青海省西宁市湟中区2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案）

这是一份青海省西宁市湟中区2022-2023学年高三上学期期中考试数学（理）试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湟中区高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（    ）A． B． C． D．2．（    ）A． B． C． D．3．若点在双曲线的一条渐近线上，则（    ）A．2 B． C． D．4．已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（    ）A． B．7 C． D．35．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度y与时间x的函数图象大致是（    ）A． B．C． D．6．已知函数，则（    ）A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称C．的最大值为  D．的图象关于直线对称7．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在C上，AB⊥l于B，若，则（    ）A． B． C． D．8．某校高三（1）班有56名学生，学号为01到56，现采用随机数表法从该班抽取8名学生参与问卷调查．已知随机数表中第2行和第3行的各数如下：95  29  32  60  57  34  81  32  08  92  15  64  59  72  08  2675  90  86  73  51  98  75  81  70  09  16  21  80  89  79  30若从随机数表的第2行第5列的数开始向右读，则抽取的第6名学生的学号是（    ）A．08 B．26 C．51 D．099．我国历史文化悠久，“爱”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底、长方形足、器内底中部及盖内均铸一“爱”字．通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm．现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（参考数据：，）（    ）A． B． C． D．10．在等比数列中，，，则（    ）A．2 B． C．2或 D．11．已知函数满足，函数与图象的交点分别为，，，，，则（    ）A．－10 B．－5 C．5 D．1012．已知，，，则（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知等差数列的前n项和为，，则______．14．设x，y满足约束条件则的最大值为______．15．已知球O的体积为，正四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，底面边长为4，则其高为______．16．若，则______；______．（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求B；（2）若，且△ABC的面积为12，求b．18．（12分）某地教体局为了解该地中学生暑假期间阅读课外读物的情况，从该地中学生中随机抽取100人进行调查，根据调查所得数据，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中m的值，并估计该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值；（各组数据用该组中间值作代表）（2）若某中学生在暑假期间阅读课外读物不低于6本，则称该中学生为阅读达人，以样本各组的频率代替该组的概率，从该地中学生中随机抽取4人，记抽取到的中学生为阅读达人的人数为X，求X的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，，，DE⊥AD，AC⊥BE．（1）证明：平面ADEF⊥平面ABCD．（2）求平面ACE与平面ABF所成锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆过点，，分别为左、右焦点，P为第一象限内椭圆C上的动点，直线，与直线分别交于A，B两点，记△PAB和的面积分别为，．（1）试确定实数t的值，使得点P到的距离与到直线的距离之比为定值k，并求出k的值；（2）在（1）的条件下，若，求的值．21．（12分）已知函数．（1）若是的极值点，求的单调区间；（2）若关于x的方程恰有一个解，求a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点，直线l与曲线C交于A，B（均异于点P）两点，若，求m的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数的最小值为m．（1）求m的值；（2）若，，且，求的最小值．湟中区高三数学试卷参考答案（理科）1．B  因为，，所以．2．C  ．3．C  依题意得点在直线上，则．4．A  ．5．C  由图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越来越快，直到注满水，结合选项所给图象，C选项符合．6．B  由题可得．对于A选项，因为，所以A不正确；对于B选项，，故B正确；对于C选项，的最大值为1，故C不正确；对于D选项，，故D不正确．7．D  因为AB⊥l，所以．设l与x轴的交点为D，因为，所以．因为，所以．8．C  由题意可知抽取的学生的学号依次为32，34，08，15，26，51，09，16，则抽取的第6名学生的学号是51．9．D  因为，，所以．10．A  设的公比为q，因为所以（舍去）或所以，．11．B  因为，所以的图象关于点对称，又的图象关于点对称，所以．12．A  令，，∴为递增函数，当时，，即当时，，∴，即．∴，即．综上，．13．168  因为，所以．14．4  作出可行域（图略），当直线经过点时，z有最大值，最大值为4．15．1  设球O的半径为R，则，所以，则该正四棱锥的侧棱长为3．因为该正四棱锥的底面边长为4，所以底面对角线长为，故该正四棱锥的高为．16．1；0  令，得；令，得，所以．17．解：（1）因为，所以．因为，所以，故．（2）因为，解得．由余弦定理可得，所以．18．解：（1）由图可知，解得．则该地中学生暑假期间阅读课外读物数量的平均值．（2）由频率分布直方图可知从该地中学生中随机抽取1人，此人是阅读达人的频率为，则从该地中学生中随机抽取1人，抽到阅读达人的概率为，从而，故．X的分布列为X01234PX的数学期望．19．（1）证明：如图，连接BD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为AC⊥BE，BE，平面BDE，且，所以AC⊥平面BDE．因为平面BDE，所以AC⊥DE．因为DE⊥AD，AD，平面ABCD，且，所以DE⊥平面ABCD．因为平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD．（2）解：由题意可得DA，DC，DE两两垂直，故以D为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．设，则，，，，故，，．设平面ACE的法向量为，则令，得由题意易证AD⊥平面ABF，则平面ABF的一个法向量为．设平面ACE与平面ABF所成的锐二面角为，则．20．解：（1）设椭圆的焦距为，，，则，，，，所以椭圆C的方程为．设，则，因为，所以，因为k为定值，所以，解得，．（2）由，，得直线，所以，同理得，，所以，化简得或，解第一个方程，得，第二个方程无实根．【方法一】（距离公式）因为，，，，，，，所以．【方法二】（相似三角形）因为，所以，所以，所以．21．解：（1），因为是的极值点，所以，即，易知在上单调递增，且．所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．所以的单调递增区间是，单调递减区间是．（2）易知，，．令，则恒成立，所以在上单调递增，且，，故存在，使得，当时，，当时，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得极小值．由，得，则，因为关于x的方程恰有一个解，所以，则，当时，等号成立，由，可得．故a的取值范围是．22．解：（1）由（为参数），得，故曲线C的普通方程为．由，得，故直线l的直角坐标方程为．（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，设A，B对应的参数分别是，，则，，因为，所以，解得或．23．解：（1）由题意可得则在上单调递减，在上单调递增，故，即．（2）由（1）可知，则．因为，所以．因为，所以，当且仅当时，等号成立，即的最小值为．