．