黑龙江省联考2022-2023学年高二上学期期中数学试题

这是一份黑龙江省联考2022-2023学年高二上学期期中数学试题，共10页。试卷主要包含了 已知P为圆C， 如图，两个椭圆C1，022等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度上学期高二期中联考试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。已知向量若则A .           B .  1       C .           D.  1已知双曲线C的左、右焦点分别为（-4，0），（4，0），M是双曲线 上一点且||M||M||=，则双曲线C的标准方程为（   ）          B.        C.       D.  已知直线l:若直线的倾斜角为直线的倾斜角的一半，则   的斜率为   (    )           B.          C.           D. 若相外切，则  （    ）9          B. 10         C. 11       D. 12 已知（a，b，c）是空间的一个基底，下面向量中与向量a十c，ac一起能构成空间的另外一个基底的是  (     )a           B.          C.         D. 已知双曲线（a>0，b>0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为  (    )       B.       C.     D. 如图，在四棱锥中，PD底面，底面为正方形，PD=DC=2，Q为PC上一点，且PQ=3QC，则异面直线AC与BQ所成的角为(    )               B.    C.               D.           已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点， ，若△的面积为，则C的短袖长为（    ）A.3        B.4       C.5      D.6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。已知直线l过点（2，3），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程可以为  （   ）A.                            B.C.                            D.10. 已知P为圆），B（0,8），则（  ）  A.点P到直线AB的距离不小于1       B.到直线AB距离为3的点P有两个  C.当∠BAP最小时,|AP|=           D.当∠BAP最大时,|AP|= 11. 如图，两个椭圆内部重叠区域的边界记为曲线E，点 （   ）    若P为E上任意一点，则点P到四点的距离之和为定值    曲线E关于直线均对称    曲线E所围区域的面积小于36     曲线E所围区域的面积大于9π已知e是自然对数的底数，函数，实数m，n满足不等式 ，则下列结论正确的是（  ）                     B.若                      D.  三、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分。以点为圆心，且与轴相切的圆的方程是            .已知平面的法向量为上一点，则点到的距离为           .经过点作直线l交椭圆于M,N两点，且P为MN的中点，则直线l的方程为            .已知直线，直线，其中>1，若直线，与两坐标轴围成一个凸四边形，则此四边形面积的取值范围是       .四、解答题：本题共6小题，共70分。解算答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本小题满分10分）    已知△的顶点未⑴求BC边上的高所在直线的方程；⑵求△ABC的外接圆的方程。（本小题满分12分）已知为锐角，sin ，sin（）.⑴求sin2的值⑵求tan的值.19.（本小题满分12分）    每天在业余时间进行慢走与慢跑，可加强人的心脏功能，保持血压稳定，可加速脂质代谢，防止血脂升高，同时，还能提高人体免疫功能，增强防御疾病的能力，有助于身心健康，使人精力充沛.某企业为了了解本企业员工每天慢走与慢跑的情况，对每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工，随机抽取n人进行调查，将既参加慢走又参加慢跑的人称为“H族”，否则称为“非H族”，得如下的统计表以及每天慢走时间在25分钟到55分钟之间的员工人数的频率分布直方图（部分）∶组数分组人数本组中“H族”的比例第一组[25,30)2000.6第二组[30,35)3000.65第三组[35,40)2000.5第四组[40,45)1500.4第五组[45,50) 0.3第六组[50,55)500.3⑴试补全频分布直方图，并求与n的值；⑵从每天慢走时间在【40，50）（分钟）内的“H族”中按时间采用分层抽样法抽取6人参加企业举办的健身沙龙体验活动，再从这6人中选2人作健身技巧与减脂秘籍的发言，求这2人每天慢走的时间恰好1人在【40，45）分钟内，另一个人在【45，50）分钟内的概率.20.（本小题满分12分）    已知直三菱柱中，∠，,点M式的中点.⑴求证：平面 ;⑵求直线与所成角的正弦值.  21.（本小题满分12分）△的内角的对边分别为，在下列三个条件中任选一个作为已知条件，解答问题。① ② （其中S为△ABC的面积）；③⑴若的值；⑵若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.（本小题满分12分）    已知分别是椭圆的左、右焦点,P是C上的动点，C的离心率是，且△的面积的最大值是.⑴求C的方程；⑵过作两条相互垂直的直线，，直线交C于A，B两点，直线交C于D，E两点，求证： 为定值. 2022~2023学年度上学期高二期中联考试卷·数学参考答案、提示及评分细则1．D 因为，所以，即，解得．故选D．2．D 设双曲线C的方程为（，），半焦距为c，则，，故，，所以双曲线C的标准方程为．故选D．3．C 由题意知直线l的斜率为，则l的倾斜角为，则的倾斜角为，所以的斜率为．故选C．4．C 的标准方程是，圆心的坐标为，半径，的标准方程是，圆心的坐标为，半径，因为与相外切，所以，即，解得．故选C．5．B 显然选项ACD都可以由，线性表示，故选项ACD与，共面，不可以作为空间的基地，选线B与，不共面，故可以作为空间的一个基地．故选B．6．A 由双曲线的离心率为，得，所以，又双曲线的渐近线方程为，所以渐近线方程为，即．故选A．7．A 因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DP，DC，DA两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由，得，，，，，所以，，设异面直线AC与BQ所成的角为，则，又，所以异面直线AC与BQ所成的角为．故选A．8．D 由椭圆的定义知，所以，又，即，两式相减，得，因为的面积为，即，所以，解得，所以短轴长为6．故选D．9．AD 设l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则，若，则直线l的方程为，又l过点，所以，故，此时l的方程为，即；若，则直线l过，又l过点，易求l的方程为，即．故选AD．10．ACD 由题意知直线AB的方程为，所以圆心到直线AB的距离，故点P到直线AB的距离的最小值为，最大值为3，所以到直线AB距离为3的点仅有1个，故A正确，B错误；当最大或最小AP时，与圆相切，此时，故CD正确．故选ACD．11．BCD 显然A，B为的焦点，C，D为的焦点，若点P为E与y正半轴的交点，此时点P到四点的距离和为18，若点P为，的交点，则P到四点的距离和为20，故A错误；因为椭圆上任一点关于直线，的对称点分别为，，它们均在上，故关于直线，的对称曲线均为，关于直线，的对称曲线均为，故曲线E关于，均对称，故B正确；分别过和的短轴的端点作垂直于其短轴的垂线，可得一个正方形，且该正方形的边长为6，其面积为36，又区域E在该正方形内部，所以E所围成的区域面积小于36，故C正确；以椭圆的短轴长为直径作圆，该圆在区域E内部，且圆的面积为，故区域E的面积大于圆的面积，故D正确．故选BCD．12．ABC 的定义域为R，，所以是奇函数．因为，在R上都单调递减，所以在R上是减函数．又，则，即，所以，即．因为在R上是增函数，所以，故A正确；对于选项B，因为，所以，所以，故B正确；因为在上是增函数，所以，即，故C正确；对于选项D，取，，满足，但不成立，故D错误．故选ABC．13． 因为为圆心，且圆与x轴相切，所以圆的半径，所求圆的方程为．14． 由题意知，所以点P到的距离．15． 设，，则，，两式相减可得，即，由中点，可得，，所以，即，故直线l的方程为．16． 直线，过定点，与x轴，y轴的交点分别为，，直线，过定点，与x轴，y轴的交点分别为，，当时，A在C的右侧，B在D的上方，直线，与两坐标轴围成的四边形是四边形OAPD，如图所示，，，则四边形OAPD的面积为，因为，所以，则．17．解：（1）直线BC的斜率，设BC边上的高所在直线的斜率为k，则，所以所求直线为，即．（2）设外接圆的方程为，则解得故外接圆的方程为．18．解：（1）因为，所以，又为锐角，所以，因此．（2）因为，为锐角，所以．又因为，所以，因此．因为，，所以，因此．19．解：（1）第二组的频率为，所以第二组小矩形高为．补全后的频率直方图如下：第一组的频率为，所以．第五组的频率为，所以．（2）因为分钟的“H族”人数为，分钟的“H族”人数为，二者比例为，所以按时间采用分层抽样法抽取6人，分钟内抽取4人，分钟内抽取2人．设这2人每天慢走的时间恰好1人在分钟，另一个人在分钟为事件Q，在分钟内抽取4人记为A，B，C，D，分钟内抽取2人记为a，b，则有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15种不同的抽取方法，事件Q有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8种，所以，即选出发言的2人每天慢走的时间恰好1人在分钟内，另一个人在分钟内的概率为．20．（1）证明：不妨设，则，．因为点M是的中点，所以，所以．因为，所以．由直棱柱的性质可得平面ABC，因为平面ABC，所以．因为，即，又，，平面，所以平面，因为平面，所以．因为，AB，平面ABM，所以平面ABM．因为平面，所以平面平面．（2）解：以点B为坐标原点，以BA，BC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，所以，，．设为平面ABM的一个法向量，则令，得，，此时．所以，所以直线与平面ABM所成角的正弦值是．21．解：选择①，在中，，所以，所以，整理得，，即，因为，，故，而，从而；选择②，则，所以，又，则；选择③，由余弦定理，得，所以，又，则；（1）若，，由余弦定理，得，所以．（2）由为锐角三角形及，得且，所以，由正弦定理，得，因为，，，所以，即的取值范围是．22．（1）解：设椭圆C的焦距为，根据题意，有解得，，．所以C的方程是．（2）证明：当直线，的斜率存在且都不为0时，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，，．联立得．因为在椭圆C的内部，所以恒成立，所以，，所以，同理，将k换成，得，所以．当直线，中一条直线斜率为0，一条直线斜率不存在时，不妨设直线的斜率为0，则，，此时．综上所示，为定值．