上海市进德中学2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试卷（含答案）

这是一份上海市进德中学2022-2023学年九年级上学期期中质量检测数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市进德中学2022-2023学年上学期期中质量检测九年级
数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，那么cotB等于（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
3．（4分）已知，下列说法中不正确的是（　　）
A． B．与方向相同
C． D．
4．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）

A．∠DAC＝∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2＝BC•CD D．＝
5．（4分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（，y1）、B（，y2）两个点，则（　　）
A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知＝，那么＝　 　．
8．（4分）抛物线y＝ax2+2经过点（﹣2，6），那么a＝　 　．
9．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于 　 　．
10．（4分）二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为 　 　．
11．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　 　．
12．（4分）在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是　 　．
13．（4分）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，＝，＝，则＝　 　．

14．（4分）如果抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是　 　．
15．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是 　 　．
16．（4分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知＝，＝　 　．

17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝　 　．

18．（4分）若△ABC内一点P满足∠PAC＝PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．如图，已知△ABC中CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA＝，则PC＝　 　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：4sin45°﹣2tan30℃os30°+．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣ax的对称轴为x＝2，过点A（5，b）．
（1）求出a，b的值；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标．

21．（10分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正切值．

22．（10分）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

23．（12分）已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：DA•OC＝OD•CE．

24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．

25．（14分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．
（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；
（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．


上海市进德中学2022-2023学年上学期期中质量检测九年级
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，那么cotB等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用余切的定义求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，
∴cotB＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解决此类问题的关键．
2．（4分）抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（2，﹣1）
【分析】利用配方法化成顶点式求解即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴顶点坐标为（2，1），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．
3．（4分）已知，下列说法中不正确的是（　　）
A． B．与方向相同
C． D．
【分析】根据已知条件可知：与的方向相同，其模是3倍关系．
【解答】解：A、由知：﹣3＝，原说法不正确，符合题意；
B、由知：与的方向相同，原说法正确，不符合题意；
C、由知：与的方向相同，则，原说法正确，不符合题意；
D、由知：||＝|3|，原说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小．
4．（4分）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC＝∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（　　）

A．∠DAC＝∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2＝BC•CD D．＝
【分析】已知∠ADC＝∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC＝∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②＝；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
5．（4分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先利用勾股定理计算出△ABO的三边，再判断△ABO的形状，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：连接AB．
∵点O、A、B在格点上，
∴OB＝＝2，
OA＝＝，
AB＝＝．
∵（）2+（）2＝（2）2，
∴AB2+OA2＝OB2．
∴△OAB是直角三角形．
∴sin∠AOB＝＝＝．
故选：D．

【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理、直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
6．（4分）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（，y1）、B（，y2）两个点，则（　　）
A．y1＝y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．无法确定
【分析】A、B的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离，二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近，对应的纵坐标越小；判断出y1、y2的大小关系．
【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，开口向上．
∵点A横坐标到对称轴的距离是|﹣1|＝，
点B到横坐标对称轴的距离是|1|，
∴y1＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查判断函数值大小，正确掌握二次函数图象的性质是解题关键．
二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知＝，那么＝　﹣　．
【分析】根据已知条件得出＝，再把化成1﹣，然后进行计算即可．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题考查了比例的性质．题目比较简单，解题的关键是掌握比例的性质与比例变形．
8．（4分）抛物线y＝ax2+2经过点（﹣2，6），那么a＝　1　．
【分析】根据待定系数法即可求得．
【解答】解：把点（2，6）代入y＝ax2+2得：6＝4a+2，
解得a＝1，
故答案为1．
【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
9．（4分）如果两个相似三角形对应边之比是4：9，那么它们的周长之比等于 　4：9　．
【分析】根据相似三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是4：9，
∴它们的周长之比等于4：9，
故答案为：4：9．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，能熟记相似三角形的周长之比等于相似比是解此题的关键．
10．（4分）二次函数y＝x2﹣4x图象上的最低点的纵坐标为 　﹣4　．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴抛物线最低点坐标为﹣4．
故答案为﹣4．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
11．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB＝2，则AP＝　　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2×＝﹣1．
【点评】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．
12．（4分）在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是　　．
【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．
【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），
∴OA＝＝5，
∴cosα＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．
13．（4分）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，＝，＝，则＝　﹣2+　．

【分析】根据平行四边形的性质分析即可．
【解答】解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以＝，
所以＝﹣＝﹣﹣＝﹣2+．
故答案为：﹣2+．
【点评】本题考查了平面向量与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关性质和平面向量的有关知识是解题的关键．
14．（4分）如果抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是　（﹣3，0）　．
【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质可找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标，此题得解．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴是解题的关键．
15．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点G是△ABC的重心，那么点G到斜边AB的距离是 　　．
【分析】过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图，先利用勾股定理计算出AB，再利用面积法求出CE＝，根据G是△ABC的重心得到DG＝CD，然后证明△DHG∽△DEC，利用相似比可求出GH的长度．
【解答】解：过C点作CE⊥AB于E，过G点作GH⊥AB于H，如图．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵CE•AB＝AC•BC，
∴CE＝＝，
∵G是△ABC的重心，
∴DG＝CG，
∴DG＝CD，
∵CE⊥AB，GH⊥AB，
∴GH∥CE，
∴△DHG∽△DEC，
∴＝＝，
∴GH＝CE＝×＝．
故答案为：．

【点评】此题考查了三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，也考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质．
16．（4分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知＝，＝　　．

【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以得到AE与CF的比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积公式就可以求得的值．
【解答】解：作AE⊥BD于点E，作CF⊥BD于点F，如图所示，
∵＝，
∴＝，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE∽△COF，
∴＝，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴＝，
∴，
∴＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，D为AB中点，E在线段AC上，＝，则＝　或　．

【分析】利用平行线截线段成比例解答．
【解答】解：∵D为AB中点，
∴＝．
当DE∥BC时，△ADE∽△ABC，则＝＝＝．
当DE与BC不平行时，DE＝DE′，＝．
故答案是：或．

【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
18．（4分）若△ABC内一点P满足∠PAC＝PCB＝∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名．如图，已知△ABC中CA＝CB，∠ACB＝120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA＝，则PC＝　　．

【分析】过C作CD⊥AB于D，由CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，可得AB＝BC，根据P为△ABC的布罗卡尔点，可得△PAB∽△PBC，即得＝＝，故＝＝，可解得答案．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图：

∵CA＝CB，∠ACB＝120°，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴CD＝BC，BD＝CD＝BC，
∴AB＝BC，
∵P为△ABC的布罗卡尔点，
∴∠PAC＝PCB＝∠PBA，
∴∠PAB＝∠PBC，
∴△PAB∽△PBC，
∴＝＝，
∵AB＝BC，PA＝，
∴＝＝，
∴PB＝1，PC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△PAB∽△PBC是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：4sin45°﹣2tan30℃os30°+．
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝4×﹣2××+
＝2﹣1+2
＝2+1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．
20．（10分）如图，已知二次函数y＝x2﹣ax的对称轴为x＝2，过点A（5，b）．
（1）求出a，b的值；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标．

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）设B（2，m）（m＞0），运用待定系数法求得直线OA的解析式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），BH＝|m﹣2|，利用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣ax的对称轴为x＝2，
∴﹣＝2，
∴a＝4，
∴y＝x2﹣4x，
∵过点A（5，b），
∴b＝25﹣20＝5；
（2）∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
∴设B（2，m）（m＞0），

设直线OA的解析式为y＝kx，
则5k＝5，
解得：k＝1，
∴直线OA的解析式为y＝x，
设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H（2，2），
∴BH＝m﹣2，
∵S△OAB＝15，
∴×|m﹣2|×5＝15，
解得：m＝8或﹣4（舍去），
∴点B的坐标为（2，8）．
【点评】本题考查二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AD＝2，BD＝6，tan∠B＝，点E是边BC的中点．
（1）求边AC的长；
（2）求∠EAB的正切值．

【分析】（1）解直角三角形求出CD＝4，再利用勾股定理求出AC即可；
（2）过点E作EH⊥AB于点H．求出AH，EH，可得结论．
【解答】解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴tanB＝＝，
∵BD＝6，
∴CD＝4，
∴AC＝＝＝2；

（2）过点E作EH⊥AB于点H．
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴EH∥CD，
∵EC＝EB，
∴DH＝BH＝3，
∴EH＝CD＝2，
∴AH＝AD+DH＝2+3＝5，
∴tan∠EAB＝＝．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
22．（10分）如图，为了测量建筑物AB的高度，先从与建筑物AB的底部B点水平相距100米的点C处出发，沿斜坡CD行走至坡顶D处，斜坡CD的坡度i＝1：3，坡顶D到BC的距离DE＝20米，在点D处测得建筑物顶端A点的仰角为50°，点A、B、C、D、E在同一平面内，根据测量数据，请计算建筑物AB的高度（结果精确到1米）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）

【分析】过D作DF⊥AB于F，由坡度的定义求出CE＝3DE＝60（米），则DF＝EB＝40（米），再解直角三角形求出AF的长，即可得出答案
【解答】解：过D作DF⊥AB于F，
则DF＝EB，FB＝DE＝20米，
∵斜坡CD的坡度i＝1：3＝DE：CE，坡顶D到BC的距离DE＝20米，
∴CE＝3DE＝60（米），
∴DF＝EB＝BC﹣CE＝100﹣60＝40（米），
在Rt△ADF中，∠ADF＝50°，
∵tan∠ADF＝＝tan50°≈1.19，
∴AF≈1.19DF＝1.19×40＝47.6（米），
∴AB＝AF+BF≈47.6+20≈68（米），
即建筑物AB的高度约为68米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23．（12分）已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE．如果点D在BC边上，且∠EDC＝∠BAD．点O为AC与DE的交点．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：DA•OC＝OD•CE．

【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B＝∠ADE，由于＝1，根据得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，于是得到∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，证得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到，由∠AOD＝∠COE，推出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，
∴∠B＝∠ADE，
∵＝1，
∴△ABC∽△ADE；

（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，
∵∠COD＝∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴，
∵∠AOD＝∠COE，
∴△AOD∽△EOC，
∴DA：CE＝OD：OC，
即DA•OC＝OD•CE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．

【分析】（1）把点A（﹣2，0），点B（0，4）代入解析式求解即可；
（2）先确定抛物线的对称轴，再过点P作PG⊥y轴，垂足为G，根据三角函数建立等量关系，求解即可；
（3）设新抛物线的表达式为﹣m，则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，运用平行建立线段的比例关系求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）
∴，解得
∴抛物线解析式为，
（2）＝，
∴对称轴为直线x＝1，如图1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，

∵∠PBO＝∠BAO，∴tan∠PBO＝tan∠BAO，
∴
∴，
∴BG＝
∴OG＝，
∴P（1，），
（3）如图2

设新抛物线的表达式为﹣m
则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2
过点F作FH⊥y轴，垂足为H，
∵DE∥FH，EO＝2OF
∴，
∴FH＝1，
①点D在y轴的正半轴上，则F（﹣1，），
∴OH＝m﹣
∴，
∴m＝3，
②点D在y轴的负半轴上，则F（1，），
∴OH＝m﹣，
∴，
∴m＝5
∴综上所述m的值为3或5．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键
25．（14分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D为AB边上一动点（点D与点A、B不重合），联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．
（1）如图，当ED＝EB时，求AD的长；
（2）设AD＝x，BE＝y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；
（3）把△BCD沿直线CD翻折得△CDB'，联结AB'，当△CAB'是等腰三角形时，直接写出AD的长．

【分析】（1）证明∠ACD＝∠EDB＝∠B，推出tan∠ACD＝tan∠B，可得＝，由此构建方程即可解决问题．
（2）如图1中，作EH⊥BD于H．证明△ACD∽△HDE，推出＝，由此构建关系式即可解决问题．
（3）分两种情形：①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N．利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．
【解答】解：（1）∵ED＝EB，
∴∠EDB＝∠B，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝∠A＝90°，
∵∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠EDH＝90°，
∴∠ACD＝∠EDB＝∠B，
∴tan∠ACD＝tan∠B，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．

（2）如图1中，作EH⊥BD于H．
在Rt△ACB中，∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，
∴BC＝＝＝5，
∵BE＝y，
∴EH＝y，BH＝y，DH＝AB﹣AD﹣BH＝4﹣x﹣y，
∵∠A＝∠DHE＝90°，∠ACD＝∠EDH，
∴△ACD∽△HDE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝（0＜x＜4）．

（3）①如图3﹣1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N

∵AC＝AB′＝3，AE⊥CB′，
∴CE＝EBCB′＝，
∴AE＝＝＝，
由△ACE∽△KCA，
可得AK＝，CK＝，
∴BK＝AB﹣AK＝4﹣，
∵∠DCK＝∠DCB，DM⊥CM，DN⊥CB，
∴DM＝DN，
∴＝＝＝＝＝，
∴BD＝BK＝﹣，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣（﹣）＝+．
②如图3﹣2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD＝BK＝+，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣．


【点评】本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．